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2015-2016高中数学 1.2.1第1课时 函数的概念课件 新人教A版必修1


第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念

第1课时 函数的概念

1.理解函数的概念,明确函数的三要素.(重点) 2.能正确使用区间表示数集.(易混点)

3.会求简单函数的定义域.(重点、难点)

1.函数的概念

2.区间与无穷的

概念 (1)区间定义及表示 设a,b是两个实数,而且a<b. 定义 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 [a,b] _________ (a,b) _________ _________ [a,b) _________ (a,b] 数轴表示

{x|a≤x≤b}
{x|a<x<b}

{x|a≤x<b}
{x|a<x≤b}

(2)无穷概念及无穷区间表示

定义 符号

R

{x|x≥a}

{x|x>a}

{x|x≤a}

{x|x<a}

(-∞,+∞) _________ [a,+∞) (_______ a,+∞)

_______ ( -∞,a]

________ (-∞,a)

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)区间表示数集,数集一定能用区间表示.(×)
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2,+∞].( × ) (3)若[a,2a]表示一个区间,则a∈R.( × )

2.想一想 函数
? ?1?当x是有理数时? f(x)=? ? ?0?当x是无理数时?

的定义域、值域、对应关系

分别是什么?
提示:定义域为 R,值域为{0,1},对应关系是:当 x 为有理 数时,对应函数值为 1;当 x 为无理数时,对应函数值为 0.

1.对函数概念的理解

(1)对集合A、B的要求:集合A,B为非空数集.
(2) 函数三要素:对应关系“ f : A→B”表示 A 到 B 的一个函 数,它有三要素:定义域、对应关系和值域,三者缺一不可. (3)任意性和唯一性:集合 A中的数具有任意性,集合B中对 应的数具有唯一性.

(4)符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为: x是自变量,它是对应关系所施加的对象; f是对应关系,它既 可以是解析式,也可以是图象、表格或文字描述等.y=f(x)仅 仅是函数符号,不能认为“y等于f与x的乘积”. (5)一个区别:f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数 值.

2.对区间的几点认识 (1)区间是集合,是数集,区间的左端点必须小于右端点. (2) 用数轴表示区间时,用实心点表示包括在区间内的端 点,用空心点表示不包括在区间内的端点. (3)在用区间表示集合时,开和闭不能混淆. (4)“∞”是一个符号,不是一个数,它表示数的变化趋

势.

3.区间和数集的联系和区别

函数的概念

下列对应中是A到B的函数的个数为(
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; (3)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0;

)

(4)A={1,2,3},B={a,b},对应关系如下图所示:

(5)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如下图所示:

A.1

B.2

C.3

D.4

对集合A中的每一个 思路点拨:集合 A 与 B 是非空数集→ 元素,在B中是否 都有元素与之对应 集合A中任一元素在B中 → 的对应元素是否唯一

解析:(1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是A到B的 函数; (2) 对于集合 A 中的任意一个整数 x ,按照对应关系 f : x→y =x2,在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应,故是集合A 到集合B的函数; (3) 对于集合 A 中任意一个实数 x ,按照对应关系 f : x→y = 0,在集合B中都有唯一确定的数0和它对应,故是集合A到集合

B的函数;

(4)集合B不是确定的数集,故不是A到B的函数; (5)集合A中的元素3在 B中没有对应元素,且A中元素 2在B 中有两个元素5和6与之对应,故不是A到B的函数.故选B. 答案:B

1 .判断一个对应关系是否是函数,要从以下三个方面去

判断,即A、 B 必须是非空数集; A 中任何一个元素在 B 中必须
有元素与其对应;A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应. 2 .函数的定义中 “ 任一 x” 与 “ 有唯一确定的 y” 说明函 数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”, 而不能是“一对多”或者是“多对多”.

1.判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数: (1)A=R,B={0,1},对应关系
? ?1, f:x→y=? ? ?0,

?x≥0? ; ?x<0?

(2)A=B=R,对应关系 f:x→y=± x; 1 (3)A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y=x.

解:(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之 对应,对于A中任意一个负数在 B中都有唯一元素 0与之对应, 所以是函数. (2) 集合 A 中的负数,在 B 中没有元素与之对应,故不是函 数. (3) 集合 A 中的 0 元素在 B 中没有元素与之对应,故不是函

数.

用区间表示数集

把下列数集用区间表示.
(1){x|x≥-1}; (2){x|x<0}; (3){x|-1<x<1}; (4){x|0<x<1或2≤x≤4}.

思路点拨: 所给数集 ―→ 数轴表示 ―→ 区间表示

解:(1){x|x≥-1}=[-1,+∞); (2){x|x<0}=(-∞,0); (3){x|-1<x<1}=(-1,1); (4){x|0<x<1或2≤x≤4}=(0,1)∪[2,4].

用区间表示数集应注意的几个问题

(1)区间左端点值小于右端点值;
(2)区间两端点之间用“,”隔开; (3)注意数集中的符号“≤”“≥”“<”及“>”与区间中 的符号“[”“]”“(”“)”的对应关系; (4) 以 “ - ∞ ” , “ + ∞ ” 为区间的一端时,这端必须用

“(”,“)”;
(5)用数轴表示区间时,注意端点的虚实; (6)区间之间可以用集合的运算符号连接.

2.(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________. (2)已知区间[a,2a+1],则a的取值范围是________.

