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1112学年度下学期高一数学练习3(03)12214


11-12 学年度下学期高一数学练习 3(03)12-2-14

直线与圆的方程的应用、空间直角坐标系
一.选择题.共 6 题小题,每题 5 分.每题有且仅有一个选项正确,所选答案填写到后面指定的表 中.
1.如图所示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4 2.点 M(3,-3,

1)关于 xOy 平面的对称点是 ( ) A. (3,-3,-1) B. (-3, 3,1) C. (3,3,-1) D. (-3,-3, 1) 3.两圆 x2+y2-2x+10y+1=0,x2+y2-2x+2y-m=0 相交,则 m 的取值范围是( ) A.(-2,39) B.(0,81) C.(0,79) D.(-1,79) 4.已知半径为 1 的动圆与圆 C:(x-5)2+(y+7)2=16 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=25 或(x-5)2+(y+7)2=9 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=17 或(x-5)2+(y+7)2=15 )

5 . 若 集 合 A = {(x , y)|x2 + y2≤16} , B = {(x , y)|x2 + (y - 2)2≤a - 1} 且 A∩B = B , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A.a≤5 B.a≥5 C.1≤a≤5 D. 1 ? a ? 5 6.函数 f (t ) ? 2 t ?1 ? 3 ? t 的值域等于 A. [2, 4] B. [?2 5, 2 5] C. [2, 2 5] ( D. [4, 2 5] )

题号 1 2 3 4 5 6 答案 二.填空题.共 4 道小题每小题 5 分.将最简答案填在本大题后面指定的横线上.
7.若 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 与点 C 间的距离为___ _____. 8.在空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A(3,-1,2),其中心 M 的坐标为 (0,1,2),则该正方体的棱长等于___ _____.

9.由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,且∠APB=60° ,则动点 P 的轨迹方程为____ ____. 10 .点 P 在圆 O: x2 + y2 = 1 上运动,点 Q 在圆 C : (x - 3)2 + y2 = 1 上运动,则 PQ 的最小值为 ____ ____.

高一__ __班 学号_____

姓名__________

成绩__________

三.解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.共 50 分.
11.矩形 ABCD 中,AB∶BC=4∶3,点 E 在边 CD 上,且 CE∶ED=1∶7,试用坐标法确定以 BC 为直径的圆 与直线 AE 的位置关系. E D C

A

B

12. 已知圆 O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,|PQ|=|PA|成立,如图. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆,使它与圆 O 有公共点,试在其中求出半径最 小的圆的方程.

13.已知方程 x2+y2-2x-4y+m=0. (1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2) 直线 x+2y-4=0 与(1)中的圆交于 M、N,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

14.某地即将受到台风的影响. 台风中心位于该地气象台 A 正西方向 300 千米处,它以每小时 40 千米的速度向 东北方向移动,距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台 A 所 在地将遭受台风影响?持续多长时间?

15.在直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)斜率分别等于 ?2 、 都等于为

1 的直线 l1 、 l2 都通过点 M (a, b) ,且 l1 被圆 C1 截得的弦长与 l2 被圆 C2 截得的弦长 2

2 95 ,求点 M (a, b) 的坐标; 5

(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被 C2 截得的弦长相等.试求所有满足条件的点 P 的坐标.


一.选择题. CAD 提示: BAC















第 3 周练习:直线与圆的方程的应用、空间直角坐标系

1.解析:图(3)不符合右手系的要求,图(4)中水平坐标平面上的 x, y 轴按 135? 的情况所作出,符合斜 二侧画法.只有(3)不符合要求,选 C. 2.解析:空间中的一点关于 xOy 对称的点的坐标是 x,y 不变,z 变为原来的相反数,即所求的点是(3,-3, -1). 答案:(3,-3,-1) 3.解析:选 D.两圆的方程分别可化为(x-1)2+(y+5)2=25,(x-1)2+(y+1)2=m+2. 由此, m ? 2 ? 0 , m ? ?2 ,又两圆相交,得|5- m+2|<4<5+ m+2,解之得-1<m<79. 综合知,选 D. 4.解析:选 B.设动圆圆心为 M(x,y),因为动圆 M 与定圆 C 相切.所以|MC|=1+4=5 或|MC|=4-1=3, 2 2 2 2 代入坐标整理,得(x-5) +(y+7) =25 或(x-5) +(y+7) =9. 5.解析:选 A.由 A∩B=B 知 B?A,故 a-1≤4,即 a≤5. 注意,因为 B ? ? 也可以,所以不需限定 a ? 1 . 6 . 解 析 : 定 义 域 为 [? 1 , , 3 设 ]

t ?1 ? x, 3 ? t ? y, f ( t? ) ,由于有 2? x ? y c x2 ? y2 ? t ? 1 ? 3 ? t ? 4 , x ? 0, y ? 0 ,于是由图中的四 ?c 2 x ? y ? c 有公共点得 ? 2, 22 ? 12 所以, ?2 5 ? c ? 2 5 ,又当直线 2 x ? y ? c 过点 (0, 2)
截距 c 最小,最小截距等于 2,于是 2 ? c ? 2 5 .选 C.

