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湖南省2015年中学数学教师解题比赛试题(含解析)


2015 年湖南省中学数学教师解题比赛 高中组初赛试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每题 5 分,满分 40 分)
1. 如果将整数集 Z 中所有被 3 除所得余数为 k ?k ? 0,1,2? 的整数构成的集合称为一个 “类” ,并记为 ?k ? ,则下列结论中错误的是 A. 2015? ?2? B. Z ? ?0? ? ?1? ? ?2? ( )

/>
C.“整数 a , b 属于同一‘类’ ”的充要条件是“ a ? b ? ?0? ” D. “整数 a , b 属于同一‘类’ ”的充要条件是“ a ? b ? ?0?” 解:选 C(提示:对于 A 选项,由于 2015 被 3 除余 2,所以 2015? ?2? ;对于 B 选项, 任何一个正整数被 3 除的余数只可能是 0,1,2,所以 Z ? ?0? ? ?1? ? ?2? ;对于 C 选项,因为 a , b 属于同一‘类’ ,不妨设 a ? 2, b ? 5 则 a ? b ? 7 ,而 7 ? ?1?? ?0? ,所以 C 错;对于 D 选项,因 为 a , b 属于同一‘类’ ,可设 a ? 3k1 ? r , b ? 3k 2 ? r(其中 r ? 0,1,2 ) ,则 a ? b ? 3(k1 ? k 2 ) ? ?0? ). 2. 在 ?ABC 中, a , b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,且 cos2B ? 3cos ? A ? C ? ? 2 ? 0 ,

b ? 3 .那么, ?ABC 周长的最大值是
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3





解:C(提示:由已知 cos2B ? 3cos ? A ? C ? ? 2 ? 0 得 2 cos2 B ? 3 cos B ? 1 ? 0 ,
1 ? 即 (2 cos B ? 1)(cos B ? 1) ? 0 ,则 cos B ? 或 cos B ? 1(舍) ,所以 ?B ? .由正弦定理得 2 3

2? a b c ? A) . ? ? ? 2 ,则 a ? 2 sin A, C ? 2 sin C ? 2 sin( 3 sin A sin B sinC 2? ? 所以 a ? b ? c ? 3 ? 2 sin A ? 2 sin( ? A) ? 3 ? 2 3 sin(A ? ) ) 3 6
3. 若已知 ?sin? ? i cos? ? ? sin n? ? i cosn? , 则由棣莫佛定理可知满足 1 ? n ? 1024
n

的 n 的个数为 A.128 B.256 解:选 B(提示:由棣莫佛定理可得:

( C.512 D.1024

)

? ?sin? ? i cos? ?n ? ? ?cos(
?

? ? ? ? ) ? i sin( ? ? )? 2 2 ?

n

? cos(

n? n? ? n? ) ? i sin( ? n? ) . 2 2

① ②

又 sin n? ? i cos n? ? cos( 由①②得

?
2

? n? ) ? i sin(

?
2

? n? )

n? ? ? n? ? 2k? ? ( ? n? )(k ? Z ) 解得 n ? 4k ? 1 .又因为 1 ? n ? 1024 , n ? N , 2 2

3 所以 0 ? k ? 255 ,故满足条件的共有 256 个). 4 4. 已知四面体有两个面为正三角形,因而有 5 条棱长相等,设第 6 条棱的长为 x ,则体 积 V ( x) ( )

A. 是增函数但无最大值 B. 是增函数且有最大值 C. 不是增函数且无最大值 D. 不是增函数但有最大值 解:D(提示:不妨设 AB ? BC ? CD ? BD ? AC ? 1 ,设 AD ? x ; ,取 BC,AD 的中点分 别为 E,F,可知平面 AED 垂直 BC;由

S?AED
得三棱锥体积 V ? x ? ?

1 ? AD ? EF , EF ? 2

? 3 ? ? x ?2 1 3 ? x2 , ? ? ? ? 2 ? ? ?? 2 2 ? ? ? ?

2

1 1 ? S ?AED ? BC ? x 3 ? x 2 , 3 12 2 2 1 1 x ? 3? x 1 2 由V ? x? ? x 3? x ? ? ? ,知函数 y ? f ( x) 在其定义域不是增函 12 12 2 8 1 数但有最大值 .故选 D.) 8

?

