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2016年广州二模数学(理科)word试题及答案


2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数 学(理科)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自 己的姓名和考生号、 试室号、 座位号填写在答题卡上, 并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 , 如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 M ? x ?1 ? x ? 1 (A) M ? N (2)已知复数 z ?

?

? , N ? ? x x 2 ? 2, x ?Z ? ,则(
(C) M ? N ? ?0? )



(B) N ? M

(D) M ? N ? N

3 ?i

?1 ? i ?

2

,其中 i 为虚数单位, 则 z ? (

(A)

1 2

(B) 1

(C)

2


(D) 2

(3)已知 cos ?

?? ? 1 ? 5? ? ? ? ? ? , 则 sin ? ? ? ? 的值是( ? 12 ? 3 ? 12 ?
(B)

(A)

1 3

2 2 3

(C) ?

1 3

(D) ?

2 2 3

2 (4)已知随机变量 X 服从正态分布 N 3, ? , 且 P ? X ? 4? ? 0.84 , 则 P ? 2 ? X ? 4? ?

?

?



) (A) 0.84

(B)

0.68

(C) 0.32

(D) 0.16

? x ? y ? 0, ? ( 5 )不等式组 ? x ? y ? ?2, 的解集记为 D , 若 ? a, b ? ? D , 则 z ? 2a ? 3b 的最小值是 ? x ? 2 y ? ?2 ?
( ) (A) ?4 (6)使 ? x 2 ? (A) 3 (B) ?1
n

(C) 1

(D) 4 )

? ?

1 ? (n ? N * ) 展开式中含有常数项的 n 的最小值是( 3 ? 2x ?
(B) 4
1

(C) 5

(D) 6

(7) 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? 0 ? ? ?

? ? 3? ? ) 的图象的一个对称中心为 ? , 0 ? , 则函数 2 ? 8 ?

f ? x ? 的单调递减区间是(
? 3?

) (B) ? 2k? ? , 2k? ? (k ? Z ) 8 8 ? ? ?

(A) ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) 8 8? ?

??

?

?

5? ?

(C) ? k? ? , k? ? ? (k ?Z ) 8 8? ?

?

3?

??

(D) ? k? ? , k? ? (k ? Z ) 8 8 ? ? ?

?

?

5? ?

(8)已知球 O 的半径为 R , A, B, C 三点在球 O 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为

1 R , AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? , 则球 O 的表面积为( 2 16 16 64 ? ? ? (A) (B) (C) 9 3 9
x x
*

) (D)

64 ? 3

?1? ?1? * x 1? x (9)已知命题 p : ?x ? N , ? ? ? ? ? ,命题 q : ?x ? N , 2 ? 2 ? 2 2 , ? 2? ? 3?
则下列命题中为真命题的是( (A) p ? q (C) p ? ? ?q ? (B) (D) )

? ?p ? ? q ? ?p ? ? ? ?q ?

(10)如图, 网格纸上的小正方形的边长为 1 , 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是( ) (A) 4 ? 6? (B) 8 ? 6? (C) 4 ? 12? (D) 8 ? 12 ? (11)已知点 O 为坐标原点,点 M 在双曲线 C : x ? y ? ? ( ? 为正常数)上,过点 M 作
2 2

双曲线 C 的某一条渐近线的垂线,垂足为 N ,则 ON ? MN 的值为(



(A)

? 4

(B)

?
2

(C) ?

(D) 无法确定

(12)设函数 f ? x ? 的定义域为 R , f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? x ? ? f ? 2 ? x ? , 当 x ??0,1? 时,

? 1 5? f ? x ? ? x3 , 则函数 g ? x ? ? cos?? x? ? f ? x? 在区间 ? ? , ? 上的所有零点的和为 ? 2 2?
( )
2

(A) 7

(B) 6

(C) 3

(D) 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个考生都必须做答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

2 ? 3 x 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 . x ? (14)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ,a ? 1, 3 , a ? 2b ? 2 3 ,则 b ? . 3 1 (15)已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F ?1,0 ? ,点 F 关于直线 y ? x 的对称点 2 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的方程为 .
(13)曲线 f ? x ? ?

