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2015年江苏姜堰中学高三数学期初试题及答案讲评


2015 年江苏省姜堰中学高三期初学情检测

数学试题与参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 答案: ▲ . (全对)

? 1 2? ? ;提示:变式: y ? sin 4 x ; T ? ? .■ 2 2 4 2

2.设复数 z 满足 i( z ? 4) ? 3 ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为
做错者 :王睿泽、吴 桐. (要订正 20 条) ...





答案: ?3 ;提示:设 z ? a ? bi (a、b ? R) , i(a ? bi ? 4) ? 3 ? 2i ? ?b ? (a ? 4)i ? 3 ? 2i ? b ? ?3 .■

3.某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人,若每名应聘者被录用的机会均等,则甲、乙 2 人中 至少有 1 人被录用的概率为 ▲ .

5 1 5 2 ? 6 ,无甲无乙仅 1 种,∴ P ? 1 ? ? .■ 答案: ;提示:古典概型,正难则反;事件总数为 C4 6 6 6
做错者 :李慧敏、郭大为、焦晓佳. (要订正 20 条) ... 4.某班有 49 位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序框图 执行(其中 a 为座号) ,并以输出的值作为下一个输入的值;若第一次输 入的值为 8,则第三输出的值为 ▲
4 ?8



? 8 .■ 答案: 8 ;提示: 8 ? 15 ? 29 ???

做错者 :陆冰冰、翟荣蓉、潘倩玉. (要订正 20 条) ... 5.已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥的体积为 答案: ▲ .
3 1 3 ? ;提示:底面半径为 1,高为 3 , V ? ? ?12 ? 3 ? ? .■ 3 3 3

做错者 :翟逸笑、蒋沛清. (要订正 20 条) ... 6.已知将函数 y ? sin x 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标 不变) ,再向左平移

x x ? 答案: y ? sin( ? ) ;提示: y ? sin x ? y ? sin ? y ? sin 3 3 12

? 个单位,可得到函数 y ? f ( x) 的图象,则 f ( x) ? 4 ?
x? 3





4 ? sin( x ? ? ) .■ 3 12

做错者 :李慧敏、陈婷婷、卢稷楠. (要订正 20 条) ...
?x ? y ?1 ? 0 2x ? 7.若实数 x, y 满足 ? x ? 2 ? 0 ,则 z ? y 的取值范围是 4 ?x ? y ? 3 ? 0 ?





2x 1 1 答案: [ , 1] ;提示:变式: z ? y ? 2x ? 2 y ,设 t ? x ? 2 y ,则 t ? [ ?4, 0] ,从而 z ? [ , 1] .■ 4 16 16
做错者 :郑天宇、李慧敏、缪沁杨、陈煜琪、潘倩玉、徐雨桐. (要订正 20 条) ... 8.已知 ?ABC 中,角 A 、B、C 的对边分别为 a、 b、 c ,且 5 tan B ?

6ac ,则 sin B 的值是 a ? c 2 ? b2
2





3 答案: ;提示: “切化弦” 、 “正、余弦定理”同时发挥作用,通常着落在角 上,偶尔在边 上; . . 5

1

变式:

5sin B 3 5sin B 3 3 ? 2 ? ? ? sin B ? .■ 2 2 cos B cos B cos B 5 a ?c ?b 2ac

做错者 :王睿泽. (要订正 20 条) ... 9.已知椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? 9 的左焦点为 F1 ,点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点, O 为坐标原点,若点 D 是线段
PF1 的中点,则 ?F1OD 的周长为





答案: 3 ? 6 ;提示:圆锥曲线的核心解法是“紧扣定义” ;设右焦点为 F2 ,连结 PF2 ,则 OD 是 ?PF1 F2 的中位线, a ? 3 , c ? 9 ? 3 ? 6 ;由定义和中位线定理得:周长 ? a ? c ? 3 ? 6 .■ 做错者 :刘剑雨、王钱益、顾 盼、窦慧星. (要订正 20 条) ... 10.已知函数 f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? ax ? 1 ;若 f ( x) 有 4 个零点, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 答案: (2, ? ?) ;提示:偶函数,4 个零点,则当 x ? 0 时,必有 2 个;由二次函数的性质可知:

a a ? 0 且 f ( ) ? 0 ,即 a ? 0 且 a 2 ? 4 ,故 a ? 2 .■ 2 2 做错者 :黄少峰、仲建宇、刘剑雨、乔森、陈婷婷、许黄蓉、郭大为、贺文杰、陈子慧、窦慧星、卫世杰、徐雨桐. (要订正 20 条) ...
对称轴在 y 轴右侧且顶点在 x 轴下方; 11.设 a、b ? R ,已知关于 x 的方程 ( x 2 ? ax ? 1)( x 2 ? bx ? 1) ? 0 的四个实数根构成以 q 为公比的等比数列,

