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2012届高考数学限时训练(导数)


A 级 课时对点练 (时间:40 分钟 满分:70 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)等于________. 解析:f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1),即 f′(1)=-2,∴f′(x)=2x- 4, ∴f′(0)=-4. 答案:-4 4 2.(2010· 辽宁高考题)已知点 P 在曲线 y= x 上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e +1 则 a 的取值范围是________. 3π 答案:? 4 ,π? ? ? 3.(2010· 海南、宁夏高考题)曲线 y= 答案:y=2x+1 4.(2010· 江苏高考题)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2)处的切线与 x 轴交点的横坐标 k 为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=__________. ak 解析:在点(ak,ak )处的切线方程为:y-a2=2ak(x-ak),当 y=0 时,解得 x= , 2 k 2 所 ak 以 ak+1= ,a1+a3+a5=16+4+1=21. 2 答案:21 1 5.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2.则 f(1)+f′(1)= 2 ________. 1 解析:∵点 M(1,f(1))在切线 y= x+2 上, 2 1 5 ∴f(1)= ×1+2= . 2 2 1 5 1 又 f′(1)= ,因此 f(1)+f′(1)= + =3. 2 2 2 答案:3 x 在点(-1,-1)处的切线方程为________. x+2

Δy 6.已知函数 f(x)=2x2-1 图象上一点(1,1)及邻近点(1+Δx,1+Δy),则 =__________. Δx Δy f?x2?-f?x1? Δy 解析:我们把 = 称为函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,这里 = Δx Δx x2-x1 [2?1+Δx?2-1]-?2×12-1? 4Δx+2?Δx?2 = =4+2Δx. Δx Δx 答案:4+2Δx 7.设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率范围是[-1,3], 则点 P 纵坐标的取值范围是____________. 解析:由题知,y′=2x-1,所以-1≤2x-1≤3,即 0≤x≤2. 1 3 3 3 此时 y=x2-x+1=?x-2?2+ 的值域为?4,3?,故点 P 纵坐标的取值范围是?4,3?. ? ? 4 ? ? ? ? 3 答案:?4,3? ? ? 1 8.已知 l 是曲线 y= x3+x 的切线中倾斜角最小的切线,则 l 的方程是________. 3 解:∵y′=x2+1≥1,∴直线 l 的斜率为 1. 又当 y′=x2+1=1 时,x=0,即切点为(0,0), ∴直线的方程为 y=x. 答案:y=x 二、解答题(共 30 分) 9.(本小题满分 14 分)求下列函数的导数: (1)f(x)=x2ex;(2)f(x)=(2x+1)ln x; (3)f(x)=sin x x · cos (1+2x). 2 2

解:(1)f′(x)=(x2ex)′=(x2)′ex+x2(ex)′=2xex+x2ex. 2x+1 (2)f′(x)=((2x+1)ln x)′=(2x+1)′ln x+(2x+1)· x)′=2ln x+ (ln . x 1 1 1 1 1 (3)f(x)= sin x(1+2x),f′(x)= (sin x)′(1+2x)+ sin x· (1+2x)′= cos x(1+2x)+ 2 2 2 2 2 sin x·xln 2. 2 10.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且 在点 P 处有公共切线,求 f(x),g(x)的表达式. 解:∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2,0),∴a=-8,∴f(x)=2x3-8x,∴f′(x)=6x2 -8.对于 g(x)=bx2+c,图象过点 P(2,0),则 4b+c=0,又 g′(x)=2bx,g′(2)= 4b=f′(2)=16,∴b=4,∴c=-16,∴g(x)=4x2-16. 综上可知,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16. B 级 素能提升练 (时间:30 分钟 满分:50 分)

一、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2010· 江西改编)等比数列{an}中, 1=2, 8=4, a a 函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), 则 f′(0)=__________. 解析:函数 f(x)的展开式含 x 项的系数为 a1·2· a8=(a1·8)4=84=212,而 f′(0)= a …· a a1·2· a8=212=4 096. a …· 答案:4 096 2.已知一个物体的运动方程是 s=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么该 物体在 3 秒末的瞬间速度是__________. 解析:s′=-1+2t,∴s′|t=3=-1+6=5. 答案:5 米/秒 3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f?1? f(x)≥0,则 的最小值为________. f′?0? 解析:f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>0,
2 ? ?Δ=b -4ac≤0, b2 又? ,∴ac≥ ,∴c>0, 4 ? ?a>0



f?1? a+b+c b+2 ac 2b = ≥ ≥ =2. b b b f′?0?

答案:2 15 4.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a=__________. 4 解析:设曲线 y=x3 上切点为(x0,x3),∵y′|x=x0=3x2, 0 0 ∴ x3 3 0 =3x2,∴2x3=3x2,∴x0= 或 x0=0, 0 0 0 2 x0-1

27 ∴公切线的斜率为 k= 或 k=0, 4 27 ∴切线方程为 y= (x-1)或 y=0. 4 25 当直线方程为 y=0 时,求得 a=- ; 64 27 当直线方程为 y= (x-1)时,求得 a=-1. 4 25 答案:-1 或- 64 二、解答题(共 30 分) 1 4 5.(本小题满分 14 分)已知曲线 y= x3+ . 3 3

(1)求曲线在点(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解:(1)∵y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4, ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4 1 4 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0,3x0+3?,则切线的斜率 k= ? ? 3 3 2 y′|x=x0=x0. 1 3 4 ∴切线方程为 y-?3x0+3?=x2(x-x0), ? ? 0 2 4 即 y=x2· x3+ . 0 x- 0 3 3 2 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2- x3+ , 0 3 0 3 即 x3-3x2+4=0, 0 0
2 ∴x3+x0-4x2+4=0, 0 0

∴x2(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0. 0 ∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 1 6.(本小题满分 16 分)设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的 x+b 切线方程为 y=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为 定值,并求出此定值. 1 (1)解:f′(x)=a- , ?x+b?2

?2a+2+b=3, 于是? 1 a- ? ?2+b? =0.
1
2

? ?a=1, 解得? 或 ?b=-1, ?

?a=4, ? 8 ?b=-3.
9

因为 a,b∈Z,故 f(x)=x+

1 . x-1

1 (2)证明:在曲线上任取一点?x0,x0+x -1?, ? ? 0

1 x2-x0+1 ? 1 0 由 f′(x0)=1- = 1-?x -1?2? 2知,过此点的切线方程为 y- ? ? ?x0-1? x0-1 0 (x-x0). x0+1 令 x=1,得 y= , x0-1

? x0+1?; 切线与直线 x=1 的交点为?1, ? ? x0-1?
令 y=x 得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1); 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为 1?x0+1 ? 1 2 ? -1 |2x -1-1|= ? |2x -2|=2. 2?x0-1 ? 0 2?x0-1? 0 ? ? 所以,所围三角形的面积为定值 2.


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