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高二淮安市洪泽中学2012-2013学年高二下学期期初数学试题


2012-2013 学年江苏省淮安市洪泽中学 高二(下)期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题 1. 分)过平面 α 的一条平行线可作 一个 个平面与平面 α 垂直. (3 考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 常规题型;规律型. 分析: 在已知直线上取一点作出平面的垂线,即可得到平面的垂面. 解答: 解:因为直线与已知平面垂直,所以在一个已知直线

上取一点作出平面的垂线, 因为两条相交直线只能确定一个平面,所以与已知平面垂直的平面有且只有一个. 故答案为:一个. 点评: 本题考查直线与平面垂直,平面与平面垂直关系的应用,基本知识的考查. 2. 分)已知样本数据 x1,x2,…xn 的方差为 4,则数据 2x1+3,2x2+3,…2xn+3 的标准差 (3 是 4 . 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 首先设原数据的平均数为 ,则新数据的平均数为 2 +3,然后利用方差的公式计算 得出答案,求出标准差即可. 解答: 解:设原数据的平均数为 ,则新数据的平均数为 2 +3, 则其方差为 [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ]=4, ﹣3) +(2x2+3﹣2
2 2 2 2

则新数据的方差为: [(2x1+3﹣2 3) ]
2

﹣3) +…+(2xn+3﹣2

2



=4× [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ] =16. 故数据 2x1+3,2x2+3,…2xn+3 的标准差是:4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减 这个数,方差不变,即数据的波动情况不变;当数据都乘以一个数(或除以一个数) 时,平均数也乘以或除以这个数,方差变为这个数的平方倍.

2

2

2

3. 分)已知单位向量 , 的夹角为 (3

,那么|

|=



1

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题. 分析: 先将所求向量的模平方,转化为向量数量积运算,再利用已知两向量的模和夹角,利 用数量积运算性质计算即可,最后别忘了开平方 解答: 解:∵单位向量 , 的夹角为 , ∴| |=
2

﹣4 +4

+4

=1﹣4×1×1×cos =1﹣2+4=3 ∴| |=

故答案为 点评: 本题主要考查了单位向量、向量夹角的概念,向量数量积运算及其性质的应用,求向 量的模的一般方法 4. 分)在一个球内有一个内接长方体(长方体的各顶点均在球面上) (3 ,该长方体的长、 宽、高分别为 4、 、 ,则这个球的表面积为 36π . 考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 长方体的对角线的长度,就是外接球的直径,求出直径即可求出表面积. 解答: 解:长方体的对角线的长度,就是外接球的直径,所以 2r=
2

=6,

所以这个球的表面积:4πr =36π. 故答案为:36π 点评: 本题是基础题,考查长方体的外接球的应用,球的表面积的求法,考查计算能力.
*

5. 分) (3 (2011?广东模拟)已知函数 f(x)=

+

(a∈N ) ,对定义域内任意 x1,

x2,满足|f(x1)﹣f(x2)|<1,则正整数 a 的取值个数是 5 . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题. 分析: 对定义域内任意 x1,x2,满足|f(x1)﹣f(x2)|<1,即表明 f(x)的最大值与最小 值的差小于 1. (也就是值域区间的长度小于 1) ,求其最大最小值即可. 解答: 解:∵a﹣x≥0,x≥0,∴0≤x≤a,∴定义域为[0,a] 对定义域内任意 x1,x2,满足|f(x1)﹣f(x2)|<1,即表明 f(x)的最大值与最小 值的差小于 1. (也就是值域区间的长度小于 1) ,求其最大最小值即可 ∵f(x)= + ≥0

2

∴[f(x)] =a+2 又 x(a﹣x)≤[
2

2

≥a,当 x=0 或 a 时,f(x)取最小值 ]=
2

,当 x=a﹣x 即 x= 时取等号 ,当 x= 时取最大值

即[f(x)] ≤a+a=2a,f(x)≤ ∴( ∴ ﹣1) < <1 =1+

∴a<3+2 * ∵a∈N , ∴a=1、2、3、4、5 ∴正整数 a 的取值个数是 5 个. 故答案为:5 点评: 本题考查恒成立问题, 考查函数的最值, 解题的关键是转化为值域区间的长度小于 1. 6. 分)一个容量为 20 的样本,已知某组的频率为 0.25,则该组的频数为 5 . (3 考点: 频率分布表. 专题: 概率与统计. 分析: 由样本容量是 20,某组的频率为 0.25,由此直接计算能求出该组的频数. 解答: 解:由题设知该组的频数:20×0.25=5. 故答案为:5. 点评: 本题考查频数的性质和应用,解题时要注意样本容量、频数和频率之间相互关系的灵 活运用.