?

?

(16)在△ ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, a ? c ? 4 ,

? 2 ? cos A? tan

B ? sin A ,则△ ABC 的面积的最大值为 2

.

三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 已知 a1 ? 3 , an?1 ? 2Sn ? 3 (n ? N * ) . (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 令 bn ? ? 2n ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (18) (本小题满分 12 分) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班 24 名女同学,18 名男同学中 随机抽取一个容量为 7 的样本进行分析. (Ⅰ)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必 计算出结果) (Ⅱ)如果随机抽取的 7 名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表: 学生序号 i 数学成绩 xi 物理成绩 yi 1 60 70 2 65 77 3 70 80 4 75 85 5 85 90 6 87 86 7 90 93

(ⅰ)若规定 85 分以上(包括 85 分)为优秀,从这 7 名同学中抽取 3 名同学,记 3 名同 学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (ⅱ)根据上表数据,求物理成绩 y 关于数学成绩 x 的线性回归方程 (系数精确到 0.01 );
3

若班上某位同学的数学成绩为 96 分,预测该同学的物理成绩为多少分?

附:线性回归方程 ? y ? bx ? a ,其中 b ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

, a ? y ? bx .

x
76

y
83

??
7 i ?1

xi ? x

?

2

? ? x ? x ?? y ? y ?
7 i ?1 i i

812

526

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDM 中,△ BCD 是等边三角形,△ CMD 是等腰直角三角形,

?CMD ? 90? ,平面 CMD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD .

A M D C

(Ⅰ)求证: CD ? AM ; (Ⅱ)若 AM ? BC ? 2 ,求直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值. B

(20) (本小题满分 12 分) 已知点 F ?1,0 ? ,点 A 是直线 l1 : x ? ?1 上的动点,过 A 作直线 l2 ,l1 ? l2 ,线段 AF 的 垂直平分线与 l2 交于点 P . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若点 M , N 是直线 l1 上两个不同的点, 且△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,直
2 2

线 PF 的斜率为 k ,求

k MN

的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e
?x

?ax ( x ? R ) .

(Ⅰ) 当 a ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ) 若 x ? 0 时, f ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 1,求实数 a 的取值范围;

4

(Ⅲ)求证: e

2? e

?

3 . 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1: 几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 是圆 O 的直径, BC ? CD , AD 的延 长线与 BC 的延长线交于点 E ,过 C 作 CF ? AE ,垂足为点 F . E (Ⅰ)证明: CF 是圆 O 的切线; F (Ⅱ)若 BC ? 4 , AE ? 9 ,求 CF 的长.

D

C B

A

O

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ? , (? 为参数 ) .以点 O 为极 y ? sin ? ? ?
? ) ? 2. 4

点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (Ⅰ)将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程; (Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a . (Ⅰ)当 a ? 7 时,求函数 f ? x ? 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ≥ 3 的解集是 R,求实数 a 的最大值.

?

?

5

2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 理科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同 , 可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时 , 如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一 半; 如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不给分。 3. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数。选择题不给中间分。 一. 选择题 (1)C (2)B (3)A (4)B (5)A (6)C (7)D (8)D (9)C (10)B (11)B (12)A 二. 填空题 (13) x ? y ? 4 ? 0 三. 解答题 (17)(Ⅰ) 解: 当 n ? 2 时, 由 an?1 ? 2Sn ? 3 , 得 an ? 2Sn?1 ? 3 ,…………………………1 分 两式相减, 得 an?1 ? an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 2an , ∴ an?1 ? 3an . ∴ …………………………2 分 (14) 2 (15)

5x2 5 y 2 ? ?1 9 4

(16)

3

an ?1 ?3. an

……………………………………………………3 分

当 n ? 1 时, a1 ? 3 , a2 ? 2S1 ? 3 ? 2a1 ? 3 ? 9 , 则

a2 ? 3 .…………………4 分 a1

∴数列 ?an ? 是以 a1 ? 3 为首项, 公比为 3 的等比数列. ………………………5 分 ∴ an ? 3 ? 3
n?1

? 3n .

