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2015-2016学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1命题课时作业 新人教A版选修2-1


课时作业(一)

命题

A 组 基础巩固 1.下列语句中,命题的个数是( ) ①空集是任何集合的真子集; ②请起立; ③单位向量的模为 1; ④你是高二的学生吗? A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①③是命题;②是祈使句,不是命题;④是疑问句,不是命题. 答案:C 2.下列命题为假命题的是( ) A.log24=2 π B.直线 x=

0 的倾斜角是 2 C.若|a|=|b|,则 a=b D.若直线 a⊥平面 α ,直线 a⊥平面 β ,则 α ∥β 解析:由|a|=|b|只是得到 a 与 b 的模相等,但方向不确定,∴a 与 b 不一定相等. 答案:C 3.下列命题是真命题的是( ) A.若 3∈B,3∈A,则 A∩B={3} B.若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数 1 1 C.若 a>b,则 <

a b

D.若 a·b=b·c,则 a=c 解析:由 f(x)=log2x,得 f(|x|)=log2|x|,易判断该函数是偶函数,则 B 为真命题. 答案:B 4.下列命题中假命题是( ) A.若 log2x<2,则 0<x<4 B.若 a·b=0,则 a 与 b 的夹角为 90° C.已知非零数列{an}满足 an+1-2an=0,则该数列为等比数列 D.点(π ,0)是函数 y=sinx 图象上一点 解析:B 中当 a=0,b≠0 时,a 与 b 的夹角是任意的,所以 B 是假命题. 答案:B 5.下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 解析:若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交, 选项 A 错; 如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个 点的平面与这个平面相交,选项 B 不正确;

如图, 平面 α ∩β =b, a∥α , a∥β , 过直线 a 作平面 ε ∩α =c, 过直线 a 作平面 γ ∩β =d, ∵a∥α ,∴a∥c,∵a∥β ,∴a∥d,∴d∥c,∵c? α ,d?α ,∴d∥α , 又∵d? β ,∴d∥b,∴a∥b,选项 C 正确;
-1-

若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项 D 不正确. 答案:C 6.给定下列命题: a b ①若 a>b,则 2 >2 ;②命题“若 a,b 是无理数,则 a+b 是无理数”是真命题;③命 题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”; → → π ④直线 x= 是函数 y=sinx 的一条对称轴;⑤在△ABC 中,若AB·BC>0,则△ABC 是钝角三 2 角形. 其中为真命题的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:①是真命题;②当 a= 2,b=- 2时,a+b=0 为有理数,故②为假命题;③中 结论应为“这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”,故③为假命题;④是真命题; → → → → ⑤AB·BC=|AB||BC|cos(π -B)>0,∴cosB<0,∴B 为钝角,故⑤为真命题. 答案:B 7 . 把 命 题 “ 函 数 f(x) = sinx 是 奇 函 数 ” 改 写 成 “ 若 p , 则 q” 的 形 式 是 ________________________________. 答案:若一个函数是 f(x)=sinx,则该函数是奇函数 8.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:若函数 f(x)=3+log2x 的图象与 g(x)的图象关于__________对称,则函数 g(x)=________.(注:填上你认为可以成为真命题 的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形) 答案:x 轴 -3-log2x; 或 y 轴 3+log2(-x); 或(0,0) -3-log2(-x).(任选一种均可) 9.下列命题: ①若数列{an}是等比数列,则 a2·a4>0; π ②当 x= 时,有 sinx>cosx; 3 1 ③若 <1,则 x>1;

x

④若 a=(0,1),b=(0,-1),则 a 与 b 的夹角为 0°; 2 ⑤函数 y=log2x 在(1,+∞)上单调递增. 其中为真命题的是__________.(填序号) 1 解析:易知①②⑤为真命题;③中 <1,解得 x<0 或 x>1,故③为假命题;④a 与 b 反

x

向,从而 a 与 b 的夹角为 180°,故④为假命题. 答案:①②⑤ 10.把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假. (1)当 ac>bc 时,a>b; 1 2 (2)当 m> 时,mx -x+1=0 无实根; 4 (3)当 ab=0 时,a=0 或 b=0. 解:(1)若 ac>bc,则 a>b. ∵ac>bc,c<0 时,a<b,∴是假命题. 1 2 (2)若 m> ,则 mx -x+1=0 无实根. 4 ∵Δ =1-4m<0,∴是真命题. (3)若 ab=0,则 a=0 或 b=0.真命题. B 组 能力提升 11.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(a·b)c=(c·a)b;②|a|
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-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b 不与 c 垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a| -4|b| , 是真命题的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:①错,数量积不满足结合律;②对,由向量减法的三角形法则可知有|a|-|b|< |a-b|;③[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0.∴③错;④对. 答案:D 12.已知不等式 x+3≥0 的解集是 A,则使得 a∈A 是假命题的 a 的取值范围是( ) A.a≥-3 B.a>-3 C.a≤-3 D.a<-3 解析:∵x+3≥0,∴A={x|x≥-3}. 又∵a∈A 是假命题,即 a?A,∴a<-3. 答案:D 13.已知 A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数 a,使得利用 A,B 构造的命题“若 p,则 q”为真命题. 1+a 解:若视 A 为 p,则命题“若 p,则 q”为“若 x> ,则 x>1”,由命题为真命题可 5 1+a 知 ≥1,解得 a≥4; 5 1+a 1+a 若视 B 为 p,则命题“若 p,则 q”为“若 x>1, 则 x> ”, 由命题为真命题可知 5 5 ≤1,解得 a≤4. 故 a 取任一实数均可利用 A,B 构造出一个真命题,比如这里取 a=1,则有真命题“若 x 2 >1,则 x> ”. 5 2 14.若命题 p:sinx+cosx>m,命题 q:x +mx+1>0,对任意的 x∈R,p 和 q 都是真命题, 求实数 m 的取值范围. 解:由题意知 sinx+cosx>m,x∈R 恒成立, ? π? 即 2sin?x+ ?>m,x∈R 恒成立,∴m<- 2. 4? ? 2 又由 x +mx+1>0,x∈R 恒成立, 2 得 Δ =m -4<0,即-2<m<2,综上可得,-2<m<- 2. x-1 15.(1)已知 p: ≤0,求 p 为真命题时 x 的取值范围; x+2 2 (2)q:y=ax -2x+1 在[1,+∞)上为减函数,求 q 为真命题时,a 的取值范围. 解析: ? ??x+2??x-1?≤0, x-1 (1)由 ≤0,得? 即-2<x≤1. x+2 ?x+2≠0, ? ∴p 为真命题时,x 的取值范围是(-2,1]. (2)当 a=0 时,y=-2x+1 满足在[1,+∞)上为减函数; 1 ? ? ≤1, 当 a≠0 时,由已知可得?a ? ?a<0, 可得 a<0.

2

2

∴q 为真命题时,a 的取值范围是 a≤0.

-3-


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