1 若 q ? [ , 2] ,则实数 ab 的取值范围是 3
答案: [4,





112 、对称轴 、是否过定点 ” ; ] ;提示:二次函数的灵魂是“开口方向 .... ... ... 9

变式: ( x2 ? ax ? 1)( x 2 ? bx ? 1) ? 0 ? x 2 ? ax ? 1 ? 0 或 x 2 ? bx ? 1=0 ; (本题有点难) 考察两个函数: f ( x) ? x2 ? ax ? 1 和 g ( x) ? x2 ? bx ? 1 ;开口向上,过共同的定点 K (0, 1) ; 故两函数的零点是同号的,又由于公比 q 是正数,不妨设四个实数根均为正数,且 a ? b ; 令四个根为 x1、x2、x3、x4 , (0 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ; 它们构成以 q 为公比的等比数列; 由图象可知:
x2、x3 是 f ( x) 的零点, x1、x4 是 g ( x) 的零点;

∴ x2 ? x3 ? a , x1 ? x4 ? b , x2 ? x3 ? x1 ? x4 ? 1; 再结合等比数列可得:
x1 (q ? q 2 ) ? a ①, x1 (1 ? q3 ) ? b ②, x12 ? q3 ? 1 ③;

① ? ② ? ③得:
ab ? (q ? q 2 )(1 ? q 3 ) (1 ? q)(1 ? q 3 ) ? ? q ?2 ? q ?1 ? q ? q 2 q3 q2

1 1 ? (q ? ) 2 ? (q ? ) ? 2 ; q q

令t ? q?

1 1 10 10 ,则由于 q ? [ , 2] ,有 t ? [2, ] ,再由 ab ? t 2 ? t ? 2 在 t ? [2, ] 上是增函数; q 3 3 3

故 ab ? [4,

112 ] .■ 9

做对者 :王宇嘉、武朝钦、季小淇、林 芮、常毅琛、刘冬兰、石金鹏、韩婷婷、乔 森、陆冰冰、陈 胜、翟逸笑、李慧敏. ... 共 13 人.

2

12.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 交于 A、B 两点, O 为坐标原点,若

???? 5 ??? ? 3 ??? ? 圆上一点 C 满足 OC ? OA ? OB ,则 r ? 4 4





???? 2 25 ??? ? 2 9 ??? ? 2 30 ??? ? ??? ? 答案: 10 ;提示: A 、B、C 均在圆上,平方得: OC ? OA ? OB ? OA ? OB cos ?AOB ; 16 16 16
即 r2 ? 则d ?

25 2 9 2 30 2 3 r ? r ? r cos ?AOB ,化简: cos ?AOB ? ? ;设圆心到直线的距离为 d ; 16 16 16 5

2

3 1 2 (画图便知) ? 2 ;于是有: ? ? cos ?AOB ? 2 cos 2 ( ?AOB) ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ; 5 2 r 2

解得: r 2 ? 10 即 r ? 10 .■(本题不难) 做对者 :王宇嘉、武朝钦、季小淇、洪宇晨、王亚丽、杨 晨、常毅琛、杭 慧、袁峥嵘、袁 鑫、王小雨、孙 琴、陈 胜、 ... 王 倩、王睿泽、黄河清、缪沁杨、王 荣、钱 睿、徐亚敏、翟荣蓉、陈婷婷、许黄蓉、王钱益、郭大为、蒋沛清、 焦晓佳.共 27 人.
( z ? 1) 2 的最小值为 2 xyz

13.若 x、y、z 均为正实数,且 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则





答案: 3 ? 2 2 ;提示:注意到: x 2 ? y 2 ? 2 xy ,考虑保留 z ,构造关于 z 的一元二次不等式; 设
( z ? 1) 2 ( z ? 1)2 ( z ? 1)2 ? t ,则 , ? 2 xy ,且 t ? 0 ;结合题设,有: 1 ? z 2 ? 2 xyz tz tz

即 tz (1 ? z )(1 ? z ) ? ( z ? 1)2 ;再由题设知: 0 ? z ? 1;有 z ?1 ? 0 , 1? z ? 0 ∴ tz (1 ? z ) ? z ? 1 即 t ?
z ?1 z ?1 z ?1 1 ? ? ? ; z (1 ? z ) ? z 2 ? z ?( z ? 1) 2 ? 3( z ? 1) ? 2 3 ? [( z ? 1) ? 2 ] z ?1

∴考察上式右端分母的最小值为 3 ? 2 2 ,从而右端的最大值为 3 ? 2 2 ; 故所求式子的最小值为 3 ? 2 2 .■(本题有点难) 做对者 :林 芮、洪宇晨、王亚丽、杨 晨、郑天宇.共 5 人. ... 14.已知公差为 d 的等差数列 {an } 满足 d ? 0 ,且 a 2 是 a1、a4 的等比中项;记 bn ? a2n (n ? N *) ,则对任意的 正整数 n 均有
1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ,则公差 d 的取值范围是 b1 b2 bn





