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08.2011年新知杯上海市初中数学竞赛


21 0 2年第 4期 

2  3

2 1 年新知杯上海市初中数学竞赛  0  1
中 图分 类 号 :G 2 .9 44 7   文 献标 识 码 :A   文 章 编 号 :10 6 1 (0 2 0 0 2 0   05— 4 6 2 1 )4~ 0 3— 4

【 说明】 解答本试卷可用科学计算器.  


8 已知 、、、 是质数 ( . bCd都 允许 a bcd 、 、、 
相 同 )且 ac , bd是 3 5个 连续 正 整数 的 和. 则 



填 空 题 ( 小题 l 每 0分 , 8 共 0分 )  
 

1 已知关 于  的两个 方程  .



n+6 + 的最 小值 为  +c d 二 、 答题 ( 7 解 共 0分 )  
,  

.  

+ m : ,2  + = ( 3 0  + m 0 m≠0 . )  

若前一 个方 程 中有一 个根 是后 一个方 程  的某 个根 的 3倍 , 实数 m 的值是  则 .  

2 在 梯 形 A C 中, 知 A /C   . BD 已 B/ D,
A C= 0 , D上 A B B 9 。B D, C=5 B , D=1 . 3 则 

9 ( 5 如图 1 已知矩形 A C . 1 分) , B D对角  线 的交点 为 0, D C= 0 , D C的角平    A 6 。  A 分线 与边 DC交 于 点 s 直 线 O , S与 A 、L D B  与A C分别交于点 J  证明:M/L . [ , 、 S /C  

梯形 A C 的面积 为  BD

.  

3 从 编号 分 别 为 12 … , . , , 6的六 张卡 片  中任 意抽 取 三张. 则抽 出卡 片 的编 号 都 大 于  或等于 2的概率为  .  
4 将/ 个 数 一 、 、 、 、 、 6、3 .   7 一5 一3 一2 2 4、 1 
D  C  

排 列为 0bcdef g h使 得  、、、 、、、 、 , ( 口+b + ) +c d +( 厂+ e+ g+h  )

的值最小. 则这个最小值为  .   5 已知 正 方 形 A C 的边 长 为 4 E、   . BD , ,
分别 是边 A B B、 C上 的 点 , A 使 E=3 B , F=2  , 线段 A F与 D E交 于点 G 则 四边形 D F G C的 
面积 为  .  

罔 l  

1 . 1 ) 于正 整数 n 记  0 ( 5分 对 ,
n! 1×2 ×… ×l  = ' t .

求所有的正整数组( , ,,,, , 口 bcd e   使得 
a! =b! !+d!+e   , +C !+  

6在等腰 R △ A C中, . t B 已知  A B= C  

9 。尸是△ A C内一点 , P 0, B 使 A=l ,B= , 1P 7 
P 6 则边 A C= . C的长 为  .  

且   口>b ≥d   ≥c ≥e

1 . 2 分) 1 证明: 1 (o ( ) 存在整数 、 满足  Y
+4  +y  =2 02 .   2 

7 有 l 名象棋选手进行单循环赛( . O 即每  两名选手比赛一场) 规定获胜得 2分 , , 平局 

( ) : 否存 在整数 、 2问 是 Y满足 
2   +) +4 , 2=20 1    1 7

各得 1 , 分 负得 0 分. 比赛结束后 , 发现每名  选手的得分各不相同, 且第二名的得分是最 

后五名选手的得分和的÷ . 则第二名选手的  
J 

证明你的结论.   1. 2 2 ( o分) 每一个大 于 l的整数 /  对 ' l ,
设 它 的 所 有 不 同 的 质 因数 为 P ,: … , . 。P ,    

得 分 是 

.  

对于每个 P( ≤i ) 存 在正整数  使得    1 ≤k ,

万方数据

2  4

中 等 数 学 

p  ≤,<J , P(, 善 P   记 / 7 ):p + ;   p +… +   p ( P 10 =   5 8 ) 如 (0 ) 2 +  = 9 .  

设  = b+ + 贝  a+ C   0

( ) 找 出一个正 整数 /使 得  1试 / ,
Pn ( )>n  ;

e , g+h=  , ++ 8一   ( +b+ +d 十( + g4l 2 o c ) e ,+   l   -) 1

= +(  ) 2 一 ) 3 .   8一  = ( 4 + 2   从 已知 八 个 数 中 取 四个 数 的 和  是 整 
数, 且不 可能是 4, 得 

() 2 证明; 存在无穷多个正整数 使得 
pn ( )>1 1   . ;

参 考 答 案 


( 口+b+ + ) +( + g+ )  C d 2 e ,+ ^ 2
≥ 2+3 :3   2 4.



