新课标人教A版 选修2-2 导数的概念

1.1.2 导数的概念

一．复习引入

上图是一张运动员高台跳水的图片，由上节课的学习我 们知道，运动员起跳后相对于水面的高度h与时间t的函数关 系为h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 ，由这个函数关系，我 们就能求出在任何一段时间内的平均速度，回忆求平均速度 的计算公式。

h(t ) ? ?

4.9t ? 6.5t ? 10
2

平均速度公式： v ?

?h h(t2 ) ? h(t1 ) ? ?t t2 ? t1

由上面的公式，我们可以计算任何时间段内的平均速度。

65 探究 计算运动员在[0， ]这段时间 49 里的平均速度，并思考下面两个问题。

?1? 运动员在这段时间里是静止的吗 ? ? 2 ? 你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗 ?

探究过程：如图是函数h(t)= 4.9t2+6.5t+10的图像，结合图 65 形可知，经过计算h( ) ? h(0) ， 49 所以，
65 h( ) ? h(0) v ? 49 ? 0(m / s ) 65 ?0 49
o

h

65 49

t

65 1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 虽然运动员在 0 ? t ? 49 这段时间里的平均速度 为 0(m / s) ，但实际情况是运动员仍然运动，并

?? ? 2 ? 你认为用平均速 度描述 运动员运动 非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员
的运动状态． 状态有什么问题吗 ?

思考

回顾所学物理知识：既然平均速度不
能精确的描述运动员的运动状态，为了 更加精确的刻画运动员在某一时刻的运 动状态，我们可以考察什么物理量？ 运动员在某一时刻的速度，即物理中的瞬 时速度。

二．新课讲授
1．瞬时速度

在高台跳水运动中，运动员在不同时刻 的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的 速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不一 定能反映他（她）在某一时刻的瞬时速度。

那么,我们如何求运动员的瞬时速度呢?
比如, t ? 2时的瞬时速度是多少?
分析

[1.9，2]

[2，2.1]

[1.99，2]

[2，2.01]

[1.999，2] [1.9999，2]

[2，2.001] [2，2.0001]

[1.99999，2]

[2，2.00001]

[1.999999，2]

[2，2.000001]

……

……

根据上面的分析，要想确定2s时的瞬时速度，我 们可以先考察 t ? 2 附近的情况 . 在 t ? 2 之前或之 后 , 任意取一个时刻2 ? ?t , ?t是时间的改变量, 可以 是正值, 也可以是负值, 但不为 0.当?t ? 0时, 2 ? ?t在2 之前;当?t ? 0时, 2 ? ?t在2之后计算区间? 2 ? ?t , 2 ? . 和区间? 2, 2 ? ?t ?内平均速度v, 为了方便研究，画 表格如下.

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 ?h h(2) ? h(2 ? ?t ) ?t ? 0时，? v ? ? ?4.9?t ? 13.1 ? ?t 2 ? (2 ? ?t ) 通过表格中的数据观察，当△t趋于0时，平 ?h h(2 ? ?t ) ? h(2) ?t ? 0时，? v ? ? ?4.9?t ? 13.1 均速度有什么样的变化趋势？ ? ?t (2 ? ?t ) ? 2
区间[2+ ?t ， 2]

?t
-0.1

v ? ?4.9?t ? 13.1 vv ?4.9?t ? 13.1 区间[2+ ?t ，2] ?? ?

?t
0.1
0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

v ? ?4.9?t ? 13.1 v ?v 4.9?t ? 13.1 ?? ?

[1.9，2] [1.99，2]
v ? ?4.9?t ? 13.1

v ? ?12.61
v ? ?13.051

[2，2.1] [2，2.01] [2，2.001]

v ? ?13.59 v ? ?13.149
v ? ?13.1049
v ? ?13.10049
v ? ?13.100049

-0.01 -0.001 -0.0001

[1.999，2] [1.9999，2] [1.99999，2]

v ? ?13.0951

v ? ?13.09951 [2，2.0001]
[2，2.00001]

-0.00001 v ? ?13.099951

[1.999999，2] -0.000001

……

……

v ? ?13.0999951 [2，2.000001] …… ……

v ? ?13.1000049
……

……

我们发现,当?t趋近于0 时, 即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值? 13.1. 从物理的角度看时间间隔| ?t | 无限变小时, 平均 ,

速度v就无限趋近于 ? 2时的瞬时速度因此, 运动 t . 员在t ? 2时的瞬时速度是? 13.1m / s. h ? 2 ? ?t ? ? h ? 2 ? 为了表述方便, 我们用 lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t 表示 "当t ? 2, ?t 趋势近于0时, 平均速度 v 趋近于确
定值 ? 13.1".

