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河南省洛阳市2016届高三数学下学期尖子生第一次联考试题 理(含解析)


河南省洛阳市 2016 届高三下学期尖子生第一次联考理科数学试卷解 析
一、 选择题 1. 若非空集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? 3a ? 5}, B ? {x |1 ? x ? 16} 则满足 A ? (A? B) 的所有 实数 a 的集合是() A.[0,7] B. C. [3,7] 答案:C

D.

解析:

A ? (A? B) 等价于 A 是 B 的子集 A 集合非空等价于 a ? 1 ? 3a ? 5 综上解得 3 ? a ? 7 2. 设复数 z ? ( 3 A.2 答案:A

a?i 2 ) 其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为 1? i
1 C. 2 1 D. - i 2

3 B. - i 2

a 2 ? 2ai ? 1 2a ? (1 ? a 2 )i ? 解析: z ? 2i 2
3. 如果圆 x ? y ? n
2 2 2

至少覆盖曲线 f ( x) ? 3 sin

?x
n

( x ? R) 的一个最高点和一个最低

点,则正整数 n 的最小值为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 答案:B 解析:最小范围内的至高点坐标为 ( , 3) 原点到至高点距离为半径 n ? n / 4 ? 3 ? n ? 2
2 2

n 2

4. 双曲线 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上,离心率为 2 双曲线 C 与抛物线 y 2 ? 4 x 的准 线交于 A,B 两点,若 AB=4,则双曲线 C 的实轴长为() A.

3

B. 2

C. 2 3

D. 4

答案:C 解析:此乃等轴双曲线

y 2 x2 ? ?1 a2 a2

抛物线准线方程 x=-1,因此交点为 (?1, ?2) 代入坐标解得 2a=2 3 5. 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,且 cos2B+3cos(A+C)+2=0, b ? 3 那么
1

?ABC 周长的最大值是
A.

3

B. 2 3

C. 3 3

D. 4 3

答案:C 解析:化简为 2cos B ? 3cos B ? 1 ? 0
2

因此 cos B ?

1 ? ,B ? 2 3
2 2

由余弦定理得 a ? c ? 3 ? ac ? 2ac ? 3 ? ac ? 3 从而周长 a ? c ? 3 ? 2 ac ? 3 ? 3 3 6. 已知 (2x ?1)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 则 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? 5a5 ? () A.10 B.5 C.1 D.0 答案:D 解析:看似二项式展开,实则是导数题目 求导得 10(2x ?1)4 ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x2 ? 4a4 x3 ? 5a5 x4 令 x=0 得 a1 ? 10 令 x=1 得 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? 5a5 ? 0 7. 设函数 f ( x) ? ?

?| lg | x ? 1||, x ? 1 则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同的 ?0, x ? 1
C.b<0 且 c=0 D. b>0 且 c=0

实数解的充要条件是 A. b<0 且 c>0 B.b>0 且 c<0 答案:C 解析:二次方程有最多有两个解 如图所示, f1 ( x) ? 0且f 2 ( x) ? 0 从而两根和-b>0 且两根积 c=0 8. 将曲线 C: y ? sin(

7? ? ? x) cos( x ? ) 上每一点向右平移 a>0 个单位, 得到曲线 C’, 若 8 8 2b ? 1 3b ? 2 ?, ? ], b ? N* 时, 曲线 C’的一个最低点横坐标为π /4, 且当 x ? [ 曲线 C’ 8 8

上任意两点连线斜率恒大于 0,则 b 值为() A.1 B. 2 C. 3 D. 4 答案:A

1 ? 1 ? sin(2 x ? ) 平移得到 C’: y ? sin(2( x ? a ) ? ) 2 4 2 4 ? 1 5? 1 把最低点坐标 ( , ? ) 代入 C’得到 a ? ,即 y ? ? sin 2 x 4 2 8 2
解析:化简曲线 C: y ?
2

函数在给定区间单调递增,因此 [ 解得

2b ? 1 3b ? 2 ? 3? ?, ?]?[ , ] 8 8 4 4

1 4 ?b? 故选 A 2 3

9. 在平面直角坐标系中,点 P 是由不等式组 ?

