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人教版高中数学必修四平面向量单元测试题(三套)


(数学 4 必修)第二章 [基础训练 A 组] 一、选择题
1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( A. AB A. a0 ? b0 C. | a0 | ? | b0 |? 2 3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 , (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 B. DA C.

BC ) D. 0

平面向量

2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( B. a ? b ? 1 0 0 D. | a0 ? b0 |? 2



(3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 (4)若 a 与 b 平行,则 a b ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 4.下列命题中正确的是( D. 3 ) )

A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 a?b=0,则 a∥b C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3 )

6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( A. 4 2 ,0 ) C. 16, 0 D. 4,0

B. 4, 4 2

二、填空题
1.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则

1 AB =_________ 3

2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?
0



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。

5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。 三、解答题 1.如图, ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b , 试以 a , b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG .

?

?

?

?

D

F G E B

C

A

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。

3.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1,3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

(数学 4 必修)第二章 一、选择题
1.下列命题中正确的是( A. OA ? OB ? AB C. 0 ? AB ? 0 )

平面向量

[综合训练 B 组]

B. AB ? BA ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD

2.设点 A(2, 0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP , 则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) ) B. (1, ?1) D.无数多个
o

3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

)

4.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于 A. ?2 B. 2 C.

1 2

D. ?

1 2


5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( A.

? 6
3 2

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

6.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( A. 30
0

1 3

?



B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

二、填空题
1.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?
? ? ? ?



2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 3. 若 a ?1, b ? 2 , 若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) , 则 m 的值为 a 与 b 的夹角为 60 ,
0



4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。 5.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。
? ? ? ?

三、解答题
1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量 a, b , c , d ,满足 d ? (a c )b ? (a b )c ,求证: a ? d

4.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;

(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).

?

?

?

?

(数学 4 必修)第二章 [提高训练 C 组]
一、选择题

平面向量

1.若三点 A(2,3), B(3, a), C (4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0

) D. a ? 2b ? 0

C. 2a ? b ? 3

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos? , sin ? ? ,

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P 1P 2 长度的最大值是(
A. 2 B. 3 C. 3 2 3.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等 D. 2 3



B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量( C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 4.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (
0





A. 7

B. 10

C. 13

D. 4

5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
) D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

6.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

二、填空题
1.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 .

2.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |? 。

5.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a b ? 5 ,则向量 b ? ______。

三、解答题

1.已知 a, b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假.

(1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c

(2) 向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? ( ? 是 a 与 b 的夹角) , 方向与 a 在 b 相同或相反的一个向量.

2.证明:对于任意的 a, b, c, d ? R ,恒有不等式 (ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )

3.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。

4. 如图, 在直角△ABC 中, 已知 BC ? a , 若长为 2 a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 问 PQ 与BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

数学 4(必修)第二章
一、选择题 1.D

平面向量

[基础训练 A 组]

AD ? BD ? AB ? AD ? DB ? AB ? AB ? AB ? 0

2.C 因为是单位向量, | a0 |? 1,| b0 |? 1 3.C (1)是对的; (2)仅得 a ? b ; (3) (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ? b ? a ? b ? 0
2 2 2 2

(4)平行时分 0 和 180 两种, a b ? a ? b cos ? ? ? a ? b
0 0

4.D 若 AB ? DC ,则 A, B, C , D 四点构成平行四边形; a ? b ? a ? b 若 a // b ,则 a 在 b 上的投影为 a 或 ? a ,平行时分 0 和 180 两种
0 0

a ? b ? a b ? 0,(a b )2 ? 0
5.C 6.D

3x ? 1? (?3) ? 0, x ? 1
2a ? b ? (2 cos ? ? 3, 2sin ? ? 1),| 2a ? b |? (2 cos ? ? 3) 2 ? (2sin ? ? 1) 2

? 8 ? 4 s i? n ? 4 3c ?o s ?
二、填空题 1. (?3, ?2) 2. ( , ? )

?8

8 ? s i?n ,最大值为 ( ) 4 ,最小值为 0 3

?

