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广东省华南师大附中2015届高三5月综合测试(三模)数学文试题


2015 年综合测试(三)



学(文科)

2015.5 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的 密封线内. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回. 第一部分 一、 选择题(共 50 分)

选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.)

2 1.设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 8 ? ? m ? 2 ? i 是纯虚数,则实数 m ? (***)

?

?

A. ?4

B. ?4 或 2

C.- 2 或 4
2

D.2

2. 已知命题 p : ?? ? R, cos(? ? ? ) ? cos? ;命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? 0 .则下面结论正确的是 (***) A.?q 是真命题 B.p 是假命题 C.p∧q 是假命题 D.p∨q 是真命题 3. 设{ an } 是公差为正数的等差数列, 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , 且 a1a 则 a1 a 2a 3 ? 80 , 1 ?a 1 2 ? 1 3 等于(***) A.120 B. 105 C. 90 D.75

4.函数 f ( x) ? log2 ( x ?1) 的图象大致是(***)

5. 如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角三角形围成一个小正方 形,直角三角形的较短边长为 3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花 朵,则小花朵落在小正方形内的概率为(***) A. 1 17 2 B. 17 B. 3 3 C. 17 C. 7
共 10 页 第 1 页

4 D. 17 D.1

6. 某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的四个面中,面积最大的面的面积是(***) A.2

?2 x ? 2 y ? 1 ? ? 7.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ,且向量 a ? (3,2) , ?2 x ? y ? 1 ?
?

b ? ( x, y ) ,则 a ? b 的取值范围是(***)
A. [ , 5]

? ?

8 .同时具有性质“①最小正周期是 ? ;②图象关于直线

5 4

B. [ , 5]

7 2

C. [ , 4]

5 4

D. [ , 4]

7 2

x?

?

3

对称; ③在 [ ?

? ?

, ] 上是增函数”的一个函数是 6 3
B. y ? cos( 2 x ?

(***) A. y ? sin(

x ? ? ) 2 6

?
3

)

C. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

x2 y 2 9. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4 10x 的焦点重合,且双曲线的离心率 a b
等于

10 ,则双曲线的方程为(***) 3
2

A. x ?
?

y2 ?1 9
?
?

B. x 2 ? y 2 ? 1 5
?

C.

x2 y 2 ? ?1 9 9
?
?

D.
?

x2 ? y2 ? 1 9
? ?

10. 称 d( a , b ) = a ? b 为两个向量 a , b 间距离,若 a , b 满足① b ? 1 ; ② a ? b ;
? ? ? ?

?

?

③ 对任意实数 t,恒有 d( a , t b ) ? d( a , b ) ,则(***) A. ( a ? b ) ? ( a- b ) 第二部分
? ? ? ?

B . b ? ( a- b )

?

?

?

C . a ? b

?

?

D . a ? ( a- b )

?

?

?

非选择题(共 100 分)

开始 S=0, n=1 否

二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 在 x ? 1 处的切线方程是
2

n≤6 是 S = S-n n=n+2

. 12. 右图是一个算法的流程图,则最后输出的
2 2



输出 S 结束

13. 由 直 线 y ? x ? 1 上 的 一 点 向 圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引 切 线,则切线长的最小值为 .

共 10 页 第 2 页

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题.) 14. (坐标系与参数方程选做题) 设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? 4cos ? a ? 0 ), ( ? 是参数, ? y ? 1 ? 4sin ?
C A
O D·

直线 l 的极坐标方程为 3? cos ? ? 4? sin ? ? 5 , 若曲线 C 与直线 l 只有一个公共点,则实数 a 的值是 .

15. (几何证明选讲选做题)如图,⊙ O 上一点 C 在直径 AB 上的射 影为 D ,且 CD ? 4 , BD ? 8 ,则⊙ O 的半径等于 .

B

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 A 的值. 17. (本题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人 的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计 了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周 岁以下”分为两组, 再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50, 60) ,[60, 70) ,[70,80) ,

?
3



[80,90) , [90,100) 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁 以下组”工人的频率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2? 2 的列 联表,并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附表:

n(ad ? bc)2 2 , P( K ? k ) K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

0.100 2.706

0.010 6.635

0.001 10.828

(其中 n ? a ? b ? c ? d )

k

共 10 页 第 3 页

18. (本题满分 14 分) 如图, ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 是底面半径为 1 的圆柱的内接 正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面) ,过 FB 作圆柱的 截面交下底面于 C1 E1 ,已知 FC1 ? 13 . (1)证明:四边形 BFE1C1 是平行四边形; (2)证明: FB ? CB1 ; (3)求三棱锥 A ? A1 BF 的体积. 19. (本题满分 14 分) 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足 Sn ? Sn?1 ? tan (其中 t 为常数, t ? 0 , n ? 2 ),
2

已和 a1 ? 0 ,且当 n ? 2 时, an ? 0 . (1)求数列 ?an ?的通项公式;
*

(2)若对于 n ? 2 , n ? N ,不等式 值范围. 20. (本题满分 14 分)

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 2 恒成立,求 t 的取 a2 a3 a3a4 a4 a5 an an ?1

已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,
21. (本题满分 14 分) 如图, O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处 的切线与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q . (1)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求抛物线 C1 的方程; (2)当正数 p 变化时,记 S1 , S 2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求
S1 的最小值. S2

共 10 页 第 4 页

2015 年综合测试三(文科数学)参考答案
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 D 10 B

二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 4x-y-3 = 0 12. -9 13.