?

n 5. 对所有满足 1 ? n ? m ? 5 的 m, n ,极坐标方程 ? ? ?Cm cos? ? 1 表示的不同双曲线条

数为 A. 6

( B. 9
n m



C. 12

D. 15

解: 选A (提示: 当 m ? n 时, ??

1 n 表示的是抛物线.当 m ? n 时, 令 e ? Cm ?1, 1 ? C cos ?

1 4 1 2 1 3 2 3 注意到 C5 ,所以离心率 e>1 的取值共有 10 ? 4 ? 6 个还不同 ? C5 , C3 ? C3 , C4 ? C4 , C5 ? C5

的值.)
? ? ? AB AB AC 1 AC ? B C ? ? , ? 6. 已知非零向量 AB, AC 满足 ? 则 ?A ? ? BC ? 0 且 AC ? AB AC 2 ? AB ? ?

为(



A. 三边均不相等的三角形 C. 等腰非等边三角形

B. 直角三角形 D. 等边三角形

? ? ? AB AC ? ? 解:选 D(提示:由于 所在直线穿过 ?ABC 的内心,则由 ? ? ? ? BC ? 0 AC ? AB AC ? AB ? ?

AB

AC

知 AB ? AC . 又由
AB AB ? AC AC ? 1 ,知 ?A ? 60? ,则 ?ABC 为等边三角形 .) 2

7. 已知 a, b, c, d 均为正数,且 M ? 值范围为
?4 ? 2? A. ? , ?3 ? ? 4? B. ?1, ? ? 3?

a b c d ,则 M 的取 ? ? ? a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b


2? C. ?1,



D. ? , ? ? 40 3 ?

? 53 4 ?

解:选 C(提示:由
a b c d a b c d ? ? ? ? ? ? ? ?1 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b a?b?c?d a?b?c?d a?b?c?d a?b?c?d a b c d a b c d ? ? ? ? ? ? ? ?2 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b a?c b?d a?c b?d

则 1 ? M ? 2 .) 8. 华夏文化认为宇宙万事万物皆由阴阳或五行和合而成.和,指和谐、和平、详和;合, 指结合、 融合、 合作.中华 “和合” 文化源远流长.作为文化重要组成部分的数学最讲 “和合” . 在数集的扩充的过程中,每一次扩充后同样适用于原来的数集,表现为高度“和合”的是 ( ) A. 大小关系 B. 运算法则 C. 几何意义 D.封闭性质 解:选 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
9. 已知实数 x, y, z 满足 解:填 1(提示:由

?x ? y ? z ? 值为 1 1 1 ? ? ? 0 ,则 2 x y z x ? y2 ? z2
2

.

1 1 1 ? ? ? 0 ,有 xy ? xz ? yz x y z

从而

? x ? y ? z?

2

x2 ? y 2 ? z 2

?

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2( xy ? yz ? zx) ? 1 .) x2 ? y 2 ? z 2

10. 已知三角形三边所在的直线方程是:

l1 : y ? 0 ; l2 : x ? 2 y ? 1 ? 0 ; l3 : x ? y ? 1 ? 0 .

过三角形三顶点、对称轴为坐标轴的抛物线方程是 解:填 y ?
1 2 1 x ? (提示:由题意知三角形的三顶点即为 4 4
y?0 ? ? y?0 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? ? ? ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 ? x ? y ? 1 ? 0

.

0), C (3, 2) .又由抛物线关于坐标轴对称 三个方程组的解,所以抛物线上三点分别为 A(?1,0), B(1, 2) 代 入 得 a ? 知 对 称 轴 为 y 轴 , 故 可 设 抛 物 线 方 程 为 y ? a( x ? 1)( x ? 1) . 把 C (3,

1 ,所以 4

y?

1 2 1 x ? .) 4 4

11. 如图所示,作一个边长为 1 的正三角形 ABC , 且 AB 与 x 轴的夹角为 5? ,易知 AB ? BC ? CA ? 0 . 令 x 轴上的单位向量为 i ,则有
i ? AB ? BC ? CA ? cos5? ? cos125? ? cos 245? ? 0 .

C

?

?