……………………………………………………6 分
n

(Ⅱ) 解法 1: 由(Ⅰ)得 bn ? ? 2n ?1? an ? ? 2n ?1? ? 3 . ∴ Tn ? 1? 3 ? 3? 3 ? 5 ? 3 ? ?? ? 2n ?1? ? 3 ,
2 3 n



…………………7 分 …………………8 分
n?1

3Tn ? 1? 32 ? 3? 33 ? 5 ? 34 ? ?? ? 2n ?1? ? 3n?1 , ②
2 3 n

①-②得 ?2Tn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ?? 2 ? 3 ? ? 2n ?1? ? 3
6

…………9 分

? 3 ? 2 ? ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? ? ? 2n ? 1? ? 3n ?1

? 3 ? 2?

32 ?1 ? 3n?1 ? 1? 3

? ? 2n ? 1? ? 3n?1 …………………………10 分
…………………………………11 分

? ?6 ? ? 2n ? 2? ? 3n?1 .

∴ Tn ? ? n ?1? ? 3n?1 ? 3 .……………………………………………………12 分 解法 2: 由(Ⅰ)得 bn ? ? 2n ?1? an ? ? 2n ?1? ? 3 .
n



? 2n ?1? ? 3n ? ? n ?1? ? 3n?1 ? ? n ? 2? ? 3n ,

…………………………………8 分

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
n ?1 n ? ? 0 ? 3? ? ? 33 ? 0 ? ? ? 2 ? 34 ? 33 ? ? ? ? ? ?? n ? 1? ? 3 ? ? n ? 2 ? ? 3 ? ? ……10 分

? ? n ?1? ? 3n?1 ? 3 .

……………………………………………12 分

(18)(Ⅰ)解:依据分层抽样的方法, 24 名女同学中应抽取的人数为

7 ? 24 ? 4 名, 42

…………………………………………1 分

18 名男同学中应抽取的人数为
3 故不同的样本的个数为 C4 24C18 .

7 ?18 ? 3 名, 42

……………………2 分

…………………………………………3 分

(Ⅱ) (ⅰ)解: ∵ 7 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3 名, ∴ ? 的取值为 0,1, 2,3 . ∴ P ?? ? 0? ?

C3 4 4 ? , 3 C7 35
2 C1 12 4 C3 ? , 3 C7 35

P ?? ? 1? ?

1 C2 18 4 C3 ? , 3 C7 35

P ?? ? 2? ?

P ?? ? 3? ?

C3 1 3 ? . …………………7 分 3 C7 35

∴ ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4 35

18 35

12 35

1 35

…………………………………………8 分 ∴ E? ? 0 ?

4 18 12 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . …………………………9 分 35 35 35 35 7
7

(ⅱ)解: ∵ b ?

526 ? 0.65 , a ? y ? bx ? 83 ? 0.65? 75 ? 33.60 . 812

…………10 分

∴线性回归方程为 ? y ? 0.65x ? 33.60 .……………………………………11 分 当 x ? 96 时, ? y ? 0.65? 96 ? 33.60 ? 96 . 可预测该同学的物理成绩为 96 分. ………………………………………12 分 (19)(Ⅰ)证明:取 CD 的中点 O ,连接 OB , OM . ∵ △ BCD 是等边三角形, ∴ OB ? CD . …………………………………………1 分 ∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 , ∴ OM ? CD . …………………………………………2 分 ∵ 平面 CMD ? 平面 BCD ,平面 CMD ? 平面 BCD ? CD , OM ? 平面 CMD ,
?

OM ? 平面 BCD . …………………………………3 分 A z AB ? 平面 BCD , N OM ∥ AB . M O , M , A , B 四点共面. …………………………4 分 B D OB ? OM ? O , OB ? 平面 OMAB , OM ? 平面 OMAB , O y C ∴ CD ? 平面 OMAB . ………………………………5 分 x ∵ AM ? 平面 OMAB , ∴ CD ? AM . ………………………………………………………6 分 (Ⅱ)解法 1: 作 MN ? AB ,垂足为 N ,则 MN ? OB . ∵ △ BCD 是等边三角形, BC ? 2 ,
∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ OB ? 3 , CD ? 2 . 在 Rt△ ANM 中, AN ?

