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基本不等式(2导学案)


必修 5

3.4

基本不等式(学案)

(第 2 课时) 导学案制作人:马啸 学生班级:姓名:所在层: 【学习目标】 1. 掌握基本不等式成立的条件;2. 会应用基本不等式求最值;3.掌握基本不等式在实际中的应用. 【复习导入】设 a,b 是两个正实数,用 min(a,b)表示 a,b 中的较小的数,用 max(a,

b)表示 a,b

中的较大的数,则有 min(a,b)≤ 1 2 +

a +b ≤ ab≤ ≤ 1 2

a2+b2
2

≤max(a,b).

a b
当且仅当 a=b 时,取到等号;另外:ab≤(

a+b
2

)2

应用基本不等式的三大条件:一正、二定、三相等
【新知导学】 (根据以下提纲,预习教材第 90 页~第 93 页) 1. a ? b ? 2 ab 可化为 ( a ? 0, b ? 0 ) ;

使用该不等式求最值时,要注意的前提条件为: (1) a ? 0, b ? 0 ; (2)积或和为定值; (3)当且仅当 a ? b 时, 等号成立, 即记为“” . 2. 基本不等式的功能在于与的互化,便于创造 “定值”这一条件,其应用需要一定的灵活性和变形技巧即拆项或 配项. 【自主小测】 1.函数 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值是,此时 x ? . 2.已知 x ? 1, y ? 1, 且 lg x ? lg y ? 4, 那么 lg x ? lg y 的最大值为. 3.如果 x ? 0 ,那么 y ? 3 ? (3 x ? 1 ) 的最大值为.
x

4.在直径为 d 的圆内接矩形中,最大面积是多少?这样的矩形长宽之比是多少? 【互动探究】 例1

(1) 已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 则 1 ? 1 的取值范围( )
a b

【变式练习】设 a, b 为正数,且 a ? b ? 1 ,求
2

1 1 ? 的最小值. 2a b

例 2 (1)用篱笆围一个面积为 400m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短是篱 笆多少? (2)一段长为 80m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园面积最大,最大面积为多 少?

【变式练习】1.做一个体积为 32m ,高为 2m 的长方形纸盒,底面的长与宽取什么值时用纸最小? 2.一段长为的 30m 篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院,墙长 18m ,问这个矩形的长与宽为多少时,小院的面积 最大,最大面积为多少?

3

例 3 (选用例题)动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各方面用钢筋网围成. (1)现有可围 36m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使虎笼面积最大? (2) 若使每间虎笼面积为 24m , 则每间虎笼的长、 宽各设计为多少时, 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 【变式练习】 某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池,其容积为 4800m ,深为 3m .如果池底每平方米的造价为 150 元,池底 每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 【随堂检测】 1 1.函数 y=log2?x+x-1+5? (x>1)的最小值为(
3
2

?

?

)

2.已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2x+4y 的最小值为( x2+5

)

3.函数 y=

的最小值为( x2+4

)

【课后作业】 1.下列命题中正确的是 ? ?.

? A? 函数 y ? x ? ?C ?

1 的最小值为 2 x
4 x

? B? 函数 y ?

x2 ? 3 x2 ? 3

的最小值为 2

函数 y ? 2 ? 3x ? ( x ? 0) 的最大值为 2 ? 4 3 ? D? 函数 y ? 2 ? 3x ? ( x ? 0) 的最小值为 2 ? 4 3 .

4 x

2. 已知正数 x, y 满足

4 9 ? ? 1, 则 xy 有 ? ?. x y

? A?

最小值 12 ? B? 最大值 12 ?C ? 最小值 144 ? D? 最大值 144 .

3.若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b ,则 ? ? lg a ? lg b ? , R ? lg 2 2

?.

? A? R ? P ? Q ? B? P ? Q ? R ?C ? Q ? P ? R ? D? P ? R ? Q.
4.若实数 x, a1 , a2 , y 成等比数列,且 x, b1 , b2 , y 成等差数列,则

? b1 ? b2 ?
a1a2

2

的取值范围 ?

?.

