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内蒙古杭锦后旗奋斗中学2016届高三上学期9月质量检测考试数学(文)试题


内蒙古杭锦后旗奋斗中学 2015—2016 学年 高三 9 月质量检测考试数学(文)试题 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 cos( ? + ? )= A. - 2. 复数 3 2

3? 3 (? <? < ),那么 sin( 2? -

? )的值为( 2 2 1 1 3 B. - C. D. 2 2 2


)

i 在复平面上对应的点位于( 3?i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知命题 p : m, n 为直线, ? 为平面,若 m // n, n ? ?, 则 m // ? ; 命题 q : 若 a ? b, 则 ac ? bc ,
[来源

则下列命题为真命题的是( ) A. ?p 或 q B. ?p 且 q

C. p 或 q

D. p 且 q

4.?设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? ?

? 1 ???? 1 ??? AD ????B.? BC ?????C.? BC ???????? D.? AD 2 2 2 x y2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,且双曲 a b 线的离心率等于 3 ,则该双曲线的标准方程为( ) 2 2 2 2 2 x y y x x y2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1 A. B. C. D. 27 18 18 27 12 24 3 6
A.? 6、若正数 x , y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是( A. )

24 5

B.5

C.

28 5

D.6 )

7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.8-2π C.8-π π B.8- 2 π D.8- 4

8、将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1,2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的 个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.52 种 B.36 种 C. 20 种 D.10 种 9、在△ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,
2 2

则 A ?( A. 30
0

) B. 60
0

C. 120

0

D. 150

0

10. 执行如右图的程序框图, 若输出的 S ? 48 , 则输入 k 的值可以为( A. 6 B. 10 C. 4
n

)? 开始? 输入 k ?

D. 8

2 11 . 二 项 式 ( ? x x ) 展 开 式 中 含 有 x 项 , 则 n 可 能 的 取 值 是

1 x

( ) A.8

B.7

C.6

D.5
2

n ? 1, S ? 1 ?

12. 设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , 有 f (? x) ? f ( x) ? x , ?x ? R , 在 (0,??) 上 f ?( x) ? x ,若 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? 0 ,则实数 m 的 取值范围为( A. [2, ??) ) B. [3, ??) C. [?3,3] D. (??, ?2] ? [2, ??)

y? x?? 2? nlog ?k
否?

是? 输出 S ? 结束?

n ? n ? 3? S ? 2S ? n ?

第Ⅱ卷
22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13. 若函数 f(x)= x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a =

(第 10 题图) ?

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。第

14. 一个圆经过椭圆

x2 y2 ? ? 1 错误!未找到引用源。的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴 16 4
.

上,则该圆的标准方程为

? x?0 ? 15.若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2 x ? y ? 3 ?
16. f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 , f (0) ? 0 , 则 f (2016) ? .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

nan ? an?1 ? n ,n? N*. an?1

(2)设 bn ?

2n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .. an

AD = AA1 =1, AB ? 2 ,点 18.(本小题满分12 分)如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
E 是线段 AB 的中点. (1)求证: D1E ? CE ; (2)求二面角 D1 ? EC ? D 的大小的余弦值. A1 ?? D1 B1?
?

C1 ??

D? A B?

C E?

19. (本小题满分 12 分)一次考试中,5 名同学的语文、英语成绩如下表所示: 学生 语文(x 分) 英语(y 分)

S1
87 86

S2
90 89

S3
91 89

S4
92 92

S5
95 94

(1)根据表中数据,求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程; (2) 要从 4 名语文成绩在 90 分 (含 90 分) 以上的同学中选出 2 名参加一项活动, 以? 表 示选中的同学的英语成绩高于 90 分的人数,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . .

?? ?x ? a ? ?b ? 中, b (线性回归方程 y

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?x ,其中 x , y 为样本平 ? ? y ?b ,a

? x)

2

? ,a ? 的值的结果保留二位小数.) 均值, b

x2 y2 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点与抛物线 C2:y2=4x 的焦点 a b 5 F 重合,椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P,|PF|= . 3 (1)求椭圆 C1 的方程; → → → (2)过点 A(-1,0)的直线与椭圆 C1 相交于 M、N 两点,求使FM+FN=FR成立的动点 R 的轨迹方程.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (2a ? 1) x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,且在 ?0, e? 上的最大值为 1 ,求 a 的值.