1 答案: [ , ? ?) ;提示: 2
2 ? a1a4 ? (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ? a1 ? d ,从而 an ? nd ; 由题意可得: a2
n 1 1 1 1 1 n 1 1 1 n 1 1 1 ? n ? ? n ;∴ ? ?? ( ? k ) ? ? k ? (1 ? n ) ; bn 2 d d 2 d k ?1 2 d 2 k ?1 bk k ?1 d 2

从而 bn ? a2n ? 2 n d ? ∴有

1 1 1 (1 ? n ) ? 2 对任意正整数 n 恒成立;易知: d ? [ , ? ?) .■(本题不难) 2 d 2

做对者 :季小淇、林 芮、杨 晨、刘冬兰、李慧敏.共 5 人. ...

3

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本题满分 14 分) 锐角 ?ABC 的内角 A 、B、C 的对边分别为 a、 b、 c ,已知 cos( B ? A) ? 2sin 2 (1)求 sin A sin B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 ,求 ?ABC 的值. 解析: (1)由条件可得 cos( B ? A) ? 1 ? cos C ? 1 ? cos( B ? A) ;???????????????? 4 分 ∴ cos B cos A ? sin B sin A ? 1 ? cos B cos A ? sin B sin A ; 即 sin B sin A ?

C ; 2

1 .????????????????????????????? 7 分 2

(2)由正弦定理得:

a b 3 2 ,可设 sin A ? 3k , sin B ? 2 k ; (这里有点难) ? ? ? sin A sin B sin A sin B
1 3 3 3 ?k? ,即 sin A ? , sin B ? ;????????? 9 分 2 6 3 2 6 1 , cos B ? ; 3 2 3 2? 3 ;??????????? 12 分 6

再由(1)得: 6k 2 ?

由锐角三角形可得: cos A ?

从而 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ∴ S ?ABC ?

1 1 3 2? 3 3 2? 3 ab sin C ? ? 2 ? 3 ? ? .■ ???????????? 14 分 2 2 6 2

失分者 :刘剑雨 ?7 、陆冰冰 ?7 、王 倩 ?7 、张楷文 ?7 、许黄蓉 ?7 、潘倩玉 ?7 、陈子慧 ?7 、缪沁杨 ?4 、钱 睿 ?4 、 ... 吴 桐 ?4 、仲建宇 ?4 .共 11 人. (要订正 5 条) 16. (本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ,点 D 为 BC 的中点,点 E 为 BD 的中点,点 F 在 AC1 上, 且 AC1 ? 4 AF ; (1)求证:平面 ADF ? 平面 BCC1 B1 ; (2)求证:直线 EF // 平面 ABB1 A1 . 证明: (1)由直三棱柱的定义可知: CC1 ? 平面 ABC ; 而 AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD ;??????? 2 分 ∵ AB ? AC ,点 D 为 BC 的中点,∴ AD ? BC ; ∵ BC ? CC1 ? C , BC ? 平面 BCC1 B1 , CC1 ? 平面 BCC1 B1 ; ∴ AD ? 平面 BCC1 B1 ;???????????? 5 分 而 AD ? 平面 ADF ∴平面 ADF ? 平面 BCC1 B1 .????????? 7 分 (2)连结 CF 并延长交 AA1 于 G ,连结 GB ; ∵ AC1 ? 4 AF , AA1 // CC1 , ∴ CF ? 3FG ; ∵ D 是 BC 的中点, E 是 BD 的中点; ∴ EF // BG ;??????????????? 11 分 而 EF ? 平面 ABB1 A1 , BG ? 平面 ABB1 A1 ; ∴ EF // ;平面 ABB1 A1 .■ ????????? 14 分 陈婷婷 ?7 、王钱益 ?5 、贺文杰 ?7 、焦晓佳 ?7 、窦慧星 ?4 、徐雨桐 ?5 .共 15 人. (要订正 5 条)
4

A1 B1

C1

F A B E A1 B1 G A B E D F C D C1 C

失 分者 :王宇嘉 ?4 、季小淇 ?4 、王亚丽 ?4 、杨 晨 ?3 、翟逸笑 ?4 、张楷文 ?7 、黄河清 ?4 、王 荣 ?5 、钱 睿 ?4 、 . ..