? x, y ? 0 所确定的平面区域内的动点,Q 是 ?x ? y ? 1

直线 2x+y=0 上任意一点,O 为坐标原点,则 | OP ? OQ | 的最小值为 A. 5 5 B. 2 3 C. 2 2 D.1

??? ? ????

答案:A 解析:考查向量加法几何意义 即平行线间距的最小值 10. 执行如图所示的程序框图,若 f(x)在[-1,a]上的值域为[0,2],则实数 a 的取值范围是 A. (0,1] B. [1, 3] C. [1, 2] D. [ 3, 2]

答案:B 解析:流程图转化为分段函数 找到临界点(1,0)和 ( 3, 2) 11. 数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 1008 A. 1007 2015 1007

2(n ? 2) a2015 an (n ? N *) 则 ? n ?1 a1 ? a2 ? ... ? a2014
2016 2015 D. 2015 2014

B.

C.

答案:A 解析:考查数列递推公式

an a a a 2(n ? 1) 2(n ? 1) 2n 2 ? 3 ? ... ? 2 ? (n ? 1)2n?1 因此 an ? n n ?1 ... 2 ? a1 ? an ?1 n an?1 an?2 a1 n n ?1 2
使用错差法得 Sn ? n2n 因此目标函数等于

2016 ? 22014 1008 ? 2014 ? 22014 1007

3

12. 已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? ln
x

x 1 ? , ?a ? R, ?b ? (0, ??) 使 f (a) ? g (b) 则 b-a 的 2 2
C. 2 ? ln 2 D. 2 ? ln 2

最小值为 A. 2 e ?1 答案:D 解析:令 e ? ln
a

B. e ?
2

1 2

b 1 ? ? x ? 0 ,则 2 2

a ? ln x, b ? 2ex?1/2 ,从而 b ? a ? 2e x ?1/2 ? ln x
构造函数 h( x) ? 2e x?1/2 ? ln x ,求导得

1 1 h '( x ) ? 2e x ?1/ 2 ? ,解得极值点 x ? x 2
因此 b-a 的最小值为 h(1/2)=2+ln2 二、 填空题 13. 在同一平面直角坐标系中, 函数 y ? g ( x) 的图像与 y ? e x 的图像关于直线 y=x 对称, 函 数 f(x)的图像与 g(x)的图像关于 y 轴对称,若 f(m)=-1,则 m 的值为___ 答案:-1/e 解析: g ( x) ? ln x 14. 设椭圆 C 的左右焦点分别为 F1F2,过 F1 的直线与 C 相交于 P,Q,若 PF2=F1F2, 3|PF1|=4|QF1|,则椭圆 C 的短轴与长轴长度之比为___ 答案: 2 6 / 7 解析: PF 1 ? PF 2 ? 2a, PF 2 ? 2c ? PF 1 ? 2a ? 2c 由余弦定理得 cos ? ?

(2a ? 2c)2 ? (2c) 2 ? (2c) 2 a ? c 1 ? e ? ? 4c ? (2a ? 2c) 2c 2e

由焦点弦分成比例得

3b2 4b2 1 ? ? e cos ? ? a(1 ? e cos ? ) a(1 ? e cos ? ) 7

综上得到 e ?

5 b2 2 6 ? 2 ? 1 ? e2 ? 7 a 7

15. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为___ 答案:36π 解析:几何体的直观图如图所示 AE=3,EF=2,FB=1,EF= 5,EC=3 平面 ABD⊥平面 ABC 易证,标记两角均为直角,故 E 为外接球球心

4

R=3,故 S ? 4? R ? 36?
2

16. 如图所示,作一个边长为 1 的正△ ABC ,且 AB 与 x 轴的夹角为 5 °,易知向量和 AB ? BC ? CA ? 0 , 令 与 x 轴 同 向 的 单 位 向 量 为 i , 则 有

i ? ( AB ? BC ? CA) ? cos5? ? cos125? ? cos 245? ? 0 ,仿照以上方法,推广以上结论
可得 cos a1 ? cos a2 ? ... ? cos an ? 0 ,若 a1 ? a 则 an ? ___ 答案:略 解析:观察正三边形有三项,角度呈等差数列,公差为 120° 公差与多边形内角的补角一一对应,即 d ? ? ?