7. 分)已知实数 x,y 满足条件 (3

,z=x+yi(i 为虚数单位) ,则|z﹣1+2i|的最

小值是



考点: 简单线性规划的应用;复数求模. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先作出不等式组对应的区域,再利用复数的几何意义将|z﹣1+2i|的最小值转化成定点 与区域中的点的距离的最小的问题求解即可. 解答: 解: 如图, 作出 对应的区域, 由于 z=x+yi i 为虚数单位) 所以|z﹣1+2i| ( ,

表示点(x,y)与 (1,﹣2)两点之间的距离,如图知点(x,y)是(1,﹣2)在直线 y=﹣x 上的垂足

3

时,|z﹣1+2i|值最小为 d= 故答案为: .

=



点评: 本题考查一定点与区域中的一动点距离最值的问题,一般是先作图,再由图作判断、 考查数形结合思想,计算能力.

8. 分) (3 (2013?江苏)双曲线

的两条渐近线方程为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线 的渐近线方程. 解答: 解:∵双曲线 的 a=4,b=3,焦点在 x 轴上

而双曲线

的渐近线方程为 y=± x

∴双曲线 故答案为:

的渐近线方程为

点评: 本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解 题时要注意先定位,再定量的解题思想 9. 分)已知点 A(﹣2,﹣3) (3 、B(3,2) ,若直线 l:y=kx+1 与线段 AB 有公共点,则 斜率 k 的取值范围是 .

考点: 直线的一般式方程.
4

专题: 计算题. 分析: 意直线 l:y=kx+1 过定点(0,1) ,作出图象,求出边界直线的斜率,且直线由 m 开 始,逆时针旋转时斜率增大,进而可得要求的范围. 解答: 解:由题意可得直线 l:y=kx+1 过定点(0,1) ,如图 当直线介于 m,n 之间时,满足题意, km= =2,kn= = ,

且直线由 m 开始,逆时针旋转时斜率增大, 故斜率的取值范围为: 故答案为:

点评: 本题考查直线的斜率,数形结合是解决问题的关键,属基础题. 10. 分)如图所示,水平地面上有一个大球,现作如下方法测量球的大小:用一个锐角 (3 为 60°的三角板,斜边紧靠球面,一条直角边紧靠地面,并使三角板与地面垂直,P 为三角 板与球的切点,如果测得 PA=5,则球的表面积为 300π .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 连接 OA, AP 与 AD 为圆 O 的切线, 由 根据切线性质得到∠OPA 与∠ODA 都为直角, 由∠BAC=60°,根据平角定义得到∠PAD 为 120°,再根据切线长定理得到∠OAP 等 于∠PAD 的一半,得出∠OAP=60°,在直角三角形 OAP 中,根据锐角三角函数定义 得出 OP=APtan60°,进而求出 OP 的长,即为半径 R,代入球的表面积公式即可求出. 解答: 解:连接 OA,∵AB 与 AD 都为圆 O 的切线, ∴∠OPA=90°,∠ODA=90°, ∵∠BAC=60°,∴∠PAD=120°, ∵PA、AD 都是⊙O 的切线,
5

∴∠OAP= ∠PAD=60°, 在 Rt△ OPA 中,PA=1cm,tan60°= , cm.

则 OP=APtan60°=5 cm,即⊙O 的半径 R 为 5 2 2 则球的表面积 S=4πR =4π?(5 ) =300π. 故答案为:300π.

点评: 本题考查了球的体积和表面积,圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的 性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形 解决有关问题.

11. 分)若函数 (3

,则 f(f(0) )= 3π ﹣4 .

2

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 根据分段函数的解析式,把 x=0 代入求得 f(0)的值,再把 f(0)当成 x 继续代入 f (x)的解析式,从而求解; 解答: 解:∵函数 ,

∴f(0)=π, 2 2 ∴f(f(0) )=f(π)=3×π ﹣4=3π ﹣4, 2 故答案为 3π ﹣4. 点评: 此题考查分段函数的解析式的性质,不同的定义域对应不同的函数解析式,是一道比 较基础的题.

