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广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题 文


2015 年秋季学期钦州港经济技术开发区中学第一次月考 高二数学试题 (文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题有且只有一个选项是符合题 目要求的. 1.设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是( A. a 3 ? b3 B. ) C. a 2 ? b 2 ) D. 0 ? b ? a ? 1

1 1 ? a b

2.下列命题中正确命题的个数是(

2 2 ①若 a ? b , c ? d 则 ac ? bd ; ②若 a ? b 则 ac ? bc ; a b ③若 ac ? bc 则 a ? b ④若 2 ? 2 则 a ? b c c

A.0

B.1

C.2 )

D.3

3.角 ? 的终边上有一点 (1, ?2) ,则 sin ? ? ( A. ?

5 5

B. ?

2 5 5

C.

5 5

D.

2 5 5

?x ? y ?1 ? 0 ? 4.已知实数 x , y y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 0 ?
A.



1 2

B. 0 )

C. ?1

D. ?

1 2

5.下列函数中,最小值为 4 的函数是( A. y ? x ?

4 x

B. y ? sin x ?

4 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? ex ? 4e? x 6.已知等比数列 ?an ? 中, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A.-2 B.1

D. y ? log3 x ? log x 81

S4 ?( S2
) C.

) C.2 D.5

3 7.已知 cos( ? x) ? ? ,则 sin 2 x 的值是( 4 5 7 24 A. B. ? 25 25
(? 11) ,) 2 , 1 )( 8.已知点 A 、B
A.

?

24 25


D. ?

7 25


、 C (?2, ?1) 、 D (3, 4) ,则向量 B. 3 5 C. ?

方向上的投影( D. ?3 5

3 2 2

3 2 2

-1-

9.为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图象(



? 个单位 4 ? C. 向右平移 个单位 12
A.向右平移 10.函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 在区间 ? ? A. 1
2

B. 向左平移

? 个单位 4 ? D. 向左平移 个单位 12


? ? ? , ? 上的最大值为( ? 6 ? ?
C. ?

B. 2
2

1 4

D. 3

11.若不等式 ax ? 2ax ? 4 ? 2 x ? 4 x 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 A. (?2, 2) B. (?2, 2] C. (??, ?2) ? [2, ??) D. ( ??, 2]

12.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 1) ?

1 ,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? x ,函数 f ( x)

?sin ? x, x ? 0 ? ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 上的零点的个数为( g ( x) ? ? 1 ? , x ? 0 ? ? x
A. 8 B. 9 C. 10 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 . a 是 三 个 正 数 a, b, c 中 的 最 大 的 数 , 且 _______________. 14.已知- D. 11



a c ? ,则 a ? d 与 b ? c 的大小关系是 b d

? ? ? ?? ≤α <β ≤ ,则 的范围为_______________. 2 2 2
1? x ? 0 的解为_______________. f ( x)

15.若二次函数 f ( x) ? 0 的解的区间是 [-1,5] ,则不等式
2 16.化简 2 cos ? ? (tan ? ?

1 1 ) ? sin 2? ? _______________. tan ? 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 10 分)接下列不等式
2 (Ⅰ) ?3x ? 5x ? 2 ? 0

(Ⅱ) x ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

18. (本小题满分 12 分)已知 x , y 都是正数.

-2-

(1)若 3x ? 2 y ? 12 ,求 xy 的最大值; (2)若 x ? 2 y ? 3 ,求

1 1 ? 的最小值. x y

19. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 (a2 ? 4) x2 ? (a ? 2) x ?1 ? 0 的解集是空集,求 实数 a 的取值范围.

-3-

20. (本小题满分 12 分) A, B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限.记 ?AOB ? ? 且 sin ? ? (1)求 B 点坐标;

4 . 5

sin(? ? ? ) ? 2sin(
(2)求

?
2

??)
的值.

2 cos(? ? ? )

2 21. (本小题满分 12 分)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 ,

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? …? log3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. b ? n?

2 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2sin (

?
4

? x) ? 3 cos 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ?0,

? ?? ]上有两个不同的解, 求实数 m 的取值范围. ? 2? ?

-4-

参考答案 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. 1.D2.B3.B4.A5.C6. D7.D8.B9.C10.B11.B12.C 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13.a+d>b+c 解析:设

a c = =k,依题意可知 d>0,k>1,且 c>d,b>d, b d

∴(a+d)-(b+c)=bk+d-b-dk=(b-d)(k-1)>0 14. ?

?
2

?

? ??
2

? 0 解析:∵-

? ? ? ? ≤β ≤ ∴- ≤-β ≤ , 2 2 2 2

同向可加性得 ? ? ? ? ? ? ? ? ,从而得到结论. 15. (?1,1] ? (5, ? ?) 16. cos2α . 三、解答题:共 75 分. 17. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) ? x x ?

?

? (Ⅱ)若 a ? ?1 时,解集为 ? x ?1 ? x ? a?
若 a ? ?1 时,解集为 ? 若 a ? ?1 时,解集为 x a ? x ? ?1

1 ? 或x ? ?2? 3 ?

?

?

18. xy 取得最大值 6 . (Ⅱ)最小值 1 ?

2 2 . 3
6 5

19. a 的取值范围为 ?2 ? a ?

20. 解: (1)∵点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限. 设 B 点坐标为(x,y) , 则 y=sinθ = . x=﹣ 即 B 点坐标为: =﹣ ,

(2)∵

=

=

=



21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q = .
2 2 2 2

-5-

由条件可知各项均为正数,故 q= .由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= .故数列{an}的通 项式为 an= (Ⅱ)bn= 故 则 =﹣ + +…+ . + +…+ =﹣2( ﹣ =﹣(1+2+…+n)=﹣ ) )]=﹣ , ,

=﹣2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ .

所以数列{

}的前 n 项和为﹣

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f(x)=2sin ( + cos2x=1+sin2x+ ≤2x+ ≤x≤kπ +
2

+x)+

cos2x=1﹣cos( ) ,

+2x)

cos2x=1+2sin(2x+ ≤2kπ + ,k∈Z ,k∈Z,

由由 2kπ ﹣ 得 kπ ﹣

所以函数 的单调递增区间为[kπ ﹣ (Ⅱ)由 f(x)﹣m=2 得 f(x)=m+2, 当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ =1+ , ,

,kπ +

].k∈Z.

],

由图象得 f(0)=1+2sin

函数 f(x)的最大值为 1+2=3, ∴要使方程 f(x)﹣m=2 在 x∈[0, 则 f(x)=m+2 在 x∈[0, ]上有两个不同的解,

]上有两个不同的解, ]上有两个不同的交点,

即函数 f(x)和 y=m+2 在 x∈[0, 即 1+ ≤m+2<3, 即 ﹣1≤m<1.

-6-



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