A

B x

仿照以上方法,推广以上结论可得 cosa1 ? cosa2 ? ? ? ? ? cosan ? 0 ,若 a1 ? ? ,则 an ? . 解: ? ?
2(n ? 1)? (提示:做一个首尾连接而成的正 n 边形,取 x 轴上的单位向量为 i , n 2? 2(n ? 1)? ) ? ? ? ? ? cos(? ? )?0, n n

则 i( A1 A2 ? A2 A3 ? ? An?1 An ? An A1 ) ? 0 ,即 cos? ? cos(? ? 所以 an ? ? ?
2(n ? 1)? .) n

12. 已知 a x ? b x ? c x ( c ? a, c ? b ),以 a , b, c 为边长构成一个钝角三角形,则 x 的取值范 围为 .

a b 解:填 1 ? x ? 2 (提示:由题设 a x ? b x ? c x , c ? a, c ? b 知 ( ) x ? ( ) x ? 1 .由于构成钝角三 c c

a 2 ? b2 ? c 2 a b a b a b ? 0 ,即 ( ) 2 ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) x ? ( ) x ,由于 ? 1, ? 1 c c c c c c 2ab a b a b 因此有 x ? 2 .另一方面,由于 c ? a ? b 知 ? ? 1 ? ( ) x ? ( ) x ,同理得 x ? 1 .综上 x 的范围为 c c c c 1 ? x ? 2 .)
角形故有 cos C ? 0 ,即 cos C ? 13. 已 知 数 列 ?an ? 是 公 差 d ? 0 的 等 差 数 列 , 则 函 数 f ( x) ? ? x ? ai 的 最 小 值
19 i ?1



.(用含有 d 的式子表示) 解:填 90 d (提示:易知当 x ? a10 时 f ( x) ? ? x ? ai 有最小值,
i ?1 19

f min ( x) ? a10 ? a1 ? a10 ? a2 ? a10 ? a3 ? ? a10 ? a9 ? a10 ? a10 ? a10 ? a11 ? ? a10 ? a19
? 9 d ? 8d ? 7 d ? ? d ? 0 ? d ? ? ? 9 d

? 90d

14. 已知 x, y, z ? R ? 且满足:

x 2 (1 ? y 2 )(1 ? z 2 ) ? y 2 (1 ? x 2 )(1 ? z 2 ) ? z 2 (1 ? y 2 )(1 ? x 2 ) ? (1 ? x 2 )(1 ? y 2 )(1 ? z 2 ) ,
则 xyz 的取值范围为 .

? x2 y2 z2 x2 2? ? ? ?1 ,令 解 : 填 ? 0, (提示:已知原式可变形为 ?a , ? 2 2 2 2 ? 4 ? 1 ? x 1 ? y 1 ? z 1 ? x ? ?
y2 z2 a b c ? b , , ? c ,则 0 ? a, b, c ? 1 且 a ? b ? c ? 1 ,求得 x 2 ? , y2 ? , z2 ? 2 2 1? y 1? a 1? b 1? c 1? z

注意到 (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? (b ? c)(c ? a)(a ? b) ? 2 bc ? 2 ac ? 2 ab ? 8abc ,
abc 1 2 ? ,即 0 ? xyz ? .) (1 ? a )(1 ? b)(1 ? c) 8 4



三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,满分 80 分)

15. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A , B 两地区分别随机调查了 20 个用户, 得到用户对产品的满意度评分的茎叶图表示如下:

现将用户满意度评分从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

假设两地区用户的评价结果相互独立.试根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发 生的概率,求事件“A 地 区用户的 满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”的概率. 解:记 C A1 表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意” ; C A 2 表示事件“A 地 区用户满意度等级为非常满意” ; C B1 表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意” ; CB 2 表 示事件“B 地区用户满意度等级为满意” ,则 C A1 与 C B1 独立,C A 2 与 C B 2 独立,C B1 与 C B 2 互 斥, (10 分) C ? CB1CA1 ? CB 2CA2 .????????????????????????? 由 所 给 数 据 得 CA1 , CA2 , CB1 , CB 2 发 生 的 概 率 分 别 为 P ? C A1 ? ?

16 4 , P ? C A2 ? ? , 20 20

P ? C B1 ? ?