17. (本题满分 14 分) 如图,一楼房高 AB 为 19 3 米,某广告公司在楼顶安装一块宽 BC 为 4 米的广告牌, CD 为拉杆,广告 牌的倾角为 60? ,安装过程中,一身高为 3 米的监理人员 EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果;为保证安 全,该监理人员不得站在广告牌的正下方;设 AE ? x 米,该监理人员观察广告牌的视角 ?BFC ? ? ; (1)试将 tan? 表示为 x 的函数; (2)求点 E 的位置,使 ? 取得最大值. 解析: (1)作 CG ? AE 于 G ,作 FH ? AB 于 H ,交 CG 于 M , 作 BN ? CG 于 N ,则 ? ? ?CFM ??BFH ; 在直角 ?BCN 中, BC ? 4 , ?CBN ? 60? , 则 BN ? 2 , CN ? 2 3 ; 在直角 ?CFM 中,
CM CN ? NM 20 3 ? ? 有 tan ?CFM ? ; MF AE ? BN x?2
A
C D B N θ

C D B

F E

在直角 ?BFH 中, 有 tan ?BFH ?
BH 18 3 ? ; HF x

∴ tan ? ? tan(?CFM ? ?BFH ) ?

tan ?CFM ? tan ?BFH 1 ? tan ?CFM ? tan ?BFH

M 20 3 18 3 H F ? 2 3 x ? 36 3 x ; ? x?2 ? 2 20 3 18 3 x ? 2 x ? 1080 E A G 1? ? x?2 x 再由题意可知:监理人员只能在 G 点右侧,即 x ? (2, ? ?) .????????? 7 分

(2)由(1)得: tan ? ?

2 3 x ? 36 3 x ? 18 ? 2 3? 2 ; 2 x ? 2 x ? 1080 x ? 2 x ? 1080

令 t ? x ?18 ,则 t ? (20, ? ?) ; ∴ tan ? ? 2 3 ?

t t 1 3 , ? 2 3? 2 ? 2 3? ? 1440 (t ? 18) 2 ? 2(t ? 18) ? 1080 t ? 38t ? 1440 12 10 ? 19 t? ? 38 t

当且仅当 t ?

1440 即 t ? 12 10 时,等号成立;此时, x ? 12 10 ? 18 ; t

又易知: ? 是锐角,即 ? ? (0,

?
2

) ,而 y ? tan ? 在 ? ? (0,

?
2

) 是增函数;

∴当 x ? 12 10 ? 18 时, ? 取最大值.■ ??????????????????? 14 分 得满分者:王宇嘉、季小淇、洪宇晨、杭 慧、袁 鑫、孙 琴、石金鹏、黄少峰、仲建宇、刘剑雨、翟逸笑、张楷文、李慧敏、 陈婷婷、贺文杰.共 15 人. 得 0 分者:韩婷婷、乔 森、李继强、黄河清、缪沁杨、王 荣、王赵晨、徐智雅、陈煜琪、郭大为、顾 盼、刘晓宇、唐 潇、 贾 幼、焦晓佳、陈子慧、窦慧星、徐雨桐.另加:曹伟(仅得 2 分) ,共 19 人. (要订正 5 条)

5

18. (本题满分 16 分) 如图,椭圆 C 的中心在原点,左焦点为 F1 (?1, 0) ,右准线方程为: x ? 4 ; (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若椭圆 C 上点 N 到定点 M (m, 0) (0 ? m ? 2) 的距离的最小值为 1,求 m 的值及点 N 的坐标; (3)分别过椭圆 C 的四个顶点作坐标轴的垂线,围成如图所示的矩形, A、B 是所围成的矩形在 x 轴上方的 两个顶点;若 P、 Q 是椭圆 C 上两个动点,直线 OP、OQ 与椭圆的另一个交点分别为 P 1、 Q1 ;且有直线
OP、OQ 的斜率之积等于直线 OA 、OB 的斜率之积,试探求四边形 PQPQ 1 1 的面积是否为定值,并说明

理由. 解析: (1)设椭圆的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , c 为半焦距; a 2 b2

由题意可得: c ? 1 , ∴椭圆 C 的方程为:

a2 ? 4 ;解得: a ? 2 ,从而有 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ; c

x2 y 2 ? ? 1 .???????????????????? 4 分 4 3 y (2)设 N ( x, y ) ,由定点 M ( m, 0) ,考虑距离的平方;
则 MN 2 ? ( x ? m)2 ? y 2
B A Q P l

? ( x ? m)2 ? 3(1 ?
?

x ) 4

2

1 2 x ? 2mx ? m2 ? 3 ; 4 二次函数的图象对称轴为 x ? 4m ;
由椭圆方程知: ?2 ? x ? 2 ;??? 6 分 由题设知: 0 ? 4m ? 8 ; 分类讨论: ①当 0 ? 4m ? 2 即 0 ? m ? 解得: m2 ? ②当 4m ? 2 即
P1

F1

O

F2
Q1

x

1 2 ? ?3m2 ? 3 ? 1 ; 时,在 x ? 4m 时有 MNmin 2

2 1 ? ,不符合题意,舍去; 3 4

1 2 ? m2 ? m ? 4 ? 1 ; ? m ? 2 时,由单调性知:在 x ? 2 时有 MN min 2 解得: m ? 1 或 m ? 3 (舍) ; 综上可得: m 的值为 2,点 N 的坐标为 (2, 0) .?????????????? 10 分
(3)由椭圆方程可知:四条垂线的方程分别为: x ? ?2 、 y ? ? 3 ;则 A(2, ∴ kOA ? kOB ? ?
yy 3 ;设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,则有 kOP ? kOQ ? 1 2 ; x1 x2 4 y1 y2 3 x2 x2 2 ? ? (*) ,而点 P、 Q 均在椭圆上,有 y12 ? 3(1 ? 1 ) 、 y2 ? 3(1 ? 2 ) ; x1 x2 4 4 4