1 .一2  .

且当 = 一 ) ( 2 + + 5时, ( 3 + 一 ) 4 6= 上式等 
号 成立.  

设后一方程的一个根为 . 而前 一方程 
有根 3r则  o ,

故所 求 的最小值 为 3 . 4 

+ t m= , O+ 0 
且 9 r a +3 =O o 2—3 m  
3 a 一 +m =0    .

①  ② 

号  

l   1。

如 图 3 延长 C   , B

②一 ①得 
2t— a:   0 2 0 2 ; 0或 1 .  

与 D 的延 长 线 交 于  E 点  则 

若  = 则 m = , 与 m≠0的假 定 矛  0, 0这
盾. 以, 所  =1 进 而 , 。 m= 一 . 2  
, 



.丝 一 一  

KB +4 一CD 一 4   j  KB : 4  
. 

+  一 +   

一—— 343  



2 4

。  

如 图 2 由题 设知  ,

故历   K G:

图3  

C ^ 3 一  l 。 B C   A D D= /   5 = 2 / 1   D = B.  


亏+   2  5
4  — 6 ’   KG 三  KD 。1   1‘


5  



D  网2  

4 2     5  


故 R △ B D∽ R / A B t C tk D  
AB= 3 百    1

4 

8 ’  

=6  9 1
. 

s一

, ̄ s o = j c

11十) ( 1 62 9  

.  

x了 4 . 4 +=   ( ) 4 故一= ×  , s 砉 一=  
s 怵 =脚 一  = 一0=4 喇 s s   百0 百 1 8
.  

=    1

3  专。
六 张卡 片任取三 张共有 2 可能. 0种 而卡  片编号 都大 于或等 于 2的有 1 0种可能 , 故所  求 的概 率 为 p=1     0= 1
.  

6。 5+4   8 2

将△ P C 点 c顺时针旋转 9 。使得  B绕 0, 点 B与 A重 合 , P到 P 的位 置 ( 图 4 , 点   如 ) 
联结 P   则 △ C P 是 等 腰 直 角 三角 形 .   P. P, 目

4. 4 3  

万方数据

21 0 2年第 4期  P =6   . P  √  
5 +7 +3 +7 =22  .

由 P   +    P PA


二 、. 直线 D 9设 C与  的 交点 为 Q  . 由  S C= S A=3。知 / A A   C 0 , XS C是 等 
腰 三角 形.   因为 O为边 A C的中点 , 以 ,0上 A . 所 S C 
C  

7  4  2 9 1 21=PA .  



得 

P A= 0 . P’ 9 。   进而 ,  
CP  =1 5o  A 3 .

于 是 ,O既 是 /  C边 A L X C上 的 高 , 又 
是 中线.  

过 点 A作 A Q上 
C  P 于点 Q 则  . I4 I  q

故△ I AC是 等腰 三角形 .   再结 合  D C=6 。知 △  C是 正 三  A 0, 角 形.   因为 J X t s为I  C的 中心 , 以 , L 所  
OS   l   乩 一2 ’  

A 老c 砉  Q , + ’   q

故 ( )(。 + .  =+ 云= 4   6 +)5  云 82
7.1   6.

最后五名选手之间要比赛 1 O场, 故最后  五名选手得分总和大于或等于 2× 0= 0 1 2.   从而 。 第二名选手得分大于或等于 
×2 :1 . 0 6 

由  = A:C 知 皿   佃 . D B,   故 四边形 I?C是 平行 四边形. AB   因此 , Q为边 D C的 中点.   从 而 , 为 / C 的重心.   XB D 于是 ,  
O M MC 一 2 ’  






 

’  

第一 名得 分小 于或 等于 2x  9=1. 8  

若第二名得 l 分 ( 7 即8胜 1 平) 则第一  , 名与第二名的 比赛必须平局. 这样第一名与  第二名都得 1 , 7分 与每名选手得分各不相同 
矛盾 .  

由式① 、 ②知 S M#L . C   1. O 由题 意 知 a ≥5 ≥5 以 , ≥3 !   .所 口 .  
由 口>b 得 口 ≥口 6 . , ! ?  1  

进 而结合题 设得 o 6 ≤口 ≤5 6. ?  ! ?  1 1   故口 . ≤5 于是 ,≤口 . 3 ≤5  

所以, 第二名得 l 分. 6  
8. 2  2.