选做题:请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答,并按要求在答题卷上注明题号.多 答按所答的首题进行评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲。 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 作直线 AP ? OM 于 P . (1)证明: OA ? OM ? OP ;
2

(2) N 为线段 AP 上一点,直线 NB ? ON 且交圆 O 于 B 点,过 B 点的切线交直线 ON 于

K.
证明: ?OKM ? 90 .
0
B A N O P M K

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 直线 l : ?

? x ? a ? 4t , ? (t为参数),圆C : ? ? 2 2 cos(? ? )(极轴与 x 轴的非负半轴重合, 4 ? y ? ?1 ? 2t

且单位长度相同) . (1)求圆心 C 到直线 l 的距离; (2)若直线 l 被圆 C 截的弦长为

6 5 , 求a 的值。 5

24。(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲。 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? a .

?1? 当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? ? 2 ;

1

? 2 ? 若存在实数 x,使得不等式 f ? x? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

一、选择题:CBADD 二、填空题:13、1
12、 解:令 g ( x) ? f ( x) ? ∴函数 g ( x) 为奇函数 ∵ x ? (0 ,

文科数学参考答案 BCDAD AB
3 25 14、 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 4

15、 [?3, 0]

16、2016

1 2 1 1 x ,? g (? x) ? g ( x) ? f (? x) ? x 2 ? f ( x) ? x 2 ? 0 2 2 2

? ?) 时, g / ( x) ? f / ( x) ? x ? 0 ,函数 g ( x) 在 x ? (0 , ? ?) 为减函数 , g (0) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 R 上为减函数

又由题可知, f (0) ? 0

1 1 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? g (6 ? m) ? (6 ? m) 2 ? g ( m) ? m 2 ? 18 ? 6m ? 0 2 2


g (6 ? m) ? g (m) ? 0

∴ g (6 ? m) ? g (m) ,∴ 6 ? m ? m

, ?m ? 3

16、∵ f (2016) ? f (2013) ? 3 ? f (2010) ? 6 ? ?? ? f (0) ? 2016 ? 2016

f (2016) ? f (2014) ? 2 ? f (2012) ? 4 ? ?? ? f (0) ? 2016 ? 2016 ? f (2016) ? 2016

三、解答题:
17.解: (1)由 当 n ? 2 时,

nan ? an?1 a n , ? n ,得 (n ? 1)an?1 ? nan ,即 n ?1 ? an?1 an n ?1

(2 分)

a a a2 a3 a4 1 2 3 n ? 2 n ?1 ? ? ??? n?1 ? n ? ? ? ??? ? a1 a2 a3 an?2 an?1 2 3 4 n ?1 n

(3 分)

即 an ?

1 1 a1 ? ; n n

(4 分)

因为 a1 ? 1 ?

1 1 * ,所以 a n ? ( n ? N ) 1 n

(5 分)

1 2n (2)由 bn ? 与 a n ? ,得 bn ? n ? 2 n n an
∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n ① ②

(6分)

(7分) (8分) (11分) (12分) 所以? DD1 ? CE (1 分)
(3 分)

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
①-②得 ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1 ∴ Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2

18.解:(1) 证明:? DD1 ? 面 ABCD , CE ? 面 ABCD

Rt ?DAE 中, AD ? 1 , AE ? 1
同理: CE ? 2 ,又 CD ? 2

DE ? AD2 ? AE2 ? 2
2

, CD

? CE 2 ? DE 2

DE ? CE

(4 分) (5 分) (6 分)

DE ? CE ? E
又 D1E ? 面 D1EC

所以, CE ? 面 D1DE 所以, D1E ? CE

(2)解法一:几何法 由(1)证可知 ?D1 ED 是所求二面角 D1 ? EC ? D 的平面角。 在 RT?D1 ED 中, DD1 ? 1 , DE ? (8 分)

2 ;故, tan?D1 ED ?

1 2

?

2 2

(10 分)

即二面角 D1 ? EC ? D 的大小的余弦值为 解法二:利用向量法

6 3

(12 分)

设平面 CD1 E 的法向量为 m ? ( x, y,1) ,由(1)得 D1 E ? (1,1,?1) , CE ? (1,?1,0) 分)

(7

m ? D1 E ? x ? y ? 1 ? 0 且 m ? CE ? x ? y ? 0
解得: x ? y ?

1 1 1 ,即 m ? ( , ,1) ; 2 2 2

(9 分) D1

z? C1 B1 ?? D ? A ? E ? ? A1
?

又平面 CDE 的法向量为 DD1 ? (0,0,1) ,

? cos m, DD1 ?

m ? DD1 | m | ? | DD1 |

?