3) 、 B(?2,

3) ;

∴由题意可得:

2 2 2 2 ? 16 y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,即 x12 ? x2 ? 4 ;??? 12 分 ∴将(*)式平方并代入可得: 9 x12 x2

( a ) 若 x1 ? x2 ,则 P、P 、OB 与椭圆的交点; 1、Q、Q1 分别是直线 OA

∴四个点的坐标分别为: ( 2,

6 6 6 6 ) 、 ( 2, ? ) 、 (? 2, ? ); ) 、 (? 2, 2 2 2 2

∴四边形 PQPQ 1 1 的面积为 4 3 .?????????????????????? 14 分

6

(b) 若 x1 ? x2 ,则可设直线 PQ 的方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) ; x2 ? x1

化简可得: ( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 ; ∴原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ? ∴ S?OPQ ?
?

x1 y2 ? x2 y1 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2

,而 PQ ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;

1 1 1 2 2 2 2 PQ ? d ? x1 y2 ? x2 y1 ? x1 y2 ? 2x1 x2 y1 y2 ? x2 y1 2 2 2
x2 x2 1 3 1 1 2 2 2 3x12 (1 ? 2 ) ? x12 x2 ? 3x2 (1 ? 1 ) ? 3( x12 ? x2 )? 3? 4 ? 3 ; 2 4 2 4 2 2

根据椭圆的对称性,该四边形 PQPQ 1 1 也是关于 O 成中心对称; ∴四边形 PQPQ 1 1 的面积为 4S?OPQ ,即为定值 4 3 ; 综上所述:四边形 PQPQ 1 1 的面积为定值,该定值为 4 3 .■ 王亚丽 ?11 、乔 森 ?11 、韩婷婷 ?11 .共 11 人. 19. (本题满分 16 分) 对给定数列 {cn } , 如果存在实常数 p、q 使得 cn ?1 ? pcn ? q 对任意 n ? N * 都成立, 我们称数列 {cn } 是 “线性数列” ; (1)若 an ? 2n , bn ? 3 ? 2n , n ? N * ,数列 {an } 、 {bn } 是否为“线性数列”?若是,指出它对应的实常数 p 和 q , 若不是,请说明理由; (2)求证:若数列 {an } 是“线性数列” ,则数列 {an ? an ?1} 也是“线性数列” ; (3)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an ?1 ? 3t ? 2n (n ? N *) , t 为常数,求数列 {an } 的前 n 项的和. 解析: (1)本小题的思路是:紧扣定义. ∵ an ? 2n ,∴ an ?1 ? an ? 2 , (n ? N *) ; ∴数列 {an } 是“线性数列” ,对应的实常数分别为 1,2;?????????????? 2 分 ∵ bn ? 3 ? 2n ,∴ bn ?1 ? 2bn , (n ? N *) ; ∴数列 {bn } 是“线性数列” ,对应的实常数分别为 2,0.?????????????? 4 分 (2)本小题的思路依旧是:紧扣定义. ∵数列 {an } 是“线性数列” ,∴存在实常数 p、q ,使得 an ?1 ? pan ? q 对任意 n ? N * 恒成立; 再进一步有: an ? 2 ? pan ?1 ? q 对任意 n ? N * 恒成立; ∴有 (an ?1 ? an ? 2 ) ? p(an ? an ?1 ) ? 2q 对任意 n ? N * 都成立,
2 q .????????? 10 分 ∴数列 {an ? an ?1} 也是“线性数列” ,对应的实常数分别为 p、

????????? 16 分

得 10 分以上者:武朝钦 ?15 、刘剑雨 ?13 、季小淇 ?12 、袁峥嵘 ?12 、郑天宇 ?12 、张楷文 ?12 、许黄荣 ?12 、潘倩玉 ?12 、

(3)本小题的思路是:成对出现,奇偶分清. 当 n 是偶数时, Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ??? ? (an ?1 ? an ) ? 3t ? 2 ? 3t ? 23 ? ??? ? 3t ? 2n ?1
n

2(1 ? 4 2 ) ? 3t (2 ? 23 ? ??? ? 2n ?1 ) ? 3t ? ? t ? 2n ?1 ? 2t ;???????? 13 分 1? 4
当 n 是奇数时, Sn ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? ??? ? (an ?1 ? an ) ? 2 ? 3t ? 22 ? 3t ? 24 ? ??? ? 3t ? 2n ?1
n ?1

4(1 ? 4 2 ) ? 2 ? 3t (22 ? 24 ? ??? ? 2n ?1 ) ? 2 ? 3t ? ? t ? 2n ?1 ? 4t ? 2 ; 1? 4