AM 2 ? MN 2 ? AM 2 ? OB2 ? 1 .………………7 分
?

∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 ,

1 CD ? 1 . 2 ∴ AB ? AN ? NB ? AN ? OM ? 2 .
∴ OM ?

…………………………………8 分

如图,以点 O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, BO 所在直线为 y 轴, OM 所在直 线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 M ? 0,0,1? , B 0, ? 3, 0 , D ? ?1,0,0? , A 0, ? 3, 2 . ∴ AM ? 0, 3, ?1 , BM ? 0, 3,1 , BD ? ?1, 3, 0 . 设平面 BDM 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

?

?

?

?

???? ?

?

?

???? ?

?

?

??? ?

?

?

8

由 n ? BM ? 0 , n ? BD ? 0 ,得 ? 令 y ? 1 ,得 x ? 3 , z ? ? 3 . ∴ n?

???? ?

??? ?

? ? 3 y ? z ? 0, ? ?? x ? 3 y ? 0,

…………………………9 分

?

3,1, ? 3 是平面 BDM 的一个法向量.

?

…………………………10 分

设直线 AM 与平面 BDM 所成角为 ? ,

???? ? AM ? n ???? ? 2 3 21 则 sin ? ? cos? AM , n? ? ???? . …………………………11 分 ? ? ? 7 AM n 2 ? 7
∴直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为 解法 2: 作 MN ? AB ,垂足为 N ,则 MN ? OB . ∵ △ BCD 是等边三角形, BC ? 2 , ∴ OB ? 3 , CD ? 2 . 在 Rt△ ANM 中, AN ?

21 . 7

…………………………12 分

AM 2 ? MN 2 ? AM 2 ? OB2 ? 1 . ………………7 分
?

∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 ,

1 CD ? 1 . 2 ∴ AB ? AN ? NB ? AN ? OM ? 2 .………………………………………………8 分 由(Ⅰ)知 OM ∥ AB , A ∵ AB ? 平面 ABD , OM ? 平面 ABD , N ∴ OM ∥平面 ABD . M ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. B D K 作 OK ? BD ,垂足为 K , ∵ AB ? 平面 BCD , OK ? 平面 BCD , O C ∴ OK ? AB . ∵ AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , AB ? BD ? B ,
∴ OM ?
? ∴ OK ? 平面 ABD ,且 OK ? OD ? sin 60 ?

3 . 2

…………………………9 分

在 Rt△ MOB 中, MB ? OM 2 ? OB2 ? 2 , 在 Rt△ MOD 中, MD ? OM 2 ? OD2 ? 2 , ∴ △ BDM 的面积为 S ?

1 7 ? MD ? ? MD ? MB 2 ? ? . ? ? 2 2 ? 2 ?

2

设点 A 到平面 BDM 的距离为 h ,
9

由 VA? BDM ? VM ? ABD , 得 ? h ? S ?

1 3

1 ? OK ? S ?ABD , 3

3 1 ? ? 2? 2 OK ? S ?ABD 2 21 2 2 ? 得h ? . S 7 7 2
设直线 AM 与平面 BDM 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

……………………………10 分

h 21 . ? AM 7

………………………………………………11 分

∴直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为

21 . 7

………………………12 分

注:求 h ?

2 21 的另法. 7 1 1 3 , ? ? OD ? OB ? AB ? 3 2 3

由 VA? BDM ? VM ? ABD ? VO ? ABD ? VA? BDO ?

得 ?h?S ?

1 3

3 3 ,得 h ? ? 3 S

3 2 21 . ? 7 7 2

(20) (Ⅰ)解:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于它到直线 l1 的距离, ………………1 分 ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l1 : x ? ?1 为准线的抛物线. …………2 分 ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

………………………………………………3 分

(Ⅱ)解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 方程为: y ? m ?

y0 ? m ? x ? 1? , x0 ? 1

………………………4 分

化简得, ? y0 ? m? x ? ? x0 ?1? y ? ? y0 ? m? ? m ? x0 ?1? ? 0 . ∵△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,
2 2

∴圆心 ? 0, 0 ? 到直线 PM 的距离为 1 ,即
2 2 2

y0 ? m ? m ? x0 ? 1?

? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1?
2

2

? 1 . ………5 分

故 ? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? m ? ? 2m ? y0 ? m ?? x0 ? 1? ? m
10

2

? x0 ? 1?

2

.

易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ? 1? ? 0 .………………6 分 同理,有 ? x0 ?1? n2 ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 . ………………………………7 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

………………………………8 分
2 4 y0

∴ MN ? m ? n ?
2

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2

?

4 ? x0 ? 1? .……………9 分 x0 ? 1

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 ,
2 4 ? x0 ? 1? x0 ? 4 x0 ? 1 ?2 ∴ MN ? . ? 2 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1? ? x0 ? 1?

16 x0

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . 1 x0 ? ? 4 x0

………………………………10 分

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0
………………………………………………11 分

∴ x0 ?

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
………………………………………………12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

解法 2:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? ,
11

直线 PM 的方程为 y ? m ? k1 ? x ? 1? ,即 k1 x ? y ? k1 ? m ? 0 ,………………4 分 ∵ 直线 PM 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, ∴

k1 ? m k12 ? 1

? 1.

∴ k1 ?

1 ? m2 . 2m

………………………………………………5 分

∴ 直线 PM 的方程为 y ? m ? ∵ 点 P 在直线 PM 上, ∴ y0 ? m ?

1 ? m2 ? ? x ? 1? . 2m

1 ? m2 ? ? x0 ? 1? . 2m

易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ? 1? ? 0 . …………………6 分 同理,有 ? x0 ?1? n2 ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 . ………………………………………7 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

…………………………………………8 分
2 4 y0

∴ MN ? m ? n ?
2

? m ? n ? ? 4mn ?
2

? x0 ? 1?

2

?

4 ? x0 ? 1? . x0 ? 1

……………9 分

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 , ∴ MN ?

? x0 ? 1?

16 x0

2

?

4 ? x0 ? 1? x 2 ? 4 x0 ? 1 ?2 0 . 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1?

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ……………………………………10 分 1 x0 ? ? 4 x0

∵函数 y ? x ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

12

∴ x0 ?

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0
………………………………………………11 分

∴ x0 ?

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
………………………………………………12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

解法 3: 设点 P ? x0 , y0 ? , 直线 PM 的方程为 y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , 即 kx ? kx ? 1 y 令 x ? ?1 ,得 yM ? y0 ? k1 ?1 ? x0 ? , ∴ M ?1, y0 ? k1 ?1 ? x0 ? . ∵ 直线 PM 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, ∴

10

y? 0 ?

0,

?

?

………………………………………………4 分

?k1 x0 ? y0 k12 ? 1

?1.

2 2 2 化简得, 1 ? x0 k1 ? 2 x0 y0 k1 ? 1 ? y0 ? 0 .

?

?

……………………………………5 分

同理,设直线 PN 的方程为 y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ? ,
2 2 2 则点 N ?1, y0 ? k2 ?1 ? x0 ? ,且 1 ? x0 k2 ? 2 x0 y0 k2 ? 1 ? y0 ? 0 . …………6 分 2 2 2 ∴ k1 , k2 是关于 k 的方程 1 ? x0 k ? 2 x0 y0 k ? 1 ? y0 ? 0 的两根.

?

?

?

?

?

?

2x y ∴ k1 ? k2 ? 2 0 0 , x0 ? 1

2 y0 ?1 . k1k2 ? 2 x0 ? 1

…………………………………………7 分

2 依题意, x0 ? 1 , y0 ? 4 x0 .

∴ MN ? ?1 ? x0 ?? k1 ? k2 ?

…………………………………………8 分
2

? ?1 ? x0 ?

? k1 ? k2 ?

? 4k1k2
13

? ?1 ? x0 ?
?

2 ? 2 x0 y0 ? 4 ? y0 ? 1? ? 2 ? ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1 ? 2

2 2 2 x0 ? y0 ?1 x0 ? 1 2 2 x0 ? 4 x0 ? 1 . x0 ? 1
………………………………………………9 分

?

