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浙江省诸暨市牌头中学高中数学竞赛训练题(20150513)


数学竞赛训练题 20150513 1、使函数 y ? ?4 x ? 3 4 x 2 ? 1 取得最小值的正数 x=_____。 2、把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是 。

3、在正四棱锥 P-ABCD 中, AB=1,AB 上一点 E,AE>BE,四棱锥的截面 EFGH 垂直于底面,且 与 BC 平行,若截面截得的两个多面体的体积之比

为 20:7,则 BE 的长为______。 4、已知 a ? b ? 0 ,向量 c 满足 c ? a ? c ? b ? 0 , a ? b ? 5 , a ? c ? 3 ,则 a ? c 的 最大值为______。 5、设实常数 k 使得方程 2x +2y -5xy+x+y+k=0 在平面直角坐标系 xOy 中表示两条相交的直线, 交点为 P,若点 A、B 分别在这两条直线上,且|PA|=|PB|=1,则 AP ? BP ? ______。 6、已知正数 x、y、z 满足 9x +12y +5z =1,则 3x+6y+5z 的最大值是_____。 7、已知正项数列 {an } 满足 a1 ?
2 2 2 2 2

?

??

?

3 1 1 2 2 ,an ?1 ? an ? ? 2 ,记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 2 2 ?n ? 2? n



1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ______。 S1 S3 S5 S 2005 S 2007 S 2009
k ? cos x ? 1 ?1 ? 的值域包含区间 ? , 2? ,则实数 k 的取值范围是______。 cos 2 x ? k ?2 ?

8、若函数 f ? x ? ?

9、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 6 - 2an ? 22?n ,试求数列 {an } 的通项公式。

10、已知椭圆 等比数列。

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左顶点为 A,右焦点为 F(c,0) ,且 2 b , a , c 成 a 2 b2

(1)求椭圆的离心率 e; (2)过点 F 的直线与椭圆相交于 M、N 两点,直线 AM、AN 分别与右准线 L 相交于 P、Q 两点, 求证: FP ? FQ 为定值。

11、设正实数 x 、 y 、 z 满足 x + y + z =1。 求三元函数 f ?x, y, z ? ?

3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z 的最小值。 ? ? 1 ? x2 1 ? y2 1 ? z2


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