(n ? 2)? 2? ? n n

推广后得到正 n 边形有 n 项,角度依旧等差, an ? a1 ? (n ? 1)d ? ? ? 三、 解答题

2(n ? 1)? n

2 17. 已知 正项数列 {an } 的 前 6 项和 为 Sn ,满足 ( p ? 1) S ,设 p ? 0, p ? 1) n ? p ? an (

bn ?

1 (n ? N *) 2 ? logp an

(1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设数列 {bnbn?1} 的前 n 项和为 Tn, 是否存在正整数 m, 使得 Tn ? 若存在,求出 m 的最小值;若不存在,说明理由. 解析: n ? 1,( p ?1)a1 ? p2 ? a1 ? a1 ? p 错差法 ( p ?1)Sn?1 ? p2 ? an?1 ,得到 ( p ?1)an ? an?1 ? an ? an / an?1 ? 1/ p 等比数列 {an } 的通项公式 an ? p2?n

1 , n ? N * 恒成立? bmbm?1

bn ?

1 1 1 1 n ? bnbn ?1 ? ? ? ,因此 Tn ? 1 ? n n n ?1 n ?1 n ?1

1 n 1 ?1 ? 恒成立等价于 m(m ? 1) n ? 1 bmbm?1
令 f ( x) ?

1 2x ?1 ,则 f '( x) ? ? 2 x( x ? 1) x ( x ? 1)2

注意 f(1)=1/2,且 x≥1 函数单调递减,因此不存在符题意的 m 最小值 18. 一个袋中装有黑球、白球和红球共 n 个,这些球除颜色外完全相同,已知从袋中任意摸 出一个球,得到黑球的概率是 2/5,现从中任意摸出 2 个球.

5

(1)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大?最大概率是多少? (2)当 n=15,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率为 4/7,设 X 表示摸出的 2 个球中红 球的个数,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 解析:设 n 个球中黑球 i 个,白球 j 个,则红球有 n-i-j 个 摸 1 个得黑球概率是 2/5,则 i=2n/5 (1) 摸 2 个至少有 1 个黑球概率为
1 2 Ci1Cn i(n ? i) ? i(i ? 1) / 2 16n ? 10 ?i ? Ci P? ? ? 2 Cn n(n ? 1) / 2 25n ? 25

求导为负,因此随着 n 的增大,概率在减小,故最大概率 P(5)=0.7 (2) 依题意得 P(15) ?
1 2 C1 j C15? j ? C15

C

2 15

?

4 ? j ? 5or 24 ,取 j=5 7

此时黑球个数 i=6,故红球有 15-5-6=4 个 因此随机变量 X 可能的取值为 0,1,2
2 C11 55 P( X ? 0) ? 2 ? C15 105 1 1 C11 C 44 P( X ? 1) ? 2 4 ? C15 105 2 C4 6 P( X ? 2) ? 2 ? C15 105

X P

0 55/105

1 44/105

2 6/105

EX ?

44 6 56 ?1 ? ?2 ? 105 105 105

19. 如图,四棱锥 P-ABCD 底面为等腰梯形,AB//CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH⊥底面 ABCD,E 为 AD 的中点. (1)求证:BC⊥PE; (2)若 ?APB ? ?ADB ? 60? 求二面角 H-PE-D 的余弦值. 解析:PH⊥底面 ABCD,PH⊥BC RT△ADH 中,斜边中线 HE=DE,对顶角代换 得到两角互余,因此 EH⊥BC BC⊥平面 PEH 上的直线 PE 1 (2)等边△EDH 中,边长= 3 以 H 为原点建系,则 H (0, 0, 0), P(0, 0,1), E ( , ? 平面 HPE 法向量 m 满足

1 2

1 2 3

, 0), D(0, ?

