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2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准


2016 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
x ?1 ? 1. 若集合 A ? ? x x 2 ? x ? 12 ? 0 ? ,B ? ? x ?0 x ?1 ? ? 则集合 C ?( ? ,C ? ? x x ? A 且 x ? B ? , ?



A. ??3

, ?1? ? ?1, 4? C. ??3 , ?1? ??1, 4? 【答案】 D

B. ??3 , ?1? ? ?1, 4? D. ??3 , ?1? ??1, 4?
? 1) 。 ? ? (?1, ?

x ?1 ? 4? , B ? ? x 【解答】 依题意, A ? ? x x 2 ? x ? 12 ? 0 ? ? ? ?3 , ?0 x ?1 ?

由 x ? A ,知 ?3 ? x ? 4 ; x ? B ,知 x ? ?1 或 x ? 1 。 所以, ?3 ? x ? ?1 或 1 ? x ? 4 ,即 C ? ??3 , ?1? ??1, 4? 。 2.已知直线 l1 : (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与直线 l2 : (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 4 ? 0 ( m ? 0 )相互垂直,垂足 为 P , O 为坐标原点,则线段 OP 的长为( A. 5 【答案】 D
1 。 2

) D. 2

B.2

C. 3

【解答】由 l1 ? l2 知, (m ? 2) ? (m ? 2) ? (m ? 2) ? 3m ? 0 ,结合 m ? 0 ,得 m ? 2 ? 3m ? 0 , m ? ∴

5 3 3 5 l1 方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,即 5x ? 3 y ? 2 ? 0 ; l2 方程为: ? x ? y ? 4 ? 0 ,即 3x ? 5 y ? 8 ? 0 。 2 2 2 2

? 5x ? 3 y ? 2 ? 0 ? x ? ?1 1) ,线段 OP 长为 2 。 由? ,得 ? 。因此, P(?1, ? 3x ? 5 y ? 8 ? 0 ? y ?1
3.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, △PAB , △PBC 均为等边三角形,且
AB ? BC 。则二面角 A ? PC ? B 的余弦值为(
P

) D.
1 3
A B C

A.

2 3

B. B

3 3

C.

6 3

【答案】

【解答】如图,取 AC 中点 O , PC 中点 D ,连结 OP , OB , OD , DB 。 不妨设 AB ? 2 ,则由条件知, PA ? PC ? 2 , AC ? 2 2 。 ∴ ∴
P A? P C , OP ?

(第 3 题)
P D C A O B

1 AC ? 2 ? OC 。 2
D O 是二面角 A ? PC ? B 的平面角。 , 故 ?B

O D? P C D ? P C 。 又B

在 △BOD 中,由 OB ? 2 , OD ? 1 , BD ? 3 , 得 ?BOD ? 90? , cos ?BDO ? ∴

OD 1 3 。 ? ? BD 3 3
3 。 3
1

二面角 A ? PC ? B 的余弦值为

? x2 ? 2 x ? 4 , x ? 3, 4.若函数 f ( x) ? ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的值域为 ?3 , ? ?? ,则实数 a 的取值范围为 ? 2 ? log a x ,x ? 3 , ( )A. ?1, B. (1 , C. (3 , D. ?3 , 3) ? ?) 3? ? ??
【答案】 ∴ ∴ ∴ A 【解答】 ∵ x ? 3 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 ? ( x ?1)2 ? 3 的值域为 ?3 , ? ?? ,
x ? 3 时, 2 ? loga x ? 3 ,即 x ? 3 时, log a x ? 1 ? log a a 。
a ? 1 ,且 x ? 3 时, x ? a 恒成立。

1 ? a ? 3 , a 的取值范围为 ?1, 3? 。

5.如图,在四面体 P ? ABC 中,已知 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且 PA ? PB ? PC ? 3 。则在该 四面体表面上与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段的总长度为( A. 3? 【答案】 D
C B


P

B. 3 3?

C.

5 3 ? 2

D.

3 3 ? 2

G 在 PC 上) 【解答】 如图, 设 AE ? AF ? AG ? 2 3( E 在 AB 上,F 在 PB 上, 。 A

由 PA ? PB , PA ? PC , PB ? PC , PA ? PB ? PC ? 3 ,知 PF ? PG? 3 ,
?PAF ?

?
6

, ?EAF ?

?
4

?

?
6

?

?
12



(第 5 题)



在面 PAB 内与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段(图中弧 EF )长为
3 ?。 6 3 ?。 6 2 3 ?。 3

?
12

?2 3 ?