7

14. 7

15. 5

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分) 16. (本题满分 12 分)

1 1 3 ab sin C ? ab 推得 ab ? 4 ; 2 2 2 1 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? 4 ? 又由余弦定理可知: cos C ? ? 推得 a 2 ? b2 ? 8 。 2 2ab 8 综上可得 a ? b ? 2 。
解: (1)根据三角形面积公式可知: S ? 3 ? (2) sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

sin B cos A ? 2sin A cos A ? 当 cos A ? 0 时, A ? 2 当 cos A ? 0 时, sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,
联立 ?

?a2 ? b2 ? ab ? 4 ? b ? 2a

,得 a ?

2 3 4 3 ,b ? 3 3

? b2 ? a 2 ? c 2 , C ?
综上得: A ?

?
3

,? A ?

?
6



?
2

或A?

?

6

17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 60? 0.05 ? 3 (人) , 记为 A1 , A2 , A3 ; 25 周岁以下组工人有 40 ? 0.05 ? 2 (人) ,记为 B1 , B 2 从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有 10 种,他们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A2 , A3 ) ,

( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 )
其中,至少有名“ 25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是: ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) ,

共 10 页 第 5 页

( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .故所求的概率: P ?

7 10

(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“ 25 周岁以上组”中的生产能手 , “ 25 周岁以下组”中的生产能手 40 ? 0.375 ? 15(人) ,据此可得 2 ? 2 列 60 ? 0.25 ? 15(人) 联表如下: 生产能手 非生产能手 合计

25 周岁以下组 25 周岁以上组
合计 所以得: K 2 ?

15 15 30

25 45 70

40 60 100

n(ad ? bc)2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 18. (本题满分 14 分) 证明: (1)因为圆柱的上下底面平行, 且 FB、 C1 E1 是截面与圆柱上、下底面的交线, 所以 FB// C1 E1 . 依题意得,正六边形 ABCDEF 是圆内接正六边形, 所以,正六边形的边长等于圆的半径,即 AB=AF=1. 在?ABF 中,由正六边形的性质可知, ?BAF ? 120o , ? 1? 所以, BF 2 ? AB2 ? AF 2 ? 2 AB ? AF cos120o ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 3 ,即 BF ? 3 ? 2? 同理可得 C1 E1 ? 3 ,所以 FB ? C1 E1 ,故四边形 BFE1C1 是平行四边形. (2)连结 FC,则 FC 是圆柱上底面的圆的直径,∵ ?CBF ? 90o ,即 BF⊥BC 又∵B1B⊥平面 ABCDEF,BF?平面 ABCDEF,∴BF⊥B1B ∵B1B∩BC=B,∴BF⊥平面 B1BCC1. 又∵B1C?平面 B1BCC1,∴FB⊥CB1. (3)连结 F1C1,则四边形 CFF1C1 是矩形,且 FC=F1C1=2,FF1⊥F1C1.
2 在 RT? FF1C1 中, FF1 ? FC12 ? FC 1 1 ? 3 ,∴三棱锥 A1—ABF 的高为 3.

S?ABF ?

1 1 3 3 AB ? AF sin ?BAF ? ?1?1? ? 2 2 2 4
1

∴三棱锥 A1—ABF 的体积 VA ? ABF ? S ?ABF ? FF1 ?

1 3

3 , 4

又三棱锥 A1—ABF 的体积等于三棱锥 A—A1BF 的体积, ∴三棱锥 A—A1BF 的体积等于
3 . 4

共 10 页 第 6 页

19. (本题满分 14 分)
2 ? ?S n ? S n ?1 ? ta n (n ? 2) 解:(1)依题意, ? 2 ? ?S n ?1 ? S n ? 2 ? ta n ?1 (n ? 3)

两式相减得 an+an-1=t(an-an-1)(n≥3), 1 由已知得 an+an-1>0,故 an-an-1= (n≥3), t 2 2 由 a1=0,S2+S1=ta2,得 a2=ta2, 1 ∴a2=0(舍)或 a2= . t 1 1 即数列{an}从第二项开始是首项为 ,公差为 的等差数列. t t n-1 ∴an= (n≥2), t 1-1 n-1 * 又当 n=1 时,a1= =0,满足上式,∴an= (n∈N ). t t 2 2 2 2 1? 1 1 1 t t t t 2? (2)设 Tn= + +?+ = + + +?+ =t ?1- ?, a2a3 a3a4 anan+1 1×2 2×3 3×4 (n-1)×n ? n? 1? 2 * 2? 要使 Tn<2 对于 n≥2,n∈N 恒成立,只要 Tn=t ?1- ?<t ≤2 成立即可, ? n? n-1 而 an= >0,即 t>0,∴0<t≤ 2. t 20. (本题满分 14 分) 解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a=0,b= ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ? 1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。
2