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ……………………………………10 分 1 x0 ? ? 4 x0

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x
∴ x0 ?

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0
1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

1 ? 4 ? 4. x0
………………………………………………11 分

∴0 ?

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
………………………………………………12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

解法 4:设点 P ? x0 , y0 ? ,如图,设直线 PM , PN 与圆 O 相切的切点分别为 R , T , 依据平面几何性质,得 PM ? PN ? 2 PR ? MN , …………………………4 分 由 S ?PMN ?

1 1 MN ? ? x0 ? 1? ? ? MN ? PM ? PN ? ? OR , …………………5 分 2 2
y P

得 MN ? ? x0 ?1? ? MN ? PM ? PN , 得 MN ? ? x0 ? 1? ? 2 PR ? 2 MN . …………6 分 得 MN ? ? x0 ? 1? ? 2 PR ? 2 PO ? 1 .……7 分
2
R M O

x T

N

14

故 MN ?

2 2 2 x0 ? y0 ?1 . x0 ? 1

………………………………………………8 分

2 依题意, x0 ? 1 , y0 ? 4 x0 .

∴ MN ?

2 2 x0 ? 4 x0 ? 1 . x0 ? 1

………………………………………………9 分

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ……………………………………10 分 1 x0 ? ? 4 x0

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x
∴ x0 ?

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0
1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

1 ? 4 ? 4. x0
………………………………………………11 分

∴0 ?

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
………………………………………………12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .
?x

(21) (Ⅰ)解:当 a ? ?1 时, f ? x ? ? e 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 .

? x ,则 f ? ? x ? ? ?

1 ?1. ex

…………………1 分

当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 .

…………………………2 分

∴函数 f ? x ? 在区间 ? ??,0? 上单调递减,在区间 ? 0, ??? 上单调递增. ∴当 x ? 0 时,函数 f ? x ? 取得最小值,其值为 f ? 0? ? 1.
x

……………………3 分

(Ⅱ)解:若 x ? 0 时, f ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 1,即 e ? ax ? ln ? x ? 1? ?1 ? 0 .(*) 令 g ? x ? ? e ? ax ? ln ? x ? 1? ?1,
x

15

则 g?? x? ? e ?
x

1 ?a. x ?1
?x

① 若 a ? ?2 ,由(Ⅰ)知 e ∴ g? ? x ? ? e ?
x

? x ? 1 ,即 e? x ? 1 ? x ,故 e x ? 1 ? x .

1 1 ? a ? ? x ? 1? ? ?a ?2 x ?1 x ?1

? x ? 1? ?

1 ? a ? 2? a ? 0. x ?1

…………………………………………4 分 ∴函数 g ? x ? 在区间 ?0, ??? 上单调递增. ∴ g ? x ? ? g ? 0? ? 0 . ∴(*)式成立. ②若 a ? ?2 ,令 ? ? x ? ? e ?
x

…………………………………………5 分

1 ?a, x ?1
2

x 则?? ? x? ? e ?

x ? 1? e x ? 1 ? ? ?0. 2 2 ? x ? 1? ? x ? 1? 1

∴函数 ? ? x ? 在区间 ?0, ??? 上单调递增. 由于 ? ? 0? ? 2 ? a ? 0 , ? ? ?a ? ? e
?a

?

1 1 1 ? a ? 1? a ? ? a ? 1? ?0. 1? a 1? a 1? a
…………………………………………6 分 …………………………………………7 分

故 ?x0 ? ? 0, ?a ? ,使得 ? ? x0 ? ? 0 .

则当 0 ? x ? x0 时, ? ? x ? ? ? ? x0 ? ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0 . ∴函数 g ? x ? 在区间 ? 0, x0 ? 上单调递减. ∴ g ? x0 ? ? g ? 0? ? 0 ,即(*)式不恒成立. ………………………………………8 分 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ?2, ?? ? . ………………………………………9 分 (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当 a ? ?2 时, g ? x ? ? e ? 2x ? ln ? x ? 1? ?1 在 ?0, ??? 上单调递增.
x
1 ?1? ?1 ? 则 g ? ? ? g ? 0 ? ,即 e 2 ? 1 ? ln ? ? 1? ? 1 ? 0 .…………………………………10 分 ?2? ?2 ?

