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广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学文试题(纯WORD版)


广东省梅州市 2014 届高三 3 月总复习质检数学文试题
一、选择题(40 分) 1、已知全集 U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},则 A∩ CU B 为 A、{1,3} B、{0,2} C、{0,1,3} D、{2} 2、下列函数中既是奇函数,双在区间(-1,1)上是增函数的为 A、y=|x+1| 3、如果复数 A、 2 B、y=sinx C、y

= 2 x ? 2? x D、y=lnx

2 ? bi (b ? R) 的实部和虚部都互为相反数,那么 b 等于 1 ? 2i 2 2 B、 C、- D、2 3 3

4、已知 ? 为锐角,且 tan(? ? ? ) +3=0,则 sin ? 的值是

A、

1 3

B、

3 10 10

C、

3 7 7

D、

3 5 5

5、阅读右面的程序框图,则输出的 S= A、14 B、20 C、30 D、55 6、已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是

7、设 m,n 是平面 ? 内两条不同直线,l 是平面 ? 外的一条直线, 则“l⊥m,l⊥n”是“l⊥ ? ”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

1 2 1 B、 6 1 C、 12 1 D、 18
A、

?x ? y ? 1 ? 8、已知变量 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 5 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?x ? 1 ?
A、4 B、5 C、6 D、7 2 2 9、设曲线 C 的方程为(x-2) +(y+1) =9,直线 l 的方程 x-3y+2=0,则曲线上的 点到直线 l 的距离为 A、1

7 10 的点的个数为 10
B、2 C、3 D、4

10、若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P、Q

关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一个“友好点对” (点对[P,Q]与[Q, P]看作同一个“友好点对” ) .已知函数 f(x)= ,则此函数的“友好点对”

有 A、0 对

B、1 对

C、2 对

D、3 对

二、填空题(30 分) (一)必做题(11-13 题) 11、已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m), 若a ?(a+b).则m =___ 12、已知函数 f(x)=lnx-ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 2x+y-1=0 平行,则实数 a 的值为___ 13、已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 线 C 的方程是____ (二)选题题(14-15 题,只能选做一题) 14 (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程是 ? 数 t ? R) ,圆 C 的参数方程是 ? 为____________. 15.(几何证明选讲选做)如图,在圆的内接四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,∠ABD=30°, ∠BDC=45°,AD=1,则 BC=____

?

?

?

? ?

x2 y 2 ? ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲 25 16

?x ? t ? 3 (参 ?y ? 3?t

? x ? 2 cos ? (参数θ ? R) ,则圆 C 的圆心到直线 l 的距离 ? y ? 2sin ? ? 2

三、解答题(共 80 分) 16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象

如图所示。 (1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间; (2)△ABC 的内角分别是 A,B,C,若 f(A)=1,cosB=

4 ,求 sinC 的值。 5

17、 (本小题满分 12 分) 已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测 试,现学校决定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩拉样统计,先将 800 人按 001,002,?,800 进行编号。 (1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面摘取了第 7 行至第 9 行)

(2)抽取取 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表:

成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成 绩,例如:表中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42 人,若在该样本中,数学成 绩优秀率为 30%,求 a,b 的值。 (3)在地理成绩为及格的学生中,已知 a ? 10, b ? 8 ,求数学成绩为优秀的人 数比及格的人数少的概率。

18、 (本小题满分 14 分)如图,在直角梯形 ABEF 中,BE∥AF,∠FAB=90°,CD∥AB,将 DCEF 沿 CD 折起,使∠FDA=60°,得到一个空间几何体。 (1)求证:BE∥平面 ADF;

(2)求证:AF⊥平面 ABCD; (3)求三棱锥 E-BCD 的体积。

19、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2, ) ,且长轴长与短轴 长的比是 2: 3 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点,若当 | MP | 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点上,求实数 m 的取值范围。

????

20、 (本小题满分 14 分)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N *) 。 (1)求数列{ an }的通项公式;

(2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个公差为 d 的等差数列。 (I)在数列{ d n }中是否存在三项 d m , d k , d p (其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列?若 存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由; (II)求证:

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2-4( a ? R ) , f (') x 是 f(x)的导 函数。 (1)当 a=2 时,对于任意的 m ? [-1,1] ,n ? [-1,1] ,求 f(m)+ f '(m) 的最小值; (2)若存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) >0,求 a 的取值范围。

梅州市 2014 届高三总复习质检试卷(2014,3) 数学(文科)试题参考答案及评分标准

一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D
2

9 B

10 C
2

10.解:根据题意:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ?(? x) ? 4(? x) ? ? x ? 4 x , 则函数 y ? ? x ? 4 x ( x ? 0) 关于原点对称的函数是 y ? x ? 4 x( x ? 0) .由题意知,
2 2

作出函数 y ? x ? 4 x( x ? 0) 的图象,看它与函数 y ? log 2 x ( x ? 0) 交点个数即可得
2

到友好点对的个数.如 图, 观察图象可得它们的交点个数是 2. 即 f ( x) 的“友好 点对”有 2 个.故答案选 C.