12. 分)四个函数 y=x , (3 上为减函数的是 y=x ,
﹣1

﹣1

,y=x ,y=x ,y=lnx, . .

2

3

中,在区间(0,+∞)

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数、指数函数、对数函数的性质逐项判断即可找出符合条件的答案.
6

a 解答: 解:对幂函数 y=x ,当 a<0 时在(0,+∞)上为减函数,a>0 时在(0,+∞)上为 增函数

所以 y=x

﹣1

在(0,+∞)上为减函数,
x

,y=x ,y=x 在(0,+∞)上为增函数;

2

3

对指数函数 y=a (a>0,且 a≠1) ,当 a>1 时在 R 上为增函数,当 0<a<1 时在 R 上 为减函数, 所以 在(0,+∞)上为减函数,

对对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1) ,当 a>1 时在(0,+∞)上为增函数,当 0<a <1 时在(0,+∞)上为减函数, 所以 y=lnx(0,+∞)上为增函数, 故答案为:y=x ,
﹣1



点评: 本题考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性,属基础题.

13. 分)函数 y=2 (3

的单调递减区间是 (﹣∞,﹣2) .

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: t 2 t 先把函数 y= 分解为 y=2 与 t=x +4x+1,因为 y=2 单调递增,所以要求函数 y= 的单调递减区间只需求函数 t=x +4x+1 的单调减区间即可. 可看作由 y=2 与 t=x +4x+1 复合而成的.
2 t 2 2

解答: 2 解:令 t=x +4x+1,则函数 y=
2 2

由 t=x +4x+1=(x+2) ﹣3,得函数 t=x +4x+1 的单调减区间是(﹣∞,﹣2) , 又 y=2 单调递增,所以函数 y=
t

的单调递减区间是(﹣∞,﹣2) .

故答案为: (﹣∞,﹣2) . 点评: 本题考查指数函数的单调性、二次函数的单调性以及复合函数单调性的判定方法,该 类问题一要考虑函数定义域,二要遵循“同增异减”的规律. 二、解答题 14. (10 分) 如图在三棱锥 P﹣ABC 中, PA⊥底面 ABC, PA=AB, ∠ABC=60°, ∠BCA=90°, 点 D,E 分别在棱 PB,PC 上,且 DE∥BC, (1)求证:BC⊥平面 PAC (2)当 D 为 PB 中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的余弦值; (3)是否存在点 E,使得二面角 A﹣DE﹣P 为直二面角,并说明理由.

7

考 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法. 点: 专 证明题. 题: 分 (1)欲证 BC⊥平面 PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 BC 与平面 PAC 析: 内两相交直线垂直,而 PA⊥BC,BC⊥AC,满足定理所需条件; (2)建立空间直角坐标系,求出各点坐标,由 DE⊥平面 PAC 可知,∠DAE 即是所求 的二面角的平面角,利用向量的夹角的公式求出此角即可; (3) D 点的 y 轴坐标为 a, 设 DE⊥AE, DE⊥PE, A﹣DE﹣P 为直二面角时, 当 PE⊥AE, 利用垂直,向量的数量积为零建立等式关系,解之即可. 解 解: 答: (1)

?BC⊥平面 PAC

(2)建立空间直角坐标系如图,各点坐标分别为: P(0,0,1) ,B(0,1,0) ,C ∴ ,

由 DE⊥平面 PAC 可知,∠DAE 即是所求的二面角的平面 角.∴ ,

故所求二面角的余弦值为 (3)设 D 点的 y 轴坐标为 a,DE⊥AE,DE⊥PE,当 A﹣DE﹣P 为直二面角时, PE⊥AE

8



,所以符合题意的 E 存在.

点 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及二面角的度量,直二面角的运用,同时考 评: 查了空间想象能力和计算能力,属于中档题. 15. (10 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2 . (Ⅰ)设 bn= .证明:数列{bn}是等差数列;
n

(Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 计算题;证明题. 分析: n (1)由 an+1=2an+2 构造可得

即数列{bn}为等差数列

(2)由(1)可求

=n,从而可得 an=n?2

n﹣1

利用错位相减求数列{an}的和

解答: n n 解:由 an+1=2an+2 .两边同除以 2 得



,即 bn+1﹣bn=1

∴{bn}以 1 为首项,1 为公差的等差数列 (2)由(1)得 ∴an=n?2 0 1 2 n﹣1 Sn=2 +2×2 +3×2 +…+n?2 1 2 n﹣1 n 2Sn=2 +2×2 +…+(n﹣1)?2 +n?2
9
n﹣1