? A? ?4, ??? ? B? ? ??, ?4? ? ?4, ??? ?C ? ? ??,0? ? ?4, ??? ? D? ? 0, 4? .
5..函数 y ?

x2 ? 2 x ? 2 ( x ? 0) 的最小值是.6.若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围. x ?1
2

b2 ? 1,求 a 1 ? b2 的最大值. 7.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? 2
【拓展提高】已知不等式 ? x ? y ? ? 1 ? a ? ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最大值为 ? ? ? y? ?x

?.

必修 5

3.4

基本不等式(教案)

(第 2 课时) 主备人:马啸 【教学目标】 1.掌握基本不等式成立的条件; 2. 会应用基本不等式求最值; 3. 掌握基本不等式在实际中的应用. 【重点】 1. 掌握基本不等式成立的条件; 2. 会应用基本不等式适当变形求最值; 3.能正确将实际问题转化为数学问题,并应用基本不等式求最值. 【难点】 1. 抓住定值进行变形应用基本不等式求最值; 2. 将实际问题转化为数学问题,并应用基本不等式求最值. 【复习导入】设 a,b 是两个正实数,用 min(a,b)表示 a,b 中的较小的数,用 max(a,b)表示 a,b

中的较大的数,则有 min(a,b)≤ 1 2 +

a +b ≤ ab≤ ≤ 1 2

a2+b2
2

≤max(a,b).

a b
当且仅当 a=b 时,取到等号;另外:ab≤(

a+b
2

)2

【新知导学】 (根据以下提纲,预习教材第 91 页~第 93 页) 1. a ? b ? 2 ab 可化为 ab ? (

a?b 2 ) 2

( a ? 0, b ? 0 ) ;使用该不等式求最值时,要注意的前提条件为: ( 1)

a ? 0, b ? 0 ; (2)积或和为定值; (3)当且仅当 a ? b 时,等号成立, 即记为“一正,二定,三相等” .
2. 基本不等式的功能在于积与和的互化,便于创造 “定值”这一条件,其应用需要一定的灵活性和变形技巧即拆 项或配项. 3.在解决实际问题设自变量时通常把需求最大或最小值的变量为函数;设自变量时要注意便于数学模型的建立. 【自主小测】 1.函数 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值是,此时 x ? 2 . 4 .

2.已知 x ? 1, y ? 1, 且 lg x ? lg y ? 4, 那么 lg x ? lg y 的最大值为 3.如果 x ? 0 ,那么 y ? 3 ? (3 x ? ) 的最大值为 3 ? 2 3 .

1 x

4.(教师专用)某民用企业的一种电子产品,2003 年的产量在 2002 年基础上增长率为 a ;2004 年又在 2003 年的基 础上增长率为 b(a ? 0, b ? 0) ,若这两年的平均增长率为 q ,则 ?C ? .

a?b a?b a?b a?b 的大小关系不确定. B? q ? C? q ? D? q, ? ? ? 2 2 2 2 5.在直径为 d 的圆内接矩形中,最大面积是多少?这样的矩形长宽之比是多少?

? A? q ?

解: 设圆内接矩形长与宽分别为 x, y , 则 x ?y ? d
2 2

2

, 矩形的面积为 s ? xy ?

x2 ? y 2 d 2 ? , 当且仅当 x ? y 时, 2 2

等号成立. 故圆内接矩形最大面积是 【互动探究】 例1

d2 ,此时矩形长宽之比是 1:1. 2

1 1 (1) 已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 则 ? 的取值范围 ? D ? . a b

? A? ? 2, ??? ? B? ?2, ??? ?C ? ? 4, ??? ? D? ?4, ??? .
1 1 1 1 ? 或 ? 的最值,注意“1”的代换. a b 2a b 1 1 a?b a?b a b ? ? 2? ? ? 4. 解: (1)? a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1,? ? ? a b a b b a 1 1 ? ? 的取值范围 ?4, ??? . a b 1 1 【变式练习】1 设 a, b 为正数,且 a ? b ? 1 ,求 ? 的最小值. 2a b
【审题要津】已知条件等式 a ? b ? 1 求 解? a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1,?