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ? 3 12. 3 13.

x2 y2 ? ?1 9 16

14.2 2

15.

2

16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由图象最高点得 A=1, 1分

????? ???2 分

1 2? ? 1 2? ? ? ?, ?T ? ? ? , ?? ? 2 . 2 3 6 2 ? ? ? 当 x ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? 因为 | ? |? ,所以 ? ? . 2 6
由周期 T ?

? f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

) .

?????4 分

由图象可得 f ( x) 的单调减区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

2? ], k ? Z . 3

???6 分

(2)由(1)可知,

s i n2(A ?

?
6

) ? 1, 6 ? 13? , 6
???8 分 ????9 分 ?????10 分 .

?0 ? A ? ? , ?

?
6
.

? 2A ?

?

?2A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
6

3 . 5 ? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin(A ? B) ? 0 ? B ? ? ,? sin B ? 1 ? cos2 B ?

? sin A cos B ? cos Asin B 1 4 3 3 4?3 3 . ? ? ? ? ? 2 5 2 5 10
17. (本小题满分 12 分)

???12 分

解: (1)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 785,667,199; (2)由

????3 分 ????5 分

7?9?a ? 0.3 ,得 a ? 14 , 100 ∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 , ∴ b ? 17 ;
(3)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, b ? 8 ,

????7 分

∴满足条件的 (a, b) 有: (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16) , (16,15) , (17,14) , (18,13) , (19,12) , (20,11) , (21,10) , (22,9) , (23,8)共 14 组, 且每组出现的可能性相同. ?.?9 分 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有: (10, 21) , (11, 20) , (12, 19) , (13, 18) , (14, 17) , (15, 16) 共 6 组. ???? 11 分 ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为 18. (本小题满分 14 分) 解:(1)由已知条件可知 BC // AD, CE // DF ,折叠之后平行关系不变,又因为 BC ? 平面 ADF , AD ? 平面 ADF ,所以 BC //平面 ADF ;

6 3 ? . 14 7

???12 分

同理 CE //平面 ADF .

????2 分

又? BC ? CE ? C, BC, CE ? 平面 BCE ,

?平面 BCE //平面 ADF .
又 BE ? 平面 BCE , ∴ BE //平面 ADF . (2)由于 ?FDA ? 60?, FD ? 2, AD ? 1, ???4 分

1 1 即 ? AF 2 ? FD 2 ? AD 2 ? 2 ? FD ? AD ? cos ?FDA ? 4 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? 3 2 2 ,
AF ? 3.
? AF 2 ? AD 2 ? FD 2 ,? AF ? AD .
??6 分

? DC ? FD, DC ? AD, AD ? FD ? D, AD, DF ? 平面 ADF ,

? AF ? 平面 ABCD .

??8 分

(3)法一:? DC ? EC, DC ? BC, EC, BC ? 平面 EBC , EC ? BC ? C.

? DC ? 平面EBC .

??????????10 分

又? DF // EC, AD // BC, ?FDA ? 60? ,? ?ECB ? 60? .

? EC ? 1, BC ? 1, ? S ?ECB ?

1 3 3 ? 1?1? ? . 2 2 4

???????12 分

1 1 3 3 ?VE ? BCD ? VD ? EBC ? ? DC ? S ?ECB ? ? 1 ? ? . 3 3 4 12
法二:取 BC 中点 G ,连接 EG . 由(2)易知 平面ADF ⊥平面 ABCD ,又平面 BCE //平面 ADF ,

????14 分

? 平面BCE ⊥平面 ABCD .

????????????????10 分

又? DF // EC, AD // BC, ?FDA ? 60? ,? ?ECB ? 60? .

? EC ? 1, BC ? 1, ? ?BCE是正三角形 , 故EG ? BC, 且EG ? 3 , 2
平面BCE ? 平面ABCD ? BC, EG ? 平面BCE,? EG ? 平面ABCD .