?t ? 2n ?1 ? 2t , n 为偶数 ? 故 Sn ? ? n ?1 .■ ? ?t ? 2 ? 4t ? 2, n 为奇数

???????????????????? 16 分

得满分者:王 倩、缪沁杨.得 10 分及以上者 32 人. 得 4 分以下者:李慧敏、卢稷楠、刘晓宇、徐雨桐. (要订正 5 条)
7

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a、b、c、d ? R) ,设直线 l1、l2 分别是曲线 y ? f ( x) 的两条不同的切线; (1)若函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 1 时, f ( x) 有极小值为 ?4 ; (i) 求 a、b、c、d 的值;
(ii ) 若直线 l3 亦与曲线 y ? f ( x) 相切,且三条不同的直线 l1、l2、l3 交于点 G ( m, 4) ,求实数 m 的取值范围;

(2)若直线 l1 // l2 ,直线 l1 与曲线 y ? f ( x) 切于点 B 且交曲线 y ? f ( x) 于点 D ,直线 l2 与曲线 y ? f ( x) 切于点 C 且交 曲线 y ? f ( x) 于点 A ,记点 A 、B、C、D 的横坐标分别为 xA、xB、xC、xD ,求 ( xA ? xB ) : ( xB ? xC ) : ( xC ? xD ) 的值. 解析: (1) (i) 本小题:紧扣定义,用好条件,注意检验. ∵ f ( x) 是奇函数,且 x ? R ;∴ f (0) ? d ? 0 ,且 ?a3 ? bx 2 ? cx ? ?a 3 ? bx 2 ? cx 即 b ? 0 ; ∴ f ( x) ? ax3 ? cx ;∴ f '( x) ? 3ax 2 ? c ,而当 x ? 1 时有极小值 ?4 ; ??????? 2 分
? f '(1) ? 0 ?3a ? c ? 0 ?a ? 2 ?? ?? ? f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x ; ??????????? 4 分 ∴? f (1) ? ? 4 a ? c ? ? 4 c ? ? 6 ? ? ? 经检验 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 满足题意,则 a ? 2、b ? 0、c ? ?6、d ? 0 .???????? 5 分
(ii ) 本小题:三次函数的切线处理方法要洞明.
3 2 ? 6 x0 , f '( x0 ) ? 6 x0 ?6; 设 P( x0 , y0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的一点,由 (i) 知: y0 ? 2 x0

2 2 3 ? 6)( x ? x0 ) ,消去 y 0 即得: y ? (6 x0 ? 6) x ? 4 x0 ∴过 P 点的切线方程为: y ? y0 ? (6 x0 ;

由此切线方程形式可知:过某一点的切线最多有三条; 又由奇函数性质可知:点 P3 (?1, 4) 是极大值点;从而 l3 : y ? 4 是一条切线且过点 (m, 4) ; 再设另两条切线的切点为 P 2 ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2 ? ?1 ; 1 ( x1 , y1 ) 、 P
2 3 ? 6) x ? 4 x2 则可令切线 l1 : y ? (6 x12 ? 6) x ? 4 x13 , l2 : y ? (6 x2 ; 2 3 ? 1) ? 2( x2 ? 1) ; 将 G ( m, 4) 代入 l1、l2 的方程中,并化简可得: 3m( x12 ? 1) ? 2( x13 ? 1) 且 3m( x2

从而有: m ?

2 2( x12 ? x1 ? 1) 2( x2 ? x2 ? 1) 且m? ;???????????????? 8 分 3( x1 ? 1) 3( x2 ? 1)

∴ x1、x2 是方程 m ? 构造函数: g ( x) ?

2( x 2 ? x ? 1) 的两根; (下面考察 m 取何值时,该方程有两个不相等的实根) 3( x ? 1)

2( x 2 ? x ? 1) 2 1 ? (x ?1 ? ? 1) , 3( x ? 1) 3 x ?1

2 1 g '( x) ? [1 ? ] ;由 g '( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? 2 , 3 ( x ? 1) 2

2 而 g (0) ? ? , g (2) ? 2 ,结合图象可得: 3 实数 m 的取值范围是: 2 (??, ? 1) ? (?1, ? ) ? (2, ? ?) .?????? 10 分 3 (2)注意:第 1 小题与第 2 小题没有递进关系. 2 ? 2bx2 ? c ; 令 xB ? x1 , xC ? x2 ;由 f '( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c 及 l1 // l2 可得: 3ax12 ? 2bx1 ? c ? 3ax2
而 x1 ? x2 ,化简可得: x1 ? x2 ? ? (下面求 xA 和 xD ) 将切线 l1 的方程 y ? y1 ? (3ax12 ? 2bx1 ? c)( x ? x1 ) 代入 y ? f ( x) 中并化简得: (注意切点横坐标是其一解)