同理,在面 PAC 内与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段长为 又在面 ABC 内与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段长为

?
3

?2 3 ?

在面 PBC 内与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段(图中弧 FG )长为 ∴ 四面体表面上与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段的总长度为

?
2

? 3?

3 ?。 2

3 3 2 3 3 3 3 ?? ?? ?? ?? ?。 6 6 3 2 2
2 6 . f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 若 f (0) ? 1 , 且 对 任 意 x ? R , 满 足 f ( x? 2 )? f ( x )? , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 6 ,则 f (2016) ? (

) C.2017 D.2019

A.2013 【答案】 ∴ C 【解答】 ∵

B.2015

对任意 x ? R ,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ,

f ( x ? 6) ? f ( x) ? ? f ( x ? 6) ? f ( x ? 4) ? ? ? f ( x ? 4) ? f ( x ? 2) ? ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? ? 6 。
2

又 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 6 。因此, f ( x ? 6) ? f ( x) ? 6 , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 6 。 ∴ ∴
f ( x ? 6k ) ? f ( x) ? 6k , k ? N * 。
f (2016) ? f (0 ? 6 ? 336) ? f (0) ? 6 ? 336 ? 1 ? 2016 ? 2017 。

二、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 7. 已知实数 x , y 满足 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 , 记 ? ? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y 的最大值为 M , 最小值为 m , 则M ?m ? 【答案】 72 。

【解答】设 P( x , y) ,由 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 知, ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 。因此,点 P 在以 C1 (3 , ? 2) 为圆心,3 为半径的圆上。 又 ? ? x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ,设 C2 (?1, 2) ,则 ? ? C2 P ∵ ∴
2

?5。

C2 P

max

? C2C1 ? 3 ? 4 2 ? 3 , C2 P

min

? C2C1 ? 3 ? 4 2 ? 3 。

M ? (4 2 ? 3)2 ? 5 , m ? (4 2 ? 3)2 ? 5 , M ? m ? 72 。

注本题也可以三角换元法。由 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 ,设 x ? 3 ? 3cos ? , y ? ?2 ? 3sin ? ,代入 ? 后求最值。 8. 过直线 y ? 2 x 上一点 P 作圆 C :( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ?
PB 关于直线 y ? 2 x 对称,则线段 CP 的长为

5 的切线 PA 、PB ,A 、B 为切点。 若直线 PA 、 4



【答案】

5

【解答】由切线 PA 、 PB 关于直线 PC 关于对称,以及切线 PA 、 PB 关于直线 y ? 2 x 对称知,直线
y ? 2 x 与直线 PC 与重合或垂直。

由点 C 不在直线 y ? 2 x 上知, PC 与直线 y ? 2 x 垂直。
2t ) ,则 设 P(t ,
2t ? 1 1 ? ? , t ? 1 。∴ t ?3 2

P(1, 2) , CP ? 5 。

9 .已知正四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 6 ,侧棱长为 5 , I 为侧面 △PCD 的内心,则四棱锥
I ? ABCD 的体积为



【答案】

9 7 2

【解答】如图,取 BC 中点 E ,连结 PE ,由条件知在 △PCD 中, PC ? PD ? 5 , CD ? 6 。 ∴
I 在线段 PE 上,且

PI PC 5 ? ? 。∴ IE CE 3

IE 3 ? 。 PE 8
A

P

∴ VI ? ABCD

3 3 1 9 7 ? VP ? ABCD ? ? ? 62 ? 52 ? (3 2)2 ? 。 8 8 3 2
B

I D O C E

10.已知 f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? x ? ? x? (符号 ? x ? 表示不超过 x 的最 为 。
3

大整数) , 若 关 于 x 的 方 程 f ( x) ? kx ? k ( k ? 0 ) 恰 有 三 个 不相 等 的 实 根 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围

【答案】

?1 1 ? ,? ? ?3 2 ?

【解答】作出函数 y ? f ( x) 与 y ? kx ? k 的草图(如图所示) 。 易 知 直 线 y? k? x 恒 过 点 (? 1 k , 0, ) x ? ?1 是 方 程
f ( x) ? kx ? k 的一个根。从图像可知,



1 1 1? 0 1? 0 ,即 ? k ? 时,两个函数的图像恰 ?k? 3 2 2 ? (?1) 1 ? (?1)

有三个不同的交点。∴

?1 1 ? k 的取值范围为 ? , ? 。 ?3 2 ?