??12 分

1 1 3 1 3 VE ? BCD ? ? EG ? S ?BCD ? ? ? ? .??????????????14 分 3 3 2 2 12
19. (本题满分 14 分) 解: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) .??????1 分 a2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ?a 由题意有: ? ? , b 3 ? ? ?c ? 2
解得 a ? 16, b ? 12 .
2 2

??????3 分

??????5 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

??????6 分

( 2 ) 设 P ( x, y ) 为 椭 圆 上 的 动 点 , 由 于 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ?1 , 故 16 12

? 4 ? x ? 4 .?????7 分
因为 MP ? ( x ? m, y ) ,所以

| MP | 2 ? ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? 12 ? (1 ?

x2 1 1 ) ? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 12 ? ( x ? 4m) 2 ? 3m 2 ? 12. 16 4 4

???10 分 因为当 | MP | 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,即当 x ? 4m 时,

| MP | 2 取得最小值.而 x ? [?4,4] ,
故有 4m ? 4 ,解得 m ? 1 . 又点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 4 ? m ? 4 . 故实数 m 的取值范围是 m ? [1,4] . 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 an ?1 ? 2Sn ? 2(n ? N ) ,
*

???12 分 ????13 分 ?????14 分

可得: an ? 2Sn ?1 ? 2(n ? N ,n ? 2) ,
*

两式相减: an ?1 ? 3an (n ? N ,n ? 2) .
*

?????2 分

又 a2 ? 2a1 ? 2 , 因为数列 ?an ? 是等比数列,所以 a2 ? 2a1 ? 2 ? 3a1 ,故 a1 ? 2 . 所以 an ? 2 ? 3
n ?1

.
n ?1

??????4 分 , an ?1 ? 2 ? 3
n

(2)由(1)可知 an ? 2 ? 3

因为: an?1 ? an ? (n ? 2 ? 1)d n ,得 d n ?

4 ? 3n ?1 . n ?1

?????6 分

(Ⅰ)假设在数列 {d n } 中存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列, 则: ? d k ?
2

? 4 ? 3k ?1 ? 4 ? 3m ?1 4 ? 3 p ?1 ? ? ? d m d p ,即: ? , ? m ?1 p ?1 ? k ?1 ?

2

16 ? 32 k ? 2

? k ? 1?

2

?

16 ? 3m ? p ? 2 ? m ? 1? ? ? p ? 1?

(*)

???8 分

因为 m, k , p 成等差数列,所以 m ? p ? 2k , (*)可以化简为 k ? mp ,故 k ? m ? p ,这与题设矛盾.
2

所以在数列 {d n } 中不存在三项 d m , d k , d p(其中 m, k , p 成等差数列) 成等比数列.? 10 分

(Ⅱ)令 Tn ?

1 1 1 1 , ? ? ? ...... ? d1 d 2 d3 dn

Tn ?

2 3 4 n ?1 , ? ? ? ...... ? 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?1 1 2 3 4 n ?1 Tn ? ? ? ? ... ? , 1 2 3 3 4 ?3 4 ? 3 4?3 4 ? 3n

????11 分

两式相减:

2 2 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? ? ...... ? ? 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 1? 3 5 2n ? 5 ? ? 8 8 ? 3n
?????13 分

Tn ?

15 3(2n ? 5) 15 ? ? .. 16 16 16 ? 3n

????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4, f ' ( x) ? ?3x ? 4 x.
3 2 2

令 f ' ( x) ? 0, 得x ? 0或 .

4 3

????2 分

当 x 在[-1,1]上变化时, f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表: x -1 -7 -1 (-1,0) ↓ 0 0 -4 (0,1) + ↑ 1 1 -3 ????4 分

f ' ( x)
f ( x)

? 对于m ? [?1,1], f (m) 的最小值为 f (0) ? ?4,
? f ' ( x) ? ?3x 2 ? 4 x 的对称轴为 x ?

2 且抛物线开口向下, 3,
????5 分 ????6 分

? 对于n ? [?1,1], f ' (n) 的最小值为 f ' (?1) ? ?7.
? f (m) ? f ' (n) 的最小值为-11.
(2)? f ' ( x) ? ?3x( x ?

2a ) 3 .

①若 a ? 0,当x ? 0时, f ' ( x) ? 0 ,? f ( x)在?0,??? 上单调递减, 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ? 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0.
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

????9 分

2a 2a 时, f ' ( x) ? 0, 当 x ? 时, f ' ( x) ? 0. 3 3
? 2a ?

从而 f ( x )在? 0, ? 上单调递增,在 ? ,?? ? 上单调递减, ? 3? ?3 ?

?

2?

?当x ? (0,??)时,f ( x) max ? f (

2a 8a 3 4a 3 )?? ? ?4 3 27 9 .

????12 分

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0,即a 3 ? 27, 解得a ? 3. 27
????14 分

综上, a 的取值范围是 (3,??). (或由 x 0 ? 0, f ( x 0 ) ? 0, 得a ?

4 x0
2

? x0 ,用两种方法可解)


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