1 , 0) 3

?m ? HE ? 0 解得 m ? (2, 2 3,0) ? ?m ? HP ? 0
平面 DPE 法向量 n 满足

?n ? DE ? 0 解得 n ? (?2, 2 3, ?2) ? n ? DP ? 0 ?

6

cos ? m, n ??

12 ? 4 1 ? 4 ? 12 8 ? 12 5
2

20. 已 知 直 线 l 与 椭 圆 C1 : x ?

y2 ? 1 交 于 A( x y 点 ) ,向量 1 , y 1 ) ,B ( 2x ,2两 4

a ? ( 2x , b 1 ,y 1 )?

x ( 2y , a ?) b . 2 2且

(1)若直线 l 过点 (0, ? 3) ,求直线 l 的斜率; (2) ?AOB 的面积是否为定值,若是,求出定值,若不是,试说明理由. 解析:(1)设直线方程为 y ? kx ? 3 , y1 ? kx1 ? 3, y2 ? kx2 ? 3 联立椭圆方程 4 x 2 ? y 2 ? 4 得 (4 ? k 2 ) x2 ? 2 3kx ?1 ? 0

x1 ? x2 ?

2 3k ?1 , x1 x2 ? 2 4?k 4 ? k2
2

两向量数量积为零 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 解得 k ? 2 (2)由(1)知,设定直线方程是解题关键,因此可设截距式直线方程

y ? kx ? m ,联立方程得到 (4 ? k 2 ) x2 ? 2kmx ? m2 ? 4 ? 0

x1 ? x2 ?

?2km m2 ? 4 , x x ? 1 2 4 ? k2 4 ? k2

两向量数量积为零 4x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 解得 k ? 2m ? 4
2 2

?AOB 的面积可表示为 S ?

|m| |m| ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 2

综上可得 S=1,故面积为定值 21. 已知函数 f ( x) ? ln (1 ? x) ?
2

x2 1? x

(1)求函数的单调区间; (2)若不等式 (1 ? )

1 n

n?a

? e 对任意的 n ? N * 都成立,求 a 的最大值.

解析:无参函数求单调区间,要多次求导

f '( x) ?

2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x 2 ,令 g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2x 2 (1 ? x)

g '( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,令 h( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x
7

h '( x ) ?

?2 x 1? x

注意: h '(0) ? g '(0) ? f '(0) ? 0 当 ?1 ? x ? 0 时 h '( x) ? 0, g '( x) ? g '(0) ? 0, f '( x) ? f '(0) ? 0 ,故 f(x)单调递增 当 x ? 0 时 h '( x) ? 0, g '( x) ? g '(0) ? 0, f '( x) ? f '(0) ? 0 ,故 f(x)单调递减 综上,函数 f(x)的单调区间为 (?1,0) ?,(0, ??) ?

23.选修 4-4:参数方程极坐标 在平面直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

C : ? sin2 ? ? 2a cos? (a ? 0) 已知过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为:
? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t 2 直线 l 与曲线 C 分别交于 M,N 两点. 2 t 2

(1)写出曲线 C 的直角方程和直线 l 极坐标方程; (2)若 PM,MN,PN 成等比数列,求 a 的值. 解析: ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos? ? y 2 ? 2ax 直线方程 x ? 2 ? y ? 4 ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 2 等比中项 MN ? PM ? PN ,由直线参数方程参数意义可知
2

(t1 ? t2 )2 ?| t1t2 |
因此联立直线与曲线方程得

t 2 ? (8 2 ? 2 2a)t ? 32 ? 8a ? 0
? ?t1 ? t2 ? 8 2 ? 2 2a 2 由等比中项解得 a ? 3a ? 4 ? 0 ? a ? 1 ? ? ?t1t2 ? 32 ? 8a

8


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