∴﹣Sn=2 +2 +2 +…+2 =

0

1

2

n﹣1

﹣n?2

n

∴Sn=(n﹣1)?2 +1 点评: 本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和, 构造法求数列 的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点,要注意该方法的掌握. 16. (10 分)如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂 直.点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< ) (1)求 MN 的长; (2)a 为何值时,MN 的长最小; (3)当 MN 的长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成二面角 α 的大小.

n

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)作 MP∥AB 交 BC 于点,NQ∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,易证 MNQP 是平 行四边形,根据 即可求出 MN 的长;

(2)根据(1)将 MN 关于 a 的函数进行配方即可求出 MN 的最小值,注意取最小 值时 a 的取值; (3)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,根据二面角的平面角的定义可知∠AGB 即为 二面角的平面角,在三角形 AGB 中利用余弦定理求出此角的余弦值,结合图形可二 面角与之互补. 解答: (1) MP∥AB 交 BC 于点, 解 作 NQ∥AB 交 BE 于点 Q, 连接 PQ, 依题意可得 MP∥NQ, 且 MP=NQ,即 MNQP 是平行四边形. ∴MN=PQ 由已知 CM=BN=a,CB=AB=BE=1 ∴ , =

=

10

= (2)由(1) =

=

=

所以,当时, 即当 M、N 分别为 AC、BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为 (3)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG, ∵AM=AN,BM=BN,G 为的中点 ∴AG⊥MN,BG⊥MN,即∠AGB 即为二面角的平面角 α



,所以,由余弦定理有

故所求二面角为: 点评: 本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题,涉及到的知识点比较多,知识性技 巧性都很强. 17. (10 分)在直径是 AB 的半圆上有两点 M,N,设 AN 与 BM 的交点是 P.求证: 2 AP?AN+BP?BM=AB .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题. 分析: PE⊥AB 于 E,先证明 P,E,B,N 四点共圆,P,E,A,M 四点共圆,得到两对 作 乘积式,后相加即可得到结论. 解答: 证明:作 PE⊥AB 于 E∵AB 为直径, ∴∠ANB=∠AMB=90° ∴P,E,B,N 四点共圆,P,E,A,M 四点共圆. AE?AB=AP?AN(1) BE?AB=BP?BM(2)
11

(1)+(2)得 AB(AE+BE)=AP?AN+BP?BM 即 AP?AN+BP?BM=AB
2

点评: 本题主要考查了与圆有关的比例线段,特别是证明四点共圆的方法,属于基础题. 18. (10 分)化简或求值: (1) (2) . ;

考点: 有理数指数幂的运算性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)由第一项得到 a 的取值范围,然后根据开方与乘方的互逆性得到值即可; (2) 根据对数的运算性质化简可得值. 解答: 解:1) ( 由题知 a﹣1>0 即 a>1, 所以 =a ﹣1+|1﹣a|+1﹣a=a﹣1; (2) =lg(5×10 )+lg8﹣lg5﹣lg +50[lg(2×5)] =lg5+2+lg8﹣lg5﹣lg8+50 =52. 点评: 此题为基础题,要求学生灵活运用有理数指数幂的运算性质及对数的运算性质.做第 一问时注意 a 的取值范围. 19. 分) (11 大楼共有 n 层, 现每层指派一人, n 个人集中到第 k 层开会 试问如何确定 k, 共 能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小?(假设相邻两层楼梯长都一样) 考点: 函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设相邻两层楼梯长为 a,则问题转化为下列和式 S 的最小值的探求:S=S(k) =a[1+2+3+? ? ? +(k﹣1)]+a[1+2+? ? ? +(n﹣k )],分类讨论,即可得到结论. 解答: 解:设相邻两层楼梯长为 a,则问题转化为下列和式 S 的最小值的探求: S=S(k)=a[1+2+3+? ? ? +(k﹣1)]+a[1+2+? ? ? +(n﹣k )] =a[k ﹣(n+1)k+ (n +n)] 目标函数 S(k)为 k 的二次函数,且 a>0, 故当 n 为奇数时,取 k= ,S 最小;当 n 为偶数时,取 k= 或 ,S 最小.
2 2 2 2

点评: 本题考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,正确建模是关键.
12

13


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