11.方程 2( x ? 1)( y ? 1) ? 1 ? xyz ( x ? y )的正整数解 ( x , y, z) 为 的情况) 【答案】 ∴
(1 ,, 3 5 ) (3 , 7, 3) ,

。 (写出所有可能

【解答】依题意, 2 xy ? 2 x ? 2 y ? 1 ? xyz 。

x y ( 2 x? y 2? x 2 ? y , 1 ) xy (2x ? 2 y ?1) , xy ? 2 x ? 2 y ? 1 。
x ? 4 , x ? 1 ,2,3。

由 x ? y ,知 x ? 1 ? y ,因此, 2 x ? 2 y ? 1 ? 4 y 。 ∴ 若 x ? 1 ,则 y (2 y ? 3) , y 3 , y ? 3 。将 x ? 1 , y ? 3 代入题中方程,得 15 ? 3 z , z ? 5 。 若 x ? 2 ,则 2 y (2 y ? 5) , 2 y 5 。由 y ? 2 知, y 不存在。 若 x ? 3 ,则 3 y (2 y ? 7) 。所以, 3 y ? 2 y ? 7 ,又 y ? 3 ,因此, y ? 4 ,5,6,7。经验证只有 y ? 7 符合 3 y (2 y ? 7) 。将 x ? 3 , y ? 7 代入题中方程,得 63 ? 21z , z ? 3 。 ∴
y, z ) ? (1,, 3 5) 或 (3 , 7, 3) 。 符合条件的正整数解有 ( x ,
b ? 5c 8a ? 2c 3b ? c ? ? 的最小值为 a ? b 2b ? 3c 2c ? a

12.已知 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,则 【答案】 6



【解答】 设 a ? b ? x , 2b ? 3c ? y , 2c ? a ? z ,则 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 。 且a ? ∴ ∴
4 x ? 2 y ? 3z 3x ? 2 y ? 3z ?2 x ? y ? 2 z ,b ? ,c ? 。 7 7 7

b ? 5c ? ? x ? y ? z , 8a ? 2c ? 4 x ? 2 y ? 4 z , 3b ? c ? x ? y ? z 。

m?

b ? 5c 8a ? 2c 3b ? c ? x ? y ? z 4 x ? 2 y ? 4 z x ? y ? z ? ? ? ? ? a ? b 2b ? 3c 2c ? a x y z

y z 4x 4z x y y 4x z x 4z y ? ( ? ? 1) ? ( ? ? 2) ? ( ? ? 1) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 4 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? 6 x x y y z z x y x z y z

当且仅当

z x y 4x 4z y ? , ? , ? ,即 y ? 2 x , z ? x , y ? 2 z ,即 y ? 2 x , z ? x 时等号成立。 (如 x z x y y z

x ? z ? 7 , y ? 14 ,即 a ? 3 , b ? 4 , c ? 2 时等号成立) 。
4



b ? 5 c 8 a? 2 c 3 b ? c ? ? 的最小值为 6。 a? b 2 b ? 3 c 2 ?c a

三、解答题(第 13、14、15、16 题每题 16 分,第 17 题 14 分,满分 78 分) 13.已知 f ( x) ? ln x , g ( x) ? x2 ? 2ax ? 4a ?1 。 (1)若函数 f ( g ( x)) 在区间 ?1, 3? 上为单调函数,求实数 a 的取值范围;
e3 ? (2)若函数 g ( f ( x)) 在区间 ? ?1 , ? 上的最小值为 ?2 ,求实数 a 的值。

【答案】 (1)依题意, f ( g ( x)) ? ln( x2 ? 2ax ? 4a ?1) 。 由 f ( g ( x)) 在区间 ?1, 3? 上为单调函数,知 g ( x) 在区间 ?1, 3? 上是单调函数,且 g ( x) ? 0 。 ∴ ∴ ∴

? a ?1 ? a?3 或? 。 ………… 4 分 ? ? g (1) ? 1 ? 2a ? 4a ? 1 ? 2a ? 0 ? g (3) ? 9 ? 6a ? 4a ? 1 ? 8 ? 2a ? 0
0 ? a ? 1或 3 ? a ? 4 。