2b 2b ,即 x2 ? ? x1 ? ;????????????? 12 分 3a 3a

b b 3 ax3 ? bx 2 ? (3ax12 ? 2bx1 ) x ? 2ax1 ? bx12 ? 0 ,即 a( x ? x1 )2 ( x ? 2 x1 ? ) ? 0 ,∴ xD ? ?2 x1 ? ; a a b b b 2b b 同理, xA ? ?2 x2 ? ? 2 x1 ? ;则 xA ? xB ? x1 ? , xB ? xC ? 2 x1 ? , xC ? xD ? x1 ? ; a 3a 3a 3a 3a ∴ ( xA ? xB ) : ( xB ? xC ) : ( xC ? xD ) ? 1: 2 :1 .■ ?????????????????? 16 分
得最高分者:王宇嘉 9 分;得最低分者:王荣 1 分.

8

附加题与参考答案
21. (本题满分 20 分) B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换)
? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,设曲线 C : xy ? 1 在矩阵 ? ? ? sin ? sin ? ? ? (0 ? ? ? ) 对应的变换作用下得到曲 ? cos ? ? 2

线 F ,且 F 的方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) ,求 ? 和 a 的值.
? cos ? 解析:设 P( x0 , y0 ) 是曲线 C 上任意一点, P( x0 , y0 ) 在矩阵 ? ? ? sin ? sin ? ? 对应的变换下变为: P?( x0? , y0? ) ; cos ? ? ?

? cos ? 则有 ? ? ? sin ?

? sin ? ? ? x0 ? ? x0? ? ? x0? ? x0 cos ? ? y0 sin ? ? ? ? ,∴ ? ;代入到 x 2 ? y 2 ? a 2 中, ? ? ? cos ? ? ? y0 ? ? y ? ? ? ? 0? ? y0? ? ? x0 sin ? ? y0 cos ?

有: ( x0 cos ? ? y0 sin ? )2 ? (? x0 sin ? ? y0 cos ? )2 ? a 2 ,且 x0 y0 ? 1 ;??????????? 5 分
2 2 2 2 ? y0 )(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 4 x0 y0 sin ? cos ? ? a 2 即 ( x0 ? y0 )(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 4sin ? cos ? ? a 2 ; 化简得: ( x0

∴ cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0 且 a 2 ? 4sin ? cos ? ,而 ? ? [0, ∴? ?

?
2

), a ? 0;

?
4

, a ? 2 .■?????????????????????????????? 10 分

被扣分者:陈子慧 ?5 、徐亚敏 ?10 、王 倩 ?5 、翟逸笑 ?5 、潘倩玉 ?5 、孙 琴 ?10 、刘晓宇 ?5 、季小淇 ?10 、田景明 ?5 、 许黄蓉 ?10 、张慧雯 ?10 、徐智雅 ?10 、蒋沛清 ?10 、黄河清 ?5 、徐雨桐 ?5 、贾 幼 ?5 、武朝钦 ?5 、曹伟 ?10 、 陈 胜 ?10 、王睿泽 ?5 、贺文杰 ?5 、卫世杰 ?10 .共 22 人. (要订正 5 条) C. (本小题满分 10 分,极坐标系与参数方程)
?x ? t ? 5 ? x ? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ;圆 C 的参数方程是 ? ? y ? ?4 ? t ? y ? sin ?

( ? 为参数) ,与直线 l 交于两个不同的点 A 、B ,点 P 在圆 C 上运动,求 ?PAB 面积的最大值. 解析:直线 l 的普通方程是: x ? y ? 1 ? 0 ,圆 C 的普通方程: x 2 ? y 2 ? 1 ; 它们的交点分别为 A(1, 0) 、 B(0, 1) ;?????????????????????? 5 分 设点 P(cos ? , sin ? ) (0 ? ? ? 2? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

d?

cos ? ? sin ? ? 1 2

?

2 sin(? ? ) ? 1 2 ?1 5? 4 ,当 ? ? 时, d 取最大值 ; 4 2 2

?

而 AB ? 2 ,∴当 P 为 (?

2 2 2 ?1 .■???????? 10 分 , ? ) 时, S?PAB 取最大值 2 2 2

9

22. (本题满分 10 分) 如图, PA ? 平面 ABCD , AD // BC , ?ABC ? 90? , AB ? BC ? PA ? 1, AD ? 3 , E 是 PB 的中点; (1)求证: AE ? 平面 PBC ; (2)求二面角 B ? PC ? D 的余弦值.
z

P

P

E D A
B

E D A y

B

C

x

C

??? ? ???? ??? ? 解析: (1)分别以 AB、 AD、 AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴;建立如图所示的平面直角坐标系;