1 1 a ?b a ?b 3 a b 3 1 ? ? ? ? ? ? ? ?2 . 2a b 2a b 2 b 2a 2 2

?

1 1 ? 的最小值是 2a b

3 2? . 2
2

【方法总结】通过对条件等式中“1”的代换将要求最值的式子转化为能用基本不等式的类型. 例 2 (1)用篱笆围一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短是 篱笆多少? (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园面积最大,最大面积为 多少? 【审题要津】 (1)中当矩形的面积为定值,矩形的长、宽各为多少时,篱笆的长最短; (2)中当矩形的周长为 定值,矩形的长、宽各为多少时,篱笆的面积最大. 解: (1)设矩形菜园的长为 xm 、宽为 y m ,则 xy=100, 篱笆的长为 2( x ? y )m .

x +y ? xy 得 x ? y ? 2 100,2 ? x ? y ? ? 40. 当且仅当 x ? y 时成立,此时 x ? y=10. 2 故菜园的长为 10m 、宽为 10m 时,所用篱笆最短为 40m.
由 (2)设矩形菜园的长为 xm 、宽为 y m ,则 2( x ? y) ? 36, x ? y ? 18,
2 矩形的面积为 xym . 由 xy ?

x +y 18 ? ? 9, 可得 xy ? 81, 当且仅当 x ? y 时成立,此时 x ? y=9. 2 2
2

故菜园的长为 9m 、宽为 9m 时,所用篱笆的最大面积为 81m . 【方法总结】将实际背景转化数学模型为:已知两正数的和为定值,求积的最最大值;或已知两正数的积为定 值,求和的最小值. 【变式练习】2.做一个体积为 32m ,高为 2m 的长方形纸盒,底面的长与宽取什么值时用纸最小? 解:设长方形底面的长为 xm 、宽为 y m 、用纸量是 z ,则 xy=16,
3

z ? 2xy ? 2 ? 2x ? 2 ? 2 y ? 32 ? 4( x ? y) ? 32 ? 42 xy ? 64 当且仅当 x ? y=4 时成立.
答:当长方形底面的长为 4m 、宽为 4m 时,用纸量最小. 3.一段长为的 30m 篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院,墙长 18m ,问这个矩形的长与宽为多少时,小院的面积 最大,最大面积为多少? 解:设矩形的长为 xm 、宽为 y m ,小院的面积为 sm2 , 则 x+2y=30,s=xy.

1 1 1 900 225 2 ? s=xy = x ? 2 y ? ? x ? 2 y ? = ? = . 2 2 2 4 2 15 225 . 当 x ? 2 y, 即 x ? 15, y ? 时,小院的面积最大,最大面积为 2 2 例 3 (备选例题)动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各方面用钢筋网围成. (1)现有可围 36m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使虎笼面积最大?
(2) 若使每间虎笼面积为 24m , 则每间虎笼的长、 宽各设计为多少时, 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 【审题要律】设每间虎笼长 xm ,宽 y m ,则(1)是已知 4 x ? 6 y ? 36 ,求 xy 的最大值; (2)是已知 xy =24, 求 4 x ? 6 y 的最小值;易于应用基本不等式解决. 解:设每间虎笼长 xm ,宽 y m ,则由条件得 4 x ? 6 y ? 36 ,即 2 x ? 3 y ? 18. 设每间虎笼面积为 s ,则 s ? xy . 解法 1.由于 2x ? 3 y ? 2 2x ? 3 y ? 2 6 x ? y , ?2 6 x ? y ? 18, 得 xy ? 由?
2

27 27 , 即 s ? , 当且仅当 2 x ? 3 y 时,等号成立. 2 2

?2 x ? 3 y ? 18 ? x ? 4.5, 故每间虎笼长 4.5m ,宽 3m. ,得 ? ?2 x ? 3 y ? y ? 3.
3 y. 2
2

解法 2.由 2 x ? 3 y ? 18 得 x ? 9 ?

3 ? 3 3 ? 6 ? y ? y ? 27 ? ? x ? 0,?0 ? y ? 6,6 ? y ? 0. ? s ? xy ? ? 9 ? y ? y ? ? 6 ? y ? y ? ? ? ? ? . 2 ? 2 2 ? 2 2 ? ?
当且仅当 6 ? y ? y 时,等号成立,即 ?