1 1 1 ? ? 1 ?1 4 4

?

6 3

?

x?

B

C Y

y?

所以,二面角 D1 ? EC ? D 的余弦值为 19.解: (1) x ?

6 3 。

(12 分) (1 分) (2 分)

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91, 5 8 6? 8 9 ? 89 ? 9? 2 94 y? ?90, 5
2

? ( xi ? x ) ? (?4)2 ? (?1)2 ? 02 ? 1 ? 42 ? 34,
i ?1
5

5

? ( x ? x )( y ? y ) ? (?4) ? (?4) ? (?1) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 1? 2 ? 4 ? 4 ? 35,
i ?1 i i

? ? 35 ? 1.03, b 34

(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)
2 C2 1 P(? ? 2 )? 2 ? . (9 分) C4 6

?x ? 90 ? 1.03? 91 ? ?3.73, ? ? y ?b a
故回归直线方程为 ? y ? 1.03x ? 3.73 . (2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.
2 C2 1 P(? ? 0) ? 2 ? ; C4 6 1 1 C2 C 2 P(? ? 1) ? 2 2 ? ; C4 3

故 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

1 6

2 3

1 6
(10 分)

所以 E? ? 0 ?

1 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 6 3 6

(12 分)

20.解:(1)抛物线 C2:y2=4x 的焦点 F 的坐标为(1,0),准线为 x=-1, 5 5 2 设点 P 的坐标为(x0,y0),依据抛物线的定义,由|PF|= ,得 1+x0= ,解得 x0= . (2 3 3 3 分) 因为点 P 在抛物线 C2 上,且在第一象限, 2 2 6 2 2 6? 所以 y2 .所以点 P 的坐标为? , . (3 0=4x0=4× ,解得 y0= 3 3 ?3 3 ? 分) x2 y2 4 8 因为点 P 在椭圆 C1: 2+ 2=1 上,所以 2+ 2=1. ① a b 9a 3b 又 c=1,且 a2=b2+c2=b2+1, ② ?a2=4 ? x2 y2 解得? 2 . 所以椭圆 C1 的方程为 + =1. (5 4 3 ? ?b =3

分) → → → (2)设点 M(x1,y1)、N(x2,y2)、R(x,y),则FM=(x1-1,y1),FN=(x2-1,y2),FR= (x-1,y). → → 所 以 FM + FN = (x1+x2-2,y1+y2) .(6 分) → → → 因为FM+FN=FR,所以 x1+x2-2=x-1,y1+y2=y. ③ x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 因为 M、N 在椭圆 C1 上,所以 + =1, + =1. 4 3 4 3 (x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) 上面两式相减得 + =0. ④ 4 3 (x+1)(x1-x2) y(y1-y2) 把③式代入④式,得 + =0. 4 3 y1-y2 3(x+1) 当 x1≠x2 时,得 =- . ⑤ (8 4y x1-x2 分) x+1 y? 设 FR 的中点为 Q,则 Q 的坐标为? ? 2 ,2?. y 2 y1-y2 y 因为 M、N、Q、A 四点共线,所以 kMN=kAQ,即 = = .⑥ x1-x2 x+1 x+3 +1 2 x + 1 ( ) 3 y 2 把⑥式代入⑤式, 得 =- , 化简得 4y2+3(x +4x+3)=0. (10 4y x+3 分) 当 x1=x2 时,可得点 R 的坐标为(-3,0), 2 经检验,点 R(-3,0)在曲线 4y2+3(x +4x+3)=0 上. 2 所 以 动 点 R 的 轨 迹 方 程 为 4y2 + 3 (x +4x+3) = 0. (12 分) 21. 解:显然函数 f ( x) 的定义域为(0,+?). (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? 3x , f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 当0 ? x ?

2 x 2 ? 3x ? 1 x

(1 分)

1 , x2 ? 1 . 2
(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

1 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增; 2 2 1 1 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递减; 2 2
当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 (1,??) 上单调递增; , 1, +? ) 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (0, )( ;单调递减区间为 ( ,1) . (2)因为 f ?( x) ?

1 2

1 2

2ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)(x ? 1) ? x x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 2a
1 . 2
(6 分)

因为 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 x 2 ? x1 ,即 a ? ①当 a ? 0 ,即 x 2 ?