1 1 则 A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D(0, 3, 0) , P(0, 0, 1) , E ( , 0, ) ; 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 ∴ AE ? ( , 0, ) , BC ? (0, 1, 0) , BP ? (?1, 0, 1) ; 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∵ AE ? BC ? 0 , AE ? BP ? 0 ;∴ AE ? BC , AE ? BP 即 AE ? BC , AE ? BP ;
而 BC、BP ? 平面 PBC ,且 BC ? BP ? B ; ∴ AE ? 平面 PBC .?????????????????????????? 4 分 ? ??? ? ??? ? (2)设平面的法向量为: n ? ( x, y, z ) ,而 CD ? (?1, 2, 0) , PD ? (0, 3, ? 1) ; ? ??? ? ? ? ?n ? CD ? 0 ?? x ? 2 y ? 0 ? x ? 2 y 则由 ? ? ??? ;取 y ? 1 ,则 x ? 2 , z ? 3 即 n ? (2, 1, 3) ; ?? ?? ? ?z ? 3y ? ?n ? PD ? 0 ?3 y ? z ? 0

??? ? 1 ??? ? 1 又由(1) AE ? 平面 PBC ,∴ AE 是平面 PBC 的法向量,而 AE ? ( , 0, ) ; 2 2
3 ??? ? ? 1? 0 ? ??? ? ? ??? ? ? AE ? n 2 ? 5 7 ,即 AE 与 n 的夹角的余弦值为 5 7 ; ∴ cos ? AE, n ?? ??? ? ? ? 14 14 1 AE ? n 14 ? 2
故由图形可知:二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ? 得满分者:共 28 人. 被扣分者:洪宇晨 ?5 、杭 慧 ?5 、石金鹏 ?5 、翟逸笑 ?5 、张楷文 ?5 、刘正宇 ?5 、李慧敏 ?5 、郭大为 ?5 、刘晓宇 ?5 、 焦晓佳 ?5 ;共 10 人.

5 7 .■ ???????? 10 分 14

10

23. (本题满分 10 分) 设正整数 m、n 满足 1 ? n ? m , F1 , F2 , F3 ,?, Fk 为集合 {1, 2, 3, ??? , m} 的 n 元子集,且 1 ? i ? j ? k ; (1)若 ?a, b ? Fk ,满足 a ? b ? 1 ;
(i) 求证: n ?

m ?1 ; (ii ) 求满足条件的集合 Fk 的个数; 2
m( m ? 1) . n( n ? 1)

(2)若 Fi ? Fj 中至多有一个元素,求证: k ?

解析: (1) (i) 本小题关键:写明白 题设条件,用好题设条件. ... 设 Fk ? {a1 , a2 , a3 , ??? , an } ,其中 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? m , ∵ a、b 是正整数,∴ a ? b ? 1 ? a ? b ? 2 ; 则有: a2 ? a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 , a4 ? a3 ? 2 ,?, an ? an ?1 ? 2 ; 累加上述各式得: m ? 1 ? an ? a1 ? 2(n ? 1) ,即 n ?
(ii ) 本小题关键:读懂 题设条件,用好等价转化. ..

m ?1 .?????????? 3 分 2

由题设可知: “任意两个元素之差的绝对值大于 1” ? “子集中没有数值相邻的元素” ; 于是原题转化为: “从 m 个元素中,任取 n 个元素,其中任意两个元素都不是相邻整数, 有多少种取法?” 下面采用“插空重组法”求出 Fk 的个数.具体操作是:S1 插空 S2 重新编号. 第一步:先取出 n 个元素,后将剩下的 m ? n 个元素排成一列,各元素之间,包括两端,一共 有 m ? n ?1空档,再将 n 个元素放回这 m ? n ?1空档中. 第二步:记着放回的元素,它们都不相邻,重新进行编号;回放的元素相当于取的新号元素. 计 数:上述不同的放法,对应不同的一组新号,这些新号一定不相邻;这种放回的种数就是
n 所求的 Fk 的个数;由排列组合知识可得:共有 Cm ? n ?1 个.

n 故满足条件的 Fk 的个数是 Cm ? n ?1 .???????????????????? 6 分

(2)本小题关键:读懂 题设条件,用好反证法. .. 由题设知:集合 Fi (i ? 1, 2, 3, ??? , k ) 是 n 元子集, Fi ? Fj (1 ? i ? j ? k ) 没有相同的二元子集; 否则与“至多有一个元素”矛盾;
2 而每一个 Fi 的二元子集的个数为 Cn ,其中 i ? 1, 2, 3, ??? , k ,

则所有的 Fi 的二元子集的个数不超过 kCn2 ,
2 又对于全集 {1, 2, 3, ??? , m} 来说,所有的二元子集的个数是 Cm ,
2 2 ? Cm ?k? 故 kCn 2 Cm m(m ? 1) ?k? .■ ????????????????? 10 分 2 n(n ? 1) Cn

得 2 分者:王宇嘉、王亚丽、杭 慧、潘倩玉;共 4 人. 得 1 分者:季小淇、王小雨、陆冰冰、陈 胜、李慧敏、徐亚敏、曹 伟、卢稷楠、吴 桐、贺文杰、窦慧星、徐雨桐;共 12 人.

11


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