A B? O B ? OA ? ( ? 9, ? 6)
a ? 5 , c o? s a b ,??
1 4 3 b ? a ? ( ,? ) ? a1b , 方向相同, , 5 5 5 a b

4 5

3 5

ab

3. 7 4.圆 5. ?

a? b ? ( a? b )2

?

2

a ? 2 a b? 2 b ? 9

1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2

4 ?

?7

以共同的始点为圆心,以单位 1 为半径的圆

4 5

4 a ? tb ? (a ? tb )2 ? a 2 ? 2tab ? t 2b 2 ? 5t 2 ? 8t ? 5 ,当 t ? ? 时即可 5

三、解答题 1.解: DE ? AE ? AD ? AB ? BE ? AD ? a ?

1 1 b ?b ? a ? b 2 2 1 1 BF ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ? b ? a ? a ? b ? a 2 2 1 1 1 G 是△ CBD 的重心, CG ? CA ? ? AC ? ? (a ? b ) 3 3 3

2.解: (a ? 2b) (a ? 3b) ? a 2 ? a b ? 6b 2 ? ?72

a ? a b cos 600 ? 6 b ? ?72, a ? 2 a ? 24 ? 0,

2

2

2

( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4
3.解:设 A( x, y ) ,

AO ? ?3 ,得 AO ? ?3OB ,即 (? x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3 OB
2 0b c o s ?? ,

, B? 得 A( 6 ? , 3, ) A B ? ( ?4 , 2 ) A
4.解: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

b AB AB

?

5 10

a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b ) (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

数学 4(必修)
一、选择题

第二章

平面向量

[综合训练 B 组]

1.D 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, OA ? OB ? BA ;

AB, BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量, AB ? BA ? 0
2.C 设 P( x, y ) ,由 AB ? 2 AP 得 AB ? 2 AP ,或 AB ? ?2 AP ,

AB ? (2, 2), AP ? ( x ? 2, y) ,即 (2, 2) ? 2( x ? 2, y), x ? 3, y ? 1, P(3,1) ;
(2, 2) ? ?2( x ? 2, y), x ? 1, y ? ?1, P(1, ?1)
3.A 4.D 设 b ? ka ? (k , ?2k ), k ? 0 ,而 | b |? 3 5 ,则 5k 2 ? 3 5, k ? ?3, b ? (?3,6)

m a? b?( 2 m , 3 m) ? ? ( 1, 2 ?) m (2 ?

m 1,? 3

2)
1 2

a ? 2b ? (2,3) ? (?2, 4) ? (4, ?1) ,则 ?2m ? 1 ? 12m ? 8, m ? ?

5.B

1 2 a 1 a 2 ? 2a b ? 0, b 2 ? 2a b ? 0, a 2 ? b 2 , a ? b ,cos ? ? ?2 2 ? 2 a b a ab
3 1 ? ? sin ? cos ? ,sin 2? ? 1, 2? ? 900 , ? ? 450 2 3
0

6.D

二、填空题 1. 120

a b (a ? b ) a ? 0 , 2 a ? a b? 0 , c ?o s? a b
? 设c ? xa
?

2 ? a ? a b

1 ? ,? 或画图来做 2
y2 x , ?2 y ? 3 ) ( 4 , 1)

2. (2, ?1)

y ,则 b ( x , 2x ? ) ? ( y 2 ,y3? ) x? (

x ? 2 y ? 4 , 2x ? 3y ? 1 x , ? 2y ,? ? 1
3.

23 8

(3 a? 5 b )(ma ? b) ? 3ma 2 ? (5m ? 3)a b ? 5b 2 ? 0
3m ? ( 5 m? 3 ? ) 2 ? c o0s 6? 0 ? 5 ?4 m 0 ,? 8 23
C ?D 2 ? AD

4. 2 5.

A B? C B ? CD ?

A? B

B? C

C? D

A ?C

65 5

a cos ? ?

ab b

?