实数 a 的取值范围是 ? 0 , 1? ? ?3 , 4? 。

……………………… 8 分

(2) g ( f ( x)) ? ln 2 x ? 2a ln x ? 4a ?1。 设 ln x ? t ,则 0 ? t ? 3 , g ( f ( x)) ? t 2 ? 2at ? 4a ?1 ? (t ? a)2 ? a2 ? 4a ?1 。 设

h(t ) ? (t ? a)2 ? a2 ? 4a ?1 , 0 ? t ? 3

……………………… 12 分

1 则 a ? 0 时, h(t ) 的最小值为 h(0) ? 4a ? 1。由 4a ? 1 ? ?2 ,得 a ? ? ,符合要求。 4
0 ? a ? 3 时, h(t ) 的最小值为 h(a) ? ?a2 ? 4a ?1 。由 ?a 2 ? 4a ? 1 ? ?2 ,得 a ? 2 ? 5 ,不符合要求,

舍去。
a ? 3 时, h(t ) 的最小值为 h(3) ? 9 ? 6a ? 4a ? 1 ? 8 ? 2a 。由 8 ? 2a ? ?2 ,得 a ? 5 ,符合要求。

1 综合,得 a ? ? 或 a ? 5 。 4

…………………………… 16 分

14.已知 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ( a ? R ) 。
1) 内有两个不同的实数根,求实数 a 的取值范围; (1)若 f ( x) ? 0 在区间 (?3 ,

(2)若 x ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

? △ ? (a ? 2)2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ? a?2 ? ?1 ? ?3? 【答案】 (1)依题意,有 ? 。 2 ? f (?3) ? 9 ? 3(a ? 2) ? a ? 2a ? 3 ? 0 ? ? ? f ( 1 ) ? 1 ? (a ? 2) ? a ? 3 ? 2a ? 0
3 3 解得 ? ? a ? 。∴ 2 2 3 3 a 的取值范围为 ( ? , ) 。 2 2

…………… 4 分

……………………… 8 分

(2)∵ ∴

x ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成立,

x ? 1 时, x2 ? (a ? 2) x ? a ? 0 ,即 ( x ? 1)a ? x2 ? 2 x 恒成立。
5



x ? 1 时, a ?

x2 ? 2 x 恒成立。 x ?1 x2 ? 2x t 2 ?1 1 ? ?t? 。 x ?1 t t

……………………… 12 分

设 t ? x ? 1 ,则 t ? 2 ,

1 1 3 ? ?) 。 由 y ? t ? 在 (2 , ? ?) 上为增函数,知 y ? t ? 的值域为 ( , t t 2



a?

3 3? ? ,即 a 的取值范围为 ? ?? , ? 。 2 2? ?

……………………… 16 分

另解:由(1)知,△ ? (a ? 2)2 ? 4a ? a2 ? 4 ? 0 , f ( x) ? 0 总有两个不相等的实根。设方程 f ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 。 ∴ ∴ ∴

a ? 2 ? a2 ? 4 x ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成立 ? x2 ? ? 1 。 ………………… 12 分 2

? 4?a ? 0 3 。解得, a ? 。 a2 ? 4 ? 4 ? a , ? 2 2 2 ? a ? 4 ? (4 ? a)
3? ? a 的取值范围为 ? ?? , ? 。 2? ?

………………………… 16 分

1) 的动直线 l 与圆 O 相交于 A , B 两点。当直线 l 平行 15.如图,圆 O 的圆心在坐标原点,过点 P(0 ,

于 x 轴时,直线 l 被圆 O 截得的线段长为 2 3 。 (1)求圆 O 的方程; (2)在平面直角坐标系 xOy 内,是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得

QA QB

?

PA PB

恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。

【答案】 (1)设圆 O 半径为 r ,依题意有 ( 3)2 ? 12 ? r 2 。 ∴
r 2 ? 4 ,圆 O 方程为 x2 ? y 2 ? 4 。……………

4分 (第 15 题)

(2)设符合条件的点 Q 存在。
t) 。 点 Q 在 y 轴上。设 Q(0 ,

当直线 l 平行于 x 轴时, PA ? PB ,由此可得 QA ? QB 。又此时 A 、 B 关于 y 轴对称,因此,

2) , B(0 , ? 2) 。 当 l ? x 轴时,A(0 , 由
B(0 , 2) 时,同理可得 t ? 4 )

QA QB

?