2

2

∵当 x< ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1时, g ?( x) > 0 , ∴ x= ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1或 x>1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x=1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)解法 1:令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x )=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x )=2 的两个不同的根为一和 2。 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 ,

共 10 页 第 7 页

∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x )=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3? x ? 1?? x ? 1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 。 此时 f ( x )=d 在 ? 2, ? ? ? 无实根。 ② 当 x ? ?1 , 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x )=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x ? ? ?1 , 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x )=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x )=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1, t2 =2 。 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点。 ( 11 )当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i =3, 4, 5 。 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点。 (3)解法 2:令 f ( x)=t ,由 h( x) ? 0 得 c ? f (t ) . ①当 c ? ?2 时, c ? f (t ) 有两个不同的根为 t ? 1 和 t ? -2 。由

f (t ) ? t 3 ? 3t 图像可知:当 t ? 1 时,方程 f ( x)=t 有 3 个根,当

t ? -2 时,方程 f ( x)=t 有 2 个根,因此 y ? h( x) 有 5 个零点。
② 当 c ? 2 时,同上可得 y ? h( x) 有 5 个零点。
3 ③ 当 ? 2 ? c ? 2 时, 由 y ? t ? 3t 图像可知: 方程 c ? f (t ) 有 3 个根, 且都在区间 (?2,2) 内。

而对每个根 t ,对应的 x 有 3 个,因此当 ? 2 ? c ? 2 时, y ? h( x) 有 9 个零点。
共 10 页 第 8 页

综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点。

21. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 设点 P ( x 0 , 求导 y ' ?
2 x0 x2 ), 由 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 得,y ? , 2p 2p

x , ???2 分 p
x2 x0 ? 1且 x0 ? 0 ? 2 ? 0 , 2p p

因为直线 PQ 的斜率为 1, 所以

解得 p ? 2 2 , 所以抛物线 C1 的方程为 x 2 ? 4 2 y ????? 5 分 (Ⅱ)因为点 P 处的切线方程为: y ?
2 x0 x 2 ? 0 ( x ? x 0 ) ,即 2 x0 x ? 2 py ? x0 ? 0 ,? 6 分 2p p

根据切线又与圆切,得 d ? r ,即

2 ? x0 2 4 x0

? 4p

2

4 2 ? 1 ,化简得 x0 ? 4 x0 ? 4p2 ,

??7 分

2 ?2 x 0 x ? 2 py ? x 0 ?0 2 ? 2 2 4 ? x0 2 ) , ????9 分 由方程组 ? x ? y ? 1 ,解得 Q( , x0 2p ? x 4 ?4 x 2 ? 4 p 2 ? 0 0 ? 0
2 x0

所以 PQ ? 1 ? k 2 x P ? x Q ? 1 ?

p2

x0 ?

2 ? x0

2 2 p 2 ? x0 x0 ?2 , p x0

2 ? p 2 ? x0 1 p 2 ? x0 ? p2 , 点 F (0, ) 到切线 PQ 的距离是 d ? 2 2 2 2 4 x0 ? 4 p

所以 S1 ?
S2 ?

1 1 PQ ? d ? ? 2 2

2 2 2 p 2 ? x0 x0 ?2 1 x 2 ? p 2 x0 ?2 2 ? x0 ? p2 ? 0 , p x0 2 4p x0

1 p OF xQ ? , 2 2 x0

?????11 分

4 2 4 2 而由 x0 ? 4 x0 ? 4 p 2 知, 4 p 2 ? x0 ? 4 x0 ? 0 ,得 x0 ? 2 ,
2 2 2 2 2 4 2 2 ? p 2 x0 ? 2 2 x0 ( x0 ? p 2 )( x0 ? 2) (4 x0 ? x0 ? 4 x0 )( x0 ? 2) S1 x0 ? ? ? ? 2 4 2 S2 4p x0 p 2p 2( x0 ? 4 x0 )

所以

共 10 页 第 9 页

?

2 2 2 2 x0 ?4 x0 ( x0 ? 2) x0 ?4 4 4 ? 2 ,当且仅当 时取“=”号, ? ? ? 3 ? 2 2 ? 3 2 2 2 2 2( x0 ? 4) x0 ? 4 x0 ? 4

2 即 x0 ? 4 ? 2 2 ,此时, p ? 2 ? 2 2 ,所以

S1 的最小值为 3 ? 2 2 . ???14 分 S2

共 10 页 第 10 页


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