13 65

三、解答题 1.解:设 c ? ( x, y) ,则 cos ? a, c ?? cos ? b , c ?,

? 2 ? x ? ? ?x ? ? ? x ? 2 y ? 2x ? y ? 2 或? 得? 2 ,即 ? ? 2 ?x ? y ? 1 ?y ? 2 ?y ? ? ? ? ? ? 2
c ?( 2 2 2 2 , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2

2 2 2 2

2.证明:记 AB ? a, AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,

AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2
? AC ? DB ? 2 a ? 2 b
3.证明:
2 2 2 2

2

2

a d ? a [(a c )b ? (a b )c ] ? (a c )(a b ) ? (a b )c a
? (a c )(a b ) ? (a c )(a b ) ? 0

?a ? d
4.(1)证明:

(a ? b ) (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? 0
? a ? b 与 a ? b 互相垂直

(2) k a ? b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ;
?

?

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? )

?

k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
?

?

a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?

?
2

数学 4(必修)
一、选择题 1.C

第二章

平面向量

[提高训练 C 组]

AB ? (1, a ? 3), AC ? (2, b ? 3), AB // AC ? b ? 3 ? 2a ? 6,2a ? b ? 3

2.C

PP 1 2 ? (2 ? sin ? ? cos? , 2 ? cos? ? sin ? ),
PP 2(2 ? cos ? )2 ? 2sin 2 ? ? 10 ? 8cos ? ? 18 ? 3 2 1 2 ?

3.C

单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当 b ? 0 时, a 与 c 可以为任意向量;

| a ? b | ?| a ? b | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
4.C 5.C

a ? 3b ? a 2 ? 6a b ? 9b 2 ? 1 ? 6cos 600 ? 9 ? 13
cos ? ? ab a b ? 2 1 ? ? ,? ? 4 2 3

6.D 设 b ? ka ? (2k , k ), ,而 | b |? 2 5 ,则 5k 2 ? 2 5, k ? ?, b ? (4, 2), 或(?4, ?2) 二、填空题 1. 4

2a ? b ? ( 2 c o ?s ?

?

3, 2 ?s ?i n

a ? 1 ) ,b ? 2

?

?

8 ?? 8 s ? in( ? ) 3

?

16

4

2.直角三角形

A B? ( 1, 1)A ,C ? ?( 3 , 3 A)B , AC ?

0 A? ,B

AC

3. (

2 2 2 2 , ), 或(? ,? ) 2 2 2 2
设所求的向量为 ( x, y), 2 x ? 2 y ? 0, x ? y ? 1, x ? y ? ?
2 2

2 2

4.

6
2

由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
2 2 2 2 2 2 2

a ? b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 ? 2? 4 ? 4 ? 6
5. ( , ? ) 三、解答题 1.解: (1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c ,这是一个假命题

4 5

3 5

设 b ? ( x, y ), 4 x ? 3 y ? 5, x ? y ? 1, x ?
2 2

4 3 ,y?? 5 5

因为 a ? b ? a ? c , a ? (b ? c ) ? 0 ,仅得 a ? (b ? c )

(2) 向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? ( ? 是 a 与 b 的夹角) , 方向与 a 在 b 相同或相反的一个向量.这是一个假命题

因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量,而非向量。

2.证明:设 x ? (a, b), y ? (c, d ) ,则 x y ? ac ? bd , x ? 而 x y ? x y cos ? , x y ? x y cos ? ? x y 即 x y ? x y ,得 ac ? bd ?

a 2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

a 2 ? b2 c 2 ? d 2

?(ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )
3.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) 得 a b ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

[a ? (t 2 ? 3)b ] (?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta b ? k (t 2 ? 3)a b ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? 1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4

4. 解:

AB ? AC,? AB ? AC ? 0.

AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC , ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ?a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ?a 2 ? AP ? ( AB ? AC) 1 ? ?a 2 ? PQ ? BC 2 1 ? ?a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ?a ? a 2 cos? .

故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同 )时, BP ? CQ最大.其最大值为 0.


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