分之一圆周与直线

时,其在 y 轴上的

二.填空题.
7. 53 2 2 39 8. 3 9.x2+y2=4 10.1

提示:
3 ? 53 7.解析:利用中点坐标公式得 M? ?2,2,3?,再利用空间两点间的距离公式求解.答案: 2 8.解析:∵AM= ?3-0?2+?-1-1?2+?2-2?2= 13,∴正方体的体对角线长为 2 13, 2 39 2 39 ∵3a2=52(a 为正方体的棱长),∴a= . 答案: . 3 3 9.解析:由题意得满足条件的图形,如图所示. ∵∠APB=60° ,∠OPB=30° ,即|OP|=2|OB|=2. ∴点 P 的轨迹是以原点为圆心,半径为 2 的圆,其方程为 x2+y2=4. 10.解析:如图.设连心线 OC 与圆 O 交于点 P′,与圆 C P 在 P′处,点 Q 在 Q′处时 PQ 最小,最小值为 P′Q′= 答案:1.

答案:x2+y2=4 交于点 Q′,当点 OC-r1-r2=1.

三.解答题.
11. 解: 如图, 分别以 AB、 AD 所在直线为 x, y 轴建立平面直角坐标系. 不 |AD|=6,则相应地有 A(0,0),B(8,0),C(8,6),E(7,6), 6 ∴直线 AE 的方程为 y= x, 即 6x-7y=0. 7 BC 中点为 M(8,3), 妨设 |AB| = 8 ,则

|6×8-7×3| 27 27 ∴以 BC 为直径的圆的方程为(x-8)2+(y-3)2=9.M(8,3)到 AE 的距离 d= 2 = < =3=r. 85 81 6 +?-7?2 ∴直线 AE 与圆相交. 12. 解:(1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,连接 OQ、OP,则△OQP 为直角 =|PA|, 所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2 =1+|PA|2, 所以 x2+y2=1+(x-2)2+(y-1)2, 故 2x+y-3=0.即为点 P 的轨迹方程. (2)由(1)知,P 在直线 l:2x+y-3=0 上, 所以|PQ|min=|PA|min,为 A 到直线 l 的距离, |2×2+1-3| 2 5 所以|PQ|min= = . 5 22+12 三角形, 又 |PQ|

( 或由 |PQ|2 = |OP|2 - 1 = x2 + y2 - 1 = x2 + 9 - 12x + 4x2 - 1 = 5x2 - 12x + 8 = 5(x - 2 5 1.2)2+0.8,得|PQ|min= .) 5 (3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切的情形, 而这些半径的最小值为圆 O 到直线 3 3 5 l 的距离减去圆 O 的半径,圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l′与 l 的交点 P0,所以 r= 2 2-1= -1, 5 2 +1 又 l′:x-2y=0, 6 3 6 3 3 5 联立 l:2x+y-3=0 得 P0( , ). 所以所求圆的方程为(x- )2+(y- )2=( -1)2. 5 5 5 5 5 13.解:(1)方程 x2+y2-2x-4y+m=0,可化为 (x-1)2+(y-2)2=5-m, ∵此方程表示圆, ∴5-m>0,即 m<5. 2 2 ?x +y -2x-4y+m=0, ? (2)? 消去 x 得(4-2y)2+y2-2×(4-2y)-4y+m=0, ? x + 2 y - 4 = 0 , ? 化简得 5y2-16y+m+8=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 16 y1+y2= , ① 5

