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【高优指导】2016届高考数学二轮复习 专题能力训练25 解答题专项训练 数列 文


专题能力训练 25

解答题专项训练(数列)

1.已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; * (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N ),且 b1=3,求数列的前 n 项和 Tn.

2.已知数列{an}满足:a1=1,an+1= (1)求 a2,a3; * (2)设 bn=a2n-2,n∈N ,求证:{bn}是等比数列,并求其通项公式; (3)在(2)的条件下,求数列{an}前 100 项中的所有偶数项的和 S.

1

3.各项为正数的数列{an}满足=4Sn-2an-1(n∈N ),其中 Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正整数 m,n,使得向量 a=(2an+2,m)与向量 b=(-an+5,3+an)垂直?说明理由.

*

4.(2014 四川“联测促改”(一))学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选 择.调查表明,凡是在这个星期一选 A 菜的,下个星期一会有改选 B 菜;而选 B 菜的,下个星期一会有 改选 A 菜.用 an,bn 分别表示第 n 个星期选 A 的人数和选 B 的人数. * (1)试用 an-1(n∈N ,n≥2)表示 an,判断数列{an-300}是否成等比数列并说明理由; (2)若第一个星期一选 A 菜的有 200 人,那么第十个星期一选 A 菜的大约有多少人?

2

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n -1,数列{bn}满足 3 ·bn+1=(n+1)an+1-nan,且 b1=3. (1)求 an,bn; (2)设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值.

2

n

3

6.

已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数 a1,a2,a4,a7,?构成等差 数列{bn},Sn 是{bn}的前 n 项和,且 b1=a1=1,S5=15. (1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相 等,已知 a9=16,求 a50 的值; (2)设 Tn=+?+,求 Tn.

4

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=2S2+4,a5=36. (1)求 an,Sn; * (2)设 bn=Sn-1(n∈N ),Tn=+?+,求 Tn.

8.已知数列{an}是首项为 a1=,公比 q=的等比数列,设 bn+2=3loan(n∈N ),数列{cn}满足 cn=an·bn. (1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn; 2 (3)若 cn≤m +m-1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围.

*

答案与解析 专题能力训练 25 解答题专项训练(数列) 1.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则 解得∴an=2n+3. (2)由 bn+1-bn=an, * ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N ),

5

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+?+a1+b1=(n-1)·+3=n(n+2). * ∴bn=n(n+2)(n∈N ).
∴,

Tn= =. 2.解:(1)a2=,a3=-.
(2)

=.
又∵b1=a2-2=-, ∴数列{bn}是等比数列,且 bn==-. (3)由(2)得 a2n=bn+2=2-(n=1,2,3,?,50), S=a2+a4+?+a100=2×50=100-1+=99+. 3.解:(1)当 n=1 时,=4S1-2a1-1, 2 即(a1-1) =0,解得 a1=1, 当 n=2 时,=4S2-2a2-1=4a1+2a2-1=3+2a2, 解得 a2=3 或 a2=-1(舍去). (2)由已知=4Sn-2an-1,① =4Sn+1-2an+1-1,② ②-①得=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an), 即(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an). ∵数列{an}各项均为正数, ∴an+1+an>0,∴an+1-an=2. ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴an=2n-1. (3)∵an=2n-1, ∴a=(2an+2,m)=(2(2n+3),m)≠0, b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1))≠0. 又 a⊥b?a·b=0?m(n+1)-(2n+3)(2n+9)=0?m=4(n+1)+16+. * ∵m,n∈N ,∴n+1=7,m=4×7+16+1,即 n=6,m=45. ∴当且仅当 n=6,m=45 时,a⊥b. * 4.解:(1)由题意知,对 n∈N 有 bn=500-an, * 所以当 n∈N ,且 n≥2 时, an=an-1+(500-an-1)? an=an-1+150? an-300=(an-1-300). 故当 a1=300 时,{an-300}不是等比数列; 当 a1≠300 时,{an-300}是以 a1-300 为首项,为公比的等比数列. (2)当 a1=200 时,an-300=(a1-300)? an=300-? a10=300-≈300,故第十个星期一选 A 菜的大约有 300 人. 2 2 5.解:(1)当 n≥2 时,Sn=an+n -1,Sn-1=an-1+(n-1) -1, 两式相减,得 an=an-an-1+2n-1, ∴an-1=2n-1(n≥2).∴an=2n+1(n≥2). n ∴3 ·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3, ∴bn+1=. 当 n≥2 时,bn=. 又∵b1=3 适合上式,∴bn=. (2)由(1)知 bn=, ∴Tn=+?+,① Tn=+?+,② ①-②,得 Tn=3++?+=3+4×=5-. ∴Tn=. Tn-Tn+1==-<0,

6

∴Tn<Tn+1,即{Tn}为递增数列, 又 T3=<7,T4=>7, ∴当 Tn<7 时,n 的最大值为 3. 6.解:(1)∵{bn}为等差数列,设公差为 d,b1=1,S5=15,∴S5=5+10d=15,d=1. ∴bn=1+(n-1)×1=n. 2 2 设从第 3 行起,每行的公比都是 q,且 q>0,a9=b4q ,4q =16,q=2,1+2+3+?+9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数, 4 4 而 a50=b10q =10×2 =160. (2)∵Sn=1+2+?+n=, ∴Tn=+?++?+=2+?+=2. 7.解:(1)因为 S3=2S2+4, 所以 a1-d=-4. 又因为 a5=36,所以 a1+4d=36, 解得 d=8,a1=4,an=4+8(n-1)=8n-4, Sn==4n2. 2 (2)bn=4n -1=(2n-1)(2n+1), 所以,

Tn=+?+ = =. * 8.(1)证明:由题意知 an=(n∈N ), ∵bn=3loan-2,b1=3loa1-2=1, ∴bn+1-bn=3loan+1-3loan=3lo=3loq=3, ∴数列{bn}是首项 b1=1,公差 d=3 的等差数列. * (2)解:由(1)知,an=,bn=3n-2(n∈N ), * 则 cn=(3n-2)×(n∈N ),Sn=1×+4×+7×+?+(3n-5)×+(3n-2)×,于是 Sn=1×+4×+7×+?+(3n-5)×+(3n-2)×,两式相减得 Sn=+3-(3n-2)×-(3n+2)×. * ∴Sn=(n∈N ). * (3)解:∵cn+1-cn=(3n+1)·-(3n-2)·=9(1-n)·(n∈N ), ∴当 n=1 时,c2=c1=,当 n≥2 时,cn+1<cn, 即 c1=c2<c3<c4<?<cn. ∴当 n=1 时,cn 取最大值是. 2 又∵cn≤m +m-1 对一切正整数 n 恒成立, 2 2 ∴m +m-1≥,即 m +4m-5≥0,得 m≥1 或 m≤-5.

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