那么在t=1或t=3时的瞬时速度怎么求？

h ? 2 ? ?t ? ? h ? 2 ? 我们称确定值 ? 13.1是 当?t趋近于0时的极限. ?t

探究 1. 运动员在某时刻t0的瞬时速度怎样表示 ?
h ? t0 ? ?t ? ? h ? t0 ? ?h lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

回顾上一节课研究的气球的的膨胀率问题：
3

r (V ) ?

3V 4?

气球在体积为V0时的瞬时膨胀率怎么表示？

r ?V0 ? ?V ? ? r ?V0 ? ?r lim ? lim ?v ?0 ?V ?V ?0 ?V

2. 函数 f ? x ? 在x ? x0处的瞬时变化率怎样表示?

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

一般地, 函数 y ? f ? x ? 在x ? x0处的瞬时变化率是 f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?f lim ? lim , 我们称它为函数 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x y ? f ? x ? 在x ? x0处的导数, 记作 f ' ? x0 ? 或 y' |x? x 0 f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ' 即f ? x0 ? ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

y |x? x0 表示函数 y关于自变量x在x0处的导数.
'

注意

lim （1） ? x 为平均变化率，加上符号 ?x ?0 表示 ?x 趋于 0，则

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y f ? x0 ? ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?y
'

平均变化率趋于瞬时变化率， 瞬时变化率就是导数， 某点 x0 处的导数。进一步讲 f ' ? x0 ? 体现了函数 f（x）在点 x0 处变化 的快慢。
（2）由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0的导数的 一般方法: ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; 1.求平均变化率 ?x ? ?x 2. 求极限值
。

?y f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

由导数的定义 我们知道,高度h关于时间t的导数 , 就是运动员的瞬时速度气球半径r关于体积V的 ; 导数就是气球的瞬时膨 胀率.

实际上, 导数可以描述任何事物的瞬时变化率, 如 效率、点密度、国内生产总值GDP的增长率等等.

三．典例分析
例1 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原油进 行冷却 和加热.如果在 xh 时, 原油 的温度 ? 单位 :0 C ? 为 f ? x ? ? x ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8).计算第2h和第6h时, 原
2

油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

： 2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 f ' ?2? 解 在第 就是
?y f ? 2 ? ?x ? ? f ? 2 ? 和 f ?6?. 根据导数的定义 , ? ?x ?x
'

?x 4 ?x ? ?x ? 7?x ? ? ?x ? 3, ?x ?y ' 所以, f ? 2 ? ? lim ? lim ? ?x ? 3? ? ?3, ?x ?0 ?x ?x ?0
2

?

?2 ? ?x ?2 ? 7?2 ? ?x ? ? 15 ? ?22 ? 7 ? 2 ? 15?

同理可得 f ?6? ? 5.
'

在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为? 3 与5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以 C / h的速 3 率下降; 在6h附近, 原油温度大约以 0 C / h的速率上升 5 .
一般地, f ' ? x0 ?反映了原油温度在时刻 0附近的变化 x 情况.
0

四．回顾总结

1. 瞬时速度的概念
2. 导数的概念及其内涵 3. 思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从 特殊到一般。

课后思考

f(x0+?x)
0

y

y=f(x)

从函数的图象上看， f(x ) f x) 平均变化率： ( x ? ??x ? f ( x )
0 0

f(x0+?x)-f(x0)
?x

表示曲线y=f(x)的一条 割线的斜率。

o

x0

x0+ ?x

x

那么导数即瞬时变化率 表示什么呢？请课后思考.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

作业:第10页习题A组第1、2、3、4、5 题

变式练习

质点运动规律为s=t2+3，求质点在 t=3的瞬时速度.