解析:(1)[0,2)∪(2,+∞)
(2)∵2a+1>a,∴a>-1即a∈(-1,+∞). 答案:(1)[0,2)∪(2,+∞) (2)(-1,+∞)

求出函数的定义域

求下列函数的定义域: ?x+1?2 (1)y= - 1-x; x+1 5-x (2)y= ; |x|-3 (3)y= ax-3(a 为常数).
分析所给函 列不等 求x的 用集合或区 思路点拨: → → → 数解析式 式?组? 范围 间表示出来

解 : (1) 要 使 函 数 有 意 义 , 自 变 量 x 的 取 值 必 须 满 足
? ?x+1≠0, ? ? ?1-x≥0,

解得 x≤1 且,x≠-1,

即函数定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. (2)要使函数有意义, 自变量 x 解得 x≤5,且 x≠± 3, 即函数定义域为{x|x≤5,且 x≠± 3}.
? ?5-x≥0, 的取值必须满足? ? ?|x|-3≠0,

(3)要使函数有意义,必须使 ax-3≥0,得当 a>0 时,原
? 3? ? ? ? ? 函数的定义域为 x?x≥a? ? ? ? ? ?

; ;

当 a<0

? 3? ? ? ? ? ? 时,原函数的定义域为 x x≤a? ? ? ? ? ?

当 a=0 时,ax-3≥0 的解集为?,不符合函数的定义,故 不是函数.

?x+1?2 【互动探究】 将本例(1)改为 y= - 1-x2,其定义 x+1 域如何?
? ?x+1≠0, 解:由? 2 ? ?1-x ≥0,

解得{x|-1<x≤1}.

1 .求函数定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问
题,注意解析式不能化简,定义域须用集合或区间表示出来. 2.根据函数解析式求定义域时,常有以下几种情况:

函数y=f(x)

y=f(x)的定义域

f(x)是整式
f(x)是分式

定义域为R
定义域为使分母不为0的实数集合 定义域为使根号内的式子大于或等于0的实数 集合 定义域为{x|x≠0}

f(x)是偶次根式
f(x)=x0

f(x)由几部分数 学式子构成
f(x)是由实际问 题列出

定义域是使各部分数学式子都有意义的实数集 合,即使每个部分都有意义的实数集合的交集
定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义 的实数集合

3.求下列函数的定义域: ?x+1?0 1 (1)y= ;(2)y= 2x+5+ ; |x|-x x-1 (3)y= 1. 1+ x 1

解:(1)要使函数有意义,需满足
? ?x+1≠0, ? ? ?|x|-x≠0, ? ?x≠-1, 即? ? ?|x|≠x,

∴x<0,且 x≠-1, ∴原函数的定义域为{x|x<0,且 x≠-1}.

(2)要使函数有意义,需满足
? ?2x+5≥0, ? ? ?x-1≠0,

5 ? ?x≥- , 2 即? ? ?x≠1, .

? ? 5 ? ? ? ? ∴原函数定义域为 x?x≥-2,且x≠1? ? ? ? ? ?

(3)要使函数有意义,需满足 x≠0, ? ? ? ?x≠0, ? 1 即? ? 1+x ≠0, ?x+1≠0, ? ? 即 x≠0,且 x≠-1, ∴原函数定义域为{x|x∈R,且 x≠0,且 x≠-1}.

规范解答系列(二) 与函数定义域有关的综合问题 1 (12 分)已知函数 f(x)= 3-x+ 的定义域为集合 x+2
A,B={x|x<a}. (1)求集合 A. (2)若 A?B,求 a 的取值范围. (3)若全集 U={x|x≤4},a=-1,求?UA 及 A∩(?UB).

【规范思维】 第一步,看结论: (1) 求集合 A ; (2) 求参数 a 的取值范围;(3)求?UA及A∩(?UB). 第二步,想方法:(1)即求函数f(x)的定义域,列不等式(组) 求解;(2)借助于数轴求出参数a的取值范围;(3)利用补集与交 集的定义求解. 第三步,找联系:(1)由二次根式和分式有意义的条件列不 等式(组);(2)借助于数轴分析集合A与集合B的包含关系;(3)已

知 全 集 U 及 集 合 A 与 集 合 B , 可 先 求 出 ? UA , ? UB , 再 求
A∩(?UB).

【规范解答】(1)使 3-x有意义的实数 x 的集合是{x|x≤3}, 1 使 有意义的实数 x 的集合是{x|x>-2}. x+2 所以, ,这个函数的定义域是 {x|x≤3}∩{x|x>-2}={x|-2<x≤3}, 即 A={x|-2<x≤3}. (2)因为 A={x|-2<x≤3}, B={x|x<a}且 A?B, 所以 a>3. 7分 4分 2分

(3)因为 U={x|x≤4},A={x|-2<x≤3}, 所以?UA=(-∞,-2]∪(3,4]. 因为 a=-1, 所以 B={x|x<-1}, 所以?UB=[-1,4], 所以 A∩(?UB)=[-1,3]. 12 分 9分

【特别关注】1.若 y=f(x)是由几部分数学式子组成的,则定 义域是使各部分都有意义的集合的交集, 如本例(1)中, 要注意求 1 3-x和 两部分都有意义的集合的交集. x+2 2.集合之间的关系和运算要注意 Venn 图和数轴的应用,如 本例(2)中,可借助数轴分析 a 的取值范围.

【跟踪训练】已知全集 U=R,函数 y= x-2+ x+1的定 2x+4 义域为集合 A,函数 y= 的定义域为集合 B. x-3 (1)求集合 A 和集合 B. (2)求集合(?UA)∪(?UB).

? ?x-2≥0, 解:(1)因为? ? ?x+1≥0, ? ?2x+4≥0, 因为? ? ?x≠3,

所以 x≥2,所以 A=[2,+∞).

所以 x≥-2 且 x≠3,

所以 B=[-2,3)∪(3,+∞). (2)因为 A=[2,+∞), 所以?UA=(-∞,2). 因为 B=[-2,3)∪(3,+∞), 所以?UB=(-∞,-2)∪{3}, 所以(?UA)∪(?UB)=(-∞,2)∪{3}.


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