设 口c 6d=后+( +1 后 )+… +( + 4  . 3) j }
=5. 7 , 3 (} j +1 ) 

当 口 3时, < . = b 3此时 ,   b +c +d! !+厂 = . ! ! +e ! 6   当6 =2时 ,! ! !   = . c +d +B + ! 4   故c :d=e ,=1 = .   当 6=l时 , = c d=e =l此时 , 满足    , 不


其中, 为正整数. J } 则质数 口 bcd必有一个  、、、 是 5 一个 是 7 , .   不 妨设 口= , =7 则 c k+1. 5 b . d= 7   当. i I ≥8时 ,  

题设.  

当 口= 4时 , < , 时 , b 4此  
b! ! +c +d!  ! 厂 = 4  + + ! 2.


当 b= 3时 ,! ! e + ! 8 c +d + ! . =1. 厂   由于 4×2 <1 ,   8故  1
c=3, +e + =1   d! !   2;

cd2 = 厕 +≥  2

≥ 厕 2

=0 1 .  

当 1  ≤7时 , ≤ 只有 两种情形使 .+ 7 j 1  } 能写成两个质数之积 :   I= i 4时 。 +1 } I 7=2 = 7 此 时 , i } 1 3× .  
c+d=1   0:


由于 3X  <1 , d=3 e + ! ,   21 2故 ,! , =6 此  时无解.   当 b= 2时 ,  
b! !+d! !   ≤5×21 4, +c +e +  <2  

5时 , 7= 2=   1此 时 , k+1 2 2Xl .  

c+d=1 . 3 

综上 , + + + 口 b c d的最小值为 

此 时无解 .   当 口= 5时 ,≤4 此 时 , b ,  

万方数据

中 等 数 学 

b + ! d + ! . =10 ! C + ! e + ! 2. 厂  

正整数. 设 
2  , a ≤ l<2 l ,  ≤ n <3 2 , “   3 。    5   扎<5 “≤   . a ≤ n <7 4 . 74     

又 10=b + !  ! ! .  2 ! l + +e + ! c 厂
≤5? !     2   b ≤5x41=1 0,

故 b= =d=e .= . c = 4 厂   综上, 满足题设 的 
( , ,, , , a b cd e 


贝 P , 2’ 3  5 Ⅱ (1 “+ 。+ 叼+7 )=  
n  ,  l n 

> + + + 虿 了   了 


( ,,, ,,) ( ,,, 44 . 3 2 l l l 1 , 5 4 4 4, , )  

1. 1 ( ,)=(3 1 满 足方 程  1 ( ) 戈Y 4 ,)
+4 ’ +y   , 2=2 0 2  2
.  

、  

I  + 了, (+ +  )   了 + J ÷ n 。  
27 4 
n 

() 2 答案是否定的.   若存 在整数 、 足  Y满
+4  +y  =2 O1     1,

>1 n. .1  

所以, 存在 无穷 多个正 整数 n使得 
Pn ( )>1 I. .n  



( y + x =  1.  + ) 2y 2 1 0   ①  从 而 ,  + ) 奇 数 , 而 , ( Y 是 进  +Y是奇 

() 2 的另解

令 , 3 2( l  ×   k为任意正  =

数. 于是,、   Y为一奇一偶. 42   故   . l 由于奇数的平方除以 4 1 于是 , 余 , 式①  的左边除以4余 l而右边除 以4 3 矛盾. , 余 .   所 以, 不存在 整数 、 足  Y满
+4 +     :2 01 .   1 

整数 ) .   由2 “ <   2 < “ , 3 x   2   及 

3≤   2 < ” (   3 x   3   a为正整数)  , 贝 p n 2 +  > ‘ +3x ‘ 』 l ( )=   3 2    2 
= 1   >1 n  1 x2 .1 .

1 . 1因 6=  3而 2 < < 33 6<   2 () 2x , 2 6 2, < 3 ,   所 以 ,( )=   3=7> . p6 2 + 6  

故存 在无穷 多个 正整数 n使得 
pn ( )>1 1 . ., 1  

故n 6 = 是一个满足p r >I () , / , 的正整数   ( ) n 235 ‘ 2 设 =   " , 7 其中,,  t xy 是任意 

( 熊 斌 李大元 叶声扬 命题)  

顾鸿达  刘鸿坤 

● 书 讯 ● 

《 向 I O? 走 M 数学奥林匹克试题集锦》  
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万方数据

2011年新知杯上海市初中数学竞赛
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(4)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201204008.aspx


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