∴ ln ∴

3 ? 2? e . 2

…………………………………………11 分 …………………………………………12 分

3 3 ? e 2 ? e ,即 e2? e ? . 2 2 (22)(Ⅰ)证明: 连接 OC , AC , ∵ BC ? CD ,
16

∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ (Ⅱ)解:∵

?CAB ? ?CAD . …………………………1 分 AB 是圆 O 的直径, OC ? OA . ?CAB ? ?ACO . …………………………2 分 ?CAD ? ?ACO . AE ∥ OC . ………………………………3 分 CF ? AE , CF ? OC . …………………………………4 分 CF 是圆 O 的切线. …………………………5 分 AB 是圆 O 的直径,

E D A F C B

O

? ∴ ?ACB ? 90 ,即 AC ? BE .

∵ ?CAB ? ?CAD , ∴ 点 C 为 BE 的中点. ∴ BC ? CE ? CD ? 4 . 由割线定理: EC ? EB ? ED ? EA ,且 AE ? 9 . 得 ED ?

…………………………………6 分 …………………………………7 分

32 . ……………………………………………………8 分 9 在△ CDE 中, CD ? CE , CF ? DE ,则 F 为 DE 的中点. 16 ∴ DF ? . ……………………………………………………9 分 9
在 Rt△ CFD 中, CF ? CD ? DF ?
2 2

4 65 ? 16 ? 42 ? ? ? ? . ……………10 分 9 ?9?

2

∴ CF 的长为

4 65 . 9

(23)(Ⅰ)解:由 ?

? ? x ? 3 cos ? , x 2 ? y 2 ? 1, 得 3 ? ? y ? sin ? ,

∴曲线 C 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

…………………………………2 分

由 ? sin(? ?

? ? ?? ? ) ? 2 ,得 ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 2 ,……………3 分 4 4 4? ?
…………………………………4 分

化简得, ? sin ? ? ? cos ? ? 2 , ∴x? y ? 2. ∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 .

…………………………………5 分

(Ⅱ)解法 1:由于点 Q 是曲线 C 上的点,则可设点 Q 的坐标为
17

?

3 cos ? ,sin ? ,…6 分

?

点 Q 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 2 2

…………………………7 分

?? ? 2cos ? ? ? ? ? 2 6? ? .…………………………………8 分 ? 2
当 cos ? ? ?

? ?

??

4 ? 2 2 . …………………………………9 分 ? ? ?1 时, d max ? 6? 2
…………………………………10 分

∴ 点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .

解法 2:设与直线 l 平行的直线 l ? 的方程为 x ? y ? m ,

? x ? y ? m, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 3 ? 0 , ………………………6 分 2 ? ? y ? 1, ?3
令 ? ? ? 6m ? ? 4 ? 4 ? 3m ? 3 ? 0 ,
2 2

?

?

…………………………………7 分 …………………………………8 分

解得 m ? ?2 .

∴直线 l ? 的方程为 x ? y ? ?2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . ∴两条平行直线 l 与 l ? 之间的距离为 d ?

2?2 2

? 2 2 .………………………9 分

∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . (24)(Ⅰ)解:由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,

…………………………………10 分 …………………………………1 分

① 当 x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,解得 x ? 4 . ………………………………2 分 ② 当 1 ? x ? 2 时,得 x ? 1 ? 2 ? x ? 7 ,无解. …………………………………3 分 ③ 当 x ? 1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 解得 x ? ?3 . ……………………………4 分 ∴函数 f ( x) 的定义域为 ? ??, ?3? ? ? 4, ??? . …………………………………5 分

(Ⅱ)解:不等式 f ( x) ? 3 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 , …………………………………6 分 ∵ x ?R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 3 ,…………………………8 分 又不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 解集是 R, ∴ a ? 8 ? 3 ,即 a ? ?5 . ∴ a 的最大值为 ?5 . …………………………………9 分 ……………………………… 10 分

18


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