10 8 , P ? CB 2 ? ? ,??????????????????? ??(15 分) 20 20

故 P?C ? ? P?CB1CA1 ? CB 2CA2 ? ? P?CB1CA1 ? ? P?CB 2CA2 ? ? P?CB1 ?P?CA1 ? ? P?CB 2 ?P?CA2 ?

?

10 16 8 4 ? ? ? ? 0.48 ???????????????????????(20 分) . 20 20 20 20

16. 设 x, y, z ? R ? , 且 xyz ? 1 . 令 a ? x 3 ? y 3 ? z 3 , b ? x ? y ? z, c ? 3xyz . 试将 a, b, c 组成单调序 列,并说明理由. 解:可按 a , b, c 组成单调递减序列.



x3 1 1 3x y3 1 1 3y z3 1 1 3z a 3( x ? y ? z ) ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 有 ?2? , 3 3 3 3 2 2 2 a a 3 3 a 3 3 a 3 3 32 a 3 a 3 a 3 a

即 3 32 a ? x ? y ? z ,??????????????????????????(10 分) 则 32 a ? ( x ? y ? z)3 ? ( x ? y ? z) 2 ( x ? y ? z) ? (33 xyz ) 2 ( x ? y ? z) ? 9( x ? y ? z) 从而 a ? b , ???????????????????????????????????(15 分) 又 b ? x ? y ? z ? 33 xyz ? c ,故 a ? b ? c .????????????????? (20 分) 17. 如图,圆 O 的半径是 1,点 A 是圆 O 外一定点, AO ? 3 .过 A 作圆 O 的割线,交圆 O 于点 B ,延长 AB 到点 C ,使 AB ? BC .过点,作 CP / / OB ,作以 AC 为底边,一腰在直 线 CP 上的等腰三角形 ACD ,顶点为 D . (1)建立适当的直角坐标系,求顶点 D 的轨迹方程; Y (2)若定点 A 在圆 O 上或圆 O 内,顶点 D 的轨迹是什么,并写 D 出其方程. 解: 以 O 为直角坐标系的原点,AO 所在直线为 x 轴, 过点 O 垂直 AO 的直线为 y 轴,建立直角坐标系. (1)因为 AO 为定长, 且 CP / / OB ,则 CP 与 x 轴的交点 E 是定点,且 CE ? 2 OB ? 2 .
A O P

E B

X

C

DE ? CD ? CE ? CD ? 2 ,而 AD ? CD ,所以 AD ? DE ? 2 .
因为 A , E 是两定点,所以顶点 D 的轨迹是以 x 轴为实轴, A , E 为焦点的双曲线(右 半支) .?????????????????????????????????? (5 分) 由前面推导知, A ? ?3,0? , E ? 3,0? ,设 D ? x, y ? , x ? 0 , 则
Y

? x ? 3?

2

? y2 ?

? x ? 3?

2

? y2 ? 2 .
P O E D B C X

化简,得

y2 x2 ? ? 1? x ? 0 ? .……………………………………(10 分) 8
( 2 )当 A 在圆上时,顶点 D 的轨迹是圆 O ,轨迹方程是

A

x2 ? y 2 ? 1.
当 A 在圆内时,仿照(1) ,可证 A , E 是定点.

CE ? DE ? CD ? 2 ,即有 AD ? DE ? 2 .

那么,顶点 D 的轨迹是以 x 轴为长轴, A , E 为焦点的椭圆.………………(15 分) 设 D ? x, y ? , A? a,0? ,则 E ? ?a,0 ? , ?1 ? a ? 1 . 那么,

? x ? a?
2

2

? y2 ?

? x ? a?

2

? y2 ? 2 .