? ? m+8 ?y y = 5 .
1 2



由 OM⊥ON 得 y1y2+x1x2=0 , 即 y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0, ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0. m+8 16 8 将①②两式代入上式得 16-8× +5× =0, 解之得 m= . 5 5 5 8 且满足 ? ? 0 ,所以所求的值为 m= . 5 8 2 (3)由 m= ,代入 5y -16y+m+8=0, 5 12 4 化简整理得 25y2-80y+48=0,解得 y1= ,y2= . 5 5 4 12 ∴x1=4-2y1=- ,x2=4-2y2= . 5 5 4 12 12 4 ? ? ? ?4 8? ∴M? ?-5, 5 ?,N? 5 ,5?, MN 的中点 C 的坐标为?5,5?. ?12+4?2+?4-12?2=8 5, ∴所求圆的半径为4 5. 又|MN|= ? 5 5? ?5 5 ? 5 5 4 8 16 ?2 ? ?2 ∴所求圆的方程为? ?x-5? +?y-5? = 5 . 14.思路:遭受台风影响实际就是点在圆上或圆内的问题.利用“解析法”来解决. 解法一 以现在时刻的台风中心为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向,建立直角坐标系,如图, 以 A 为圆心,半径等于 250 千米圆方程为 ( x ? 300) ? y ? 250 ,直线 BC 的方程为 y ? x( x ? 0) . 当且仅当直线 BC 与圆 A 有公共点时,气象台 A 所在地将遭受台风影响,由
2 2 2

M

?( x ? 300) 2 ? y 2 ? 2502 2 得, 2 x ? 600 x ? 27500 ? 0 ? ? y?x ? ? 6002 ? 4 ? 2 ? 27500 ? 140000 ? 0 ,
所以直线 BC 与圆 A 相交,设两交点 B、C 的横坐标分别为 x1 , x2 ,则

x1 ? x2 ? 300, x1x2 ? 13750
BC ? 1 ? 12 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2(3002 ? 4 ?13750) ? 100 7
O 直线 BC 中点 M 的距离 OM ? OA cos 45? ? 300 ? 于是, OB ? OM ?

2 ? 150 2 , 2

1 100 7 BC ? 150 2 ? ? 150 2 ? 50 7 2 2 150 2 ? 50 7 ? 1.99 (小时)后气象台 A 开始受台风影响 于是,从现在起大约 40 100 7 5 7 持续时间为 ? ? 6.61 (小时) 40 2
答:气象台大约在 2 小时后受到台风影响,持续时间大约 6 小时 37 解法二 以气象台为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向,建立直角 则现在台风中心 B 的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t 小时 坐标为 (-300+40tcos45°, 40tsin45°) , 即 (-300+20 2 t, 20 2 t) . 圆心,以 250 千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以 时,气象台将受台风影响. 所以令|AB′|≤250,即(-300+20 2 t) +(20 2 t) ≤250 ,
2 2 2

分钟. 坐标系如图, 后, 台风中心 B′的 因为以台风中心为 B′在圆上或圆内

理得 16t -120 2 t+275≤0,
2

解得

15 2 ? 5 7 15 2 ? 5 7 ,1.99≤t≤8.61. ?t ? 4 4
1 x ? n ,两圆半径相等,它们圆心分别到两直 2

故大约 2 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响,大约持续 6 小时 37 分. 15. 解:(1)设直线 l1 的方程为 y ? ?2 x ? m ,直线 l2 的方程为 y ? 线的距离相等,设为 d,则 d ?

95 2 5 . ) ? 5 5 1 ?4?5? n ?6 ? 1 ? m 5 2 ? ? 由点到直线的距离公式得 d= , 5 1 2 22 ? 12 2 ( ) ? (?1) 2 5 7 从而 m ? ?4 或 m ? ?6 , n ? 或 n ? 2 2 所以直线 l1 的方程为 y ? ?2 x ? 6 或 y ? ?2 x ? 4 . 1 5 1 7 直线 l2 的方程为 y ? x ? 或 y ? x ? , 2 2 2 2 19 8 , )、 由它们联立,可解得 点 M 的坐标为: ( ? 5 5 (?3, 2) 22 ? (

(?

17 4 13 6 , )、 (? , ) 或 5 5 5 5

1 (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则直线 l2 的方程为 y-b=- (x- k a).因为圆 C1 和 C2 的半径相等,且圆 C1 被直线 l1 截得的弦长与圆 C2 被直线 l2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆 1 |5+ ?4-a?-b| k |1-k?-3-a?-b| 心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即 = , 2 1 1+k 1+ 2 k

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a +bk,即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5,因为 k 的取值有无穷多个,所以 5 3 a= , a=- , ? ? 2 2 a + b - 2 = 0 , a - b + 8 = 0 , ? ? ? 或? 解得 或 1 13 ?b-a+3=0, ?a+b-5=0, ? ? b=- , b= . 2 2 5 1 3 13 ? ? ? 这样点 P 只可能是点 P1? ?2,-2?或点 P2?-2, 2 ?. 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.

? ? ?

? ? ?


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