1 ? 0 时, 2a

1) 因为当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (0, 上单调递增; 当 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 所以 f ( x) 在 (1,e] 上单调递减;故 f ( x) 在区间 ?0, e? 上的最大值为 f (1) . 由 f (1) ? 1 ,解得 a ? ?2 . ②当 a ? (7 分)

1 1 ? 1 时, ,即 0 ? x 2 ? 2 2a 1 1 1 ) 上单调递增;当 ? x ? 1 时, 因为当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, 2a 2a 2a 1 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( ,1) 上单调递减;当 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1,e] 2a 1 上单调递增;故 f ( x) 在区间 ?0, e? 上的最大值 1 只可能在 x ? 或 x=e 处取得. 2a
因为 f (

1 1 1 1 1 1 ) ? ln ? a ( ) 2 ? (2a ? 1) ? ln ? ?1 ? 0 , 2a 2a 2a 2a 2a 4a
1 1 ? . e?2 2
(9 分)

所以由 f (e) ? ln e ? ae2 ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? ③当

1 1 1 ? a ? ,即 1 ? x 2 ? ? e 时, 2e 2 2a 1 时,f ?( x) ? 0 2a

1) 因为当 0 ? x ? 1 时,f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (0, 上单调递增; 当1 ? x ? 所以 f ( x) 在 (1,

1 1 ? 1 ? ) 上单调递减;当 ? x ? e , f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? , e? 上单调 2a 2a ? 2a ?

递增;故 f ( x) 在区间 ?0, e? 上的最大值 1 只可能在 x=1 或 x=e 处取得. 因为 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? ?(a ? 1) ? 0 , 所以由 f (e) ? ln e ? ae2 ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? ④当 0 ? a ?

1 1 ? (舍去). e?2 2

(10 分)

1 1 ? e 时, ,即 x 2 ? 2e 2a

1) 因为当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (0, 上单调递增; 当 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 所以 f ( x) 在(1,e)上单调递减;故 f ( x) 在区间 ?0, e? 上的最大值 1 只可能在 x=1 处取得.

因为 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? ?(a ? 1) ? 0 ,所以此时 a 无解.

(11 分) (12 分) (2 分)

1 或 a ? ?2 . e?2 22.解:证明: (1)由 MA 是圆 O 的切线知: AM ? OA 又∵ AP ? OM ;
综上所述, a ? ∴ 在 Rt?OAM 中,由射影定理知: OA ? OM ? OP
2

(4 分) (6 分)

2 (2)证明:由 BK 是圆 O 的切线知: BN ? OK .同(1) OB ? ON ? OK

由 OB ? OA 得: OM ? OP ? ON ? OK 即:

(7 分) (9 分) (10 分)

OP OK ? .又 ?NOP ? ?MOK ,则 VNOP : VMOK ON OM
0

∴ ?OKM ? ?OPN ? 90 . (用 M 、P 、N 、K 四点共圆来证明也得分)

? x ? a ? 4t 化为普通方程为 x ? 2 y ? 2 ? a ? 0, (2 分) ? y ? ?1 ? 2t ? 把 ? ? 2 2 cos(? ? ) 化为直角坐标系中的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0, (4 分) 4 ? 圆心 C(1, ?1) 到直线的距离为 5 | 1 ? a | (5 分) 5 3 (2)由已知圆的半径为 2 ,弦长的一半为 (7 分) 5
23.解: (1)把 ?

? 3 ? ? a ?1 ? 所以, ? ? ? 2 ? ?? ? 5? ? 5 ? ? a 2 ? 2a ? 0 , a ? 0或a ? 2

2

2

? ?

2

(8 分) (10 分)

24.解:(1)? a ? 2

( x ? 2) ? 1 ? ? f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ? ?5 ? 2 x (2 ? x ? 3) ? ?1 ( x ? 3) ?

(1 分)

1 ? x?3 ? ? x?2 1 ?5 ? 2 x ? ? ? ? ? f ( x) ? ? 等价于 ? 2 或? 1 1 或? 2 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 2? x?3 ? 2
解得

(3 分)

11 11 ? x ? 3 或 x ? 3 ,所以不等式的解集为 {x | x ? } 4 4

(5 分) (8 分)

(2)由不等式性质可知 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a ? ( x ? 3) ? ( x ? a ) = a ? 3

? 若存在实数 x ,使得不等式 f ( x) ? a 成立,则 a ? 3 ? a ,解得 a ?

3 2

3 ? 实数 a 的取值范围是 (??, ] 2

(10 分)


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内蒙古杭锦后旗奋斗中学2015-2016学年高二历史上学期9月质量检测考试试题

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内蒙古杭锦后旗奋斗中学2015-2016学年高二9月质量检测考试数学试题

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