化简,得 x ?

y2 ? 1 , ?1 ? a ? 1 .…………………………………………(20 分) 1 ? a2

18. 采用某种洗涤设备清洗某类物品时, 需要经过漂洗和甩干两道程序.洗涤过程由反复漂 洗和甩干组成,每次漂洗后甩干前残留物均匀分布于水中,而每次甩干后该物品中含残留物 与水分的重量和不变,均为 w kg. (1)将漂洗并甩干的次数设计为 2 次,洗涤过程需要的总用水量为 b kg,确定 2 次漂洗时 各自需要的用水量,使漂洗并甩干后衣物中所含残留物最少; (2)设一共需要 n 次漂洗,第 n 次洗涤并甩干后残留物的重量与衣物第一次开始洗涤前 含残留物的重量之比为常数 c,若 1 ? n ? 5 ,确定洗涤次数 n 以及每次漂洗时需要的用水量, 使总的用水量最少,并说明理由. 解:设洗涤并甩干后,在进入漂洗阶段前,物品中所含残留物重量为 m0 ,每次甩干后物品剩 余水分(含残留物)为 w . (1)在漂洗阶段,两次漂洗并甩干后残留物重量分别为 m1 , m2 ,每次加入的清 水重量分别为 x1 , x2 ,则根据题意,甩干前由于 m0 kg 的残留物均匀分布于 w + x1 的水中,因 此,物品上残留的污物量 m1 与残留的水量 w 成正比,即有

m0 m1 w w ,即有 m1 = = m0 ,同理得到 m2 = m1 ,因此有 w x1 + w x1 + w x2 + w

m2 =

m0 x x (1 + 1 )(1 + 2 ) w w

,其中 m0 为定值. ………………………………………(5 分)

因此,问题 1 事实上是在 x1 + x2 = b 的条件下,求污物含量 m2 最小的问题,利用基本不等 式,当 1 +

x1 x b = 1 + 2 ,即 x1 = x2 = 时, m2 达到最小,故将 b kg 清水平均分成两次使用 w w 2
7

可使物品上的污物最少.

(1) 利用(1)的讨论并设第 i 次漂洗并甩干后残留物的重量为 mi ,加入清水
重量为 xi (1 ? i ? n) ,则同样有

c?

mn 1 (1). ………………………………………(10 分) ? n m0 ?(1 ? xi ) i ?1 w
1 ? ? ? 一定时 ?? w? c ?
i ?1 n

对于每个给定的 n ,求用水量最少的问题就转化为(1)式中乘积:

?

xi ?

1

求 x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn 的最小值问题, 该问题与求 1 ? ?1 ? 值是等价的。利用均值不等式的性质,我们知道:

? ?

x1 ? ? x ? x ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? n ? 的最小 w? ? w? w? ?

? x1 ? ? x2 ? ? x ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? n ? ? nn w? w? ? w? ? ?
? ?1 ? 量均为 xi ? w? c n ? 1? ,总的用水量为 ? ? ? ?

? ? xi ? ?1 ? ? ? nc n ? w? i ?1 ? n

1

即当最终污物含量一定时,对用水量平均分配可以保证总的用水量最少。此时每一次的用水

S = nw(c
记a =

-

1 n

- 1)

(2)……………………………………………………………………(15 分)

下面求 n 的值使 S 达到最小.

1 ,由题意知 a > 1 ,设 a = 1+ d , d > 0 ,根据(3)式构造函数 c

f ( x) ?

?1 ? d ?x ? 1 , 1 ? x ? 1
x 5

不考虑常数 w ,则当 x 取 1, , , ,

1 1 1 1 时分别对应于(2)式中取 n = 1, 2,3, 4,5 的情况。 2 3 4 5

x ln(1+ d ) - 1+ (1+ d )- x 于是 f '( x) = x 2 (1+ d )- x
下面证明对于任意的 对于任意的

1 ? x ? 1 以及 c > 0 都有 f ?( x) ? 0 。 5

x ?1 ? d ? ? 1 g?(d ) ? ? 0, x ? 0 ,因此有 g (d) > 0 对于 d > 0 成立,即 f ?( x) ? 0 对于 d ? 0 ?1 ? d ?x ?1
x

?

1 ? x ? 1 ,构造函数 g (d) = x ln(1+ d ) - 1+ (1+ d )- x ,由于 g (0) = 0 , 5

?

成立, 函数 y = f ( x) 是增函数, 特别地, 当 x 取 1, , , ,

1 1 1 1 1 时,y = f ( x) 的最小值为 f ( ) , 2 3 4 5 5
1 5

即当 n = 5 时,平均分配用水量可使总的用水量最少,总的用水量为 5w(c

- 1) .(20 分)


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