PA PB

, 得

1 t ? 4或t ?1 ? 2) , (舍去) 。 (当 A(0 , ? , t ?2 3

t ?2

4) 。……… 因此,若点 Q 存在,则点 Q 只能为 Q(0 , 4) 符合要求。 下面证明点 Q(0 ,

8分

4) 符合要求。 当直线 AB 斜率不存在或为 0 时,由前面讨论可知点 Q(0 ,

当直线 AB 斜率存在且不为 0 时,设 AB 方程为 y ? kx ? 1 。

6

? y ? kx ? 1 由? 2 ,得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 。 2 ? x ?y ?4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ∴
kQA ? kQB ?
?2k ?3 , x1 x2 ? 2 。 2 k ?1 k ?1

y1 ? 4 y2 ? 4 kx1 ? 1 ? 4 kx2 ? 1 ? 4 ? ? ? x1 x2 x1 x2

?2k 2 x ?x 1 1 ? 2k ? 3( ? ) ? 2k ? 3 ? 1 2 ? 2k ? 3 ? k ? 1 ? 2k ? 2k ? 0 。 ?3 x1 x2 x1 x2 2 k ?1
∴ ∴
?AQO ? ?BQO 。

……………………………

12 分

QP 平分 ?AQB ,由角平分线性质定理知,

QA QB

?

PA PB

。 16 分

4) 。 综上可知,符合条件的点 Q 存在,其坐标为 Q(0 ,
E 分别在 △ABC 的边 AB 、 AC 上,且满足 DB ? BC ? CE 。

………………………

16.如图, O 、 I 分别为 △ABC 的外心、内心,连结 CI 并延长交 △ABC 的外接圆 ⊙O 于点 H 。 D 、 (1)求证: HB ? HI ; (2)求证: △IHO ∽△EBD 。 【证明】 (1)依题意, H 为弧 AB 的中点, ?HCB ? ?HBA 。 连结 BI ,由 I 为 △ABC 的内心知, ?IBC ? ?ABI , ∴ ∴
?H I B? ? H C B ? ? IBC ? ? H B? A?
H B? H 。 I
H D O I C B A E

AB ?I ? 。 HBI

………………

4分

(2)设 BE 与 CH 的交点为 F ,则由 CE ? CB 以及 CF 平分 ?BCA , 知 F 为 BE 中点,且 HF ? FB 。 设 OH 与 AB 的交点为 G ,则 G 为 AB 中点,且 HG ? GB 。 ∴
H 、 G 、 F 、 B 四点共圆, ?IHO ? ?EBD 。

(第 16 题) ………………… 8 分

连结 OB ,由 H 为弧 AB 的中点知, ?ECB ? ?HOB 。 又 OH ? OB , CE ? CB 。 ∴ ∴
△H O B ∽△ E C。 B
HB EB ? 。 HO EC

…………………

12 分
H G D O F

A E

结合 HB ? HI , EC ? BD 。 因此, ∴
IH EB ? 。 HO BD

I C

B

△I H O ∽△ E B。 D……………… 16 分

7

17.已知集合 M ? ? 1,,, 2 3 L, 2016 ? ,求最大的正整数 k ,使得存在集合 M 的 k 元子集 A ,满足集 合 A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。 【解答】设 A 为集合 M 的一个 k 元子集。 考虑集合 M 的下列 43 个子集(每个子集中恰有 3 个数) :

M2 ? ? 2 , 87 , 2 ? 87 ? , M3 ? ? 3, 86 , 3? 86 ? , M4 ? ? 4 , 85 , 4 ? 85 ? ,…, M43 ? ? 43, 46 , 43? 46 ? , M44 ? ? 44 , 45 , 44 ? 45 ? 。
若 k ? 1973 , 则由 2016 ? k ? 43 知, 集合 A 一定包含上述 43 个子集中的某一个。 由此可知, 集合 A 中 存在互不相同的三个数 a , b , c ( a ? b ? c ) ,使得 c ? ab 。 因此,集合 A 不满足:集合 A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。 所以,当集合 A 元素个数多于 1973,即 k ? 1973 时,集合 A 不满足题意要求。 所以, k ? 1973 。 是 A 中任意两个不同的数。 若 a ? 1 ,则 ab ? b , ab 不可能等于 A 中第 3 个不同于 1 和 b 的数。…………… 若 a ? 1 ,则 a ? 45 , ab ? 45 ? 46 ? 2070 ,显然它不在集合 A 中。 因此,集合 A 满足:集合 A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。 可见,存在集合 M 的一个 1973 元子集 A ,满足集合 A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数 的积。 所以,正整数 k 的最大值为 1973。 ……………………………… 14 分 10 分 …………………………… 5分
b( a ? b ) 另一方面, 令 A ? ? 1, (从集合 M 删去 2, 3, 4, …, 44 这 43 个数) 。 设a, 45 , 46 , L, 2016 ?

8


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