? x ? 4.5, 时等号成立. ? y ? 3.

(2)由条件知 s ? xy ? 24. 设钢筋网总长为 l ,则 l ? 4 x ? 6 y. 解法 1.?2x ? 3y ? 2 2x ? 3 y ? 2 6 xy ? 24, ?l ? 4 x ? 6 y ? 48, 当且仅当 2 x ? 3 y 时,等号成立.

由?

?2 x ? 3 y ?x ? 6 解得 ? . 故每间虎笼长 6m ,宽 4m 时,可使钢筋网总长最小. ? xy ? 24 ?y ? 4

解法 2.由 xy ? 24, 得 x ?

24 96 16 16 . ?l ? 4 x ? 6 y ? ? 6 y ? 6( ? y) ? 6 ? 2 ? y ? 48. y y y y

当且仅当

16 ? y 时,即 y ? 4 时,等号成立,此时 x ? 6 . y

答: (1)每间虎笼长 4.5m ,宽 3m 时,面积最大; (2)每间虎笼长 6m ,宽 4m 时,可使钢筋网总长最小. 【变式练习】3.某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池,其容积为 4800m ,深为 3m .如果池底每平方米的造价 为 150 元,池底每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 【审题要津】由题意知水池呈长方形,高为 3m ,底面的长与宽不确定,要确定水池总造价最低,只需确定水 池的长与宽的即可. 解:设底面的长为 xm 、宽为 y m ,水池总造价是 z , 则根据题意得: z ? 150 ?
3

4800 ? 120 ? 2 ? 3 x ? 2 ? 3 y ? ? 240000 ? 720( x ? y). 3

? 容积为 4800m3 ,?3xy ? 4800, 即 xy ? 1600.

?240000 ? 720( x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy , 即 z ? 240000 ? 720 ? 2 1600.
? z ? 297600. 当 x ? y ? 40 时,等号成立.

所以,将水池的底面设计成边长为 40m 的正方形时总造价最低,总造价为 297600 元.
【方法总结】本题将实际背景转化数学模型为:已知两正数的积为定值,求和的最小值;注意总造价的表示是 建立数学模型的关键. 【随堂检测】 1 1.函数 y=log2?x+x-1+5? (x>1)的最小值为(

?

?

)

2.已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2x+4y 的最小值为( x2+5

)

3.函数 y=

的最小值为( x2+4

)

【课后作业】 1.下列命题中正确的是 ? ?.

? A? ?C ?

函数 y ? x ?

1 的最小值为 2 x
4 x

? B? 函数 y ?

x2 ? 3 x2 ? 3

的最小值为 2

函数 y ? 2 ? 3x ? ( x ? 0) 的最大值为 2 ? 4 3 ? D? 函数 y ? 2 ? 3x ? ( x ? 0) 的最小值为 2 ? 4 3 .

4 x

2. 已知正数 x, y 满足

4 9 ? ? 1, 则 xy 有(C) x y

? A?

最小值 12 ? B? 最大值 12 ?C ? 最小值 144 ? D? 最大值 144 .

3.若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b ,则 ? ? lg a ? lg b ? , R ? lg 2 2

?.

? A? R ? P ? Q ? B? P ? Q ? R ?C ? Q ? P ? R ? D? P ? R ? Q.
4.若实数 x, a1 , a2 , y 成等比数列,且 x, b1 , b2 , y 成等差数列,则

? b1 ? b2 ?
a1a2

2

的取值范围(C)

? A? ?4, ??? ? B? ? ??, ?4? ? ?4, ??? ?C ? ? ??,0? ? ?4, ??? ? D? ? 0, 4? .
5..函数 y ?

x2 ? 2 x ? 2 ( x ? 0) 的最小值是.6.若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围. x ?1
2

8.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ?

b2 ? 1,求 a 1 ? b2 的最大值. 2
?x y?

【拓展提高】已知不等式 ? x ? y ? ? 1 ? a ? ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最大值为 ? ? ?

?.


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