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高二数学均值不等式复习练习题


高二数学《均值不等式》复习练习题 一、选择题 1.若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是( A.18 2.已知 p ? a ? A. p ? q B.6 C. 2 3 ) D. 24 3 )

1 1 2 , q ? ( ) x ? 2 ,其中 a ? 2, x ? R ,则 p, q 的大小关系为( a?2 2

B. p ? q

Cp?q.

D. p ? q

1 1 1 3.设 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,且 a ? b ? c ? 1 (其中 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ) ,则 M 的取 a b c 值范围是( )

? 1? A. ?0, ? ? 8?

?1 ? B. ? ,1? ?8 ?

C. ?1,8?

D. ?8,???
1 1 ? 的最小值为( a b 1 D. 4

4.设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 A.8 B.4 C.1



5.若实数 x,y 满足 A.最大值 3 ? 2 2

1 1 ? 2 ? 1 ,则 x 2 ? 2 y 2 有( 2 x y



B. 最小值 3 ? 2 2

C. 最小值 6

D.最小值 6

6.已知 a, b, m, n, x, y 均为正数,且 a ? b ,若 a, m, b, x 成等差数列你, a, n, b, y 成等 比数列,则有( A. m ? n, x ? y ) B. m ? n, x ? y C. m ? n, x ? y D. m ? n, x ? y )

7.若 a, b, c ? 0且a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 a ? b ? c 的最小值为( A. 3 ? 1 B.

3 ?1

C. 2 3 ? 2

D. 2 3 ? 2
2 | ab | 的最大值为( | a | ?2 | b |

1 ? 2b 的等比中项,且 ab ? 0 ,则 8.若 a 是 1 ? 2b与



A.

2 5 15

B.

2 4

C.

5 5

D.

2 2

9.已知正数 a , b 满足 4a ? b ? 30 ,则使得 ( ) B. (6,6)

1 1 ? 取得最小值的有序实数对 ( a, b) 是 a b

A. (5,10)

C. (7,2)

D. (10,5)
1

10.若 ? 4 ? x ? 1 ,则 f ( x) ? A.最小值 1

x 2 ? 2x ? 2 有( 2x ? 2

) D.最大值-1

B. 最大值 1

C. 最小值-1

11.在 ?ABC 中,A,B,C 分别为边 a, b, c 所对的角,若 a, b, c 成等差数列,则 ? B 的 范围是( A. 0 ? B ? )

?
4

B. 0 ? B ?

?
3

C. 0 ? B ? )

?
2

D.

?
2

? B ??

12.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 2 ,则( A. ab ?
1 2

B. ab ?

1 2

C. a 2 ? b 2 ? 2 )
2 2

D. a 2 ? b 2 ? 3

13.函数 f ( x) ?
2 5

x 的最大值为( x ?1

A.

B.

1 2

C.

D. 1

二、填空题 14.已知函数 f ( x) ? a x?1 ? 3(a ? 0且a ? 1) 的反函数的图象恒过定点 A,点 A 在直 线 mx? ny ? 1 ? 0 上,若 m ? 0, n ? 0 ,则 15.设 a ? 0, b ? 0, a 2 ?
1 2 ? 的最小值为 m n

b2 ? 1,则 a 1 ? b 2 的最大值为 2
1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ,…启发我们可以得到 x 2 2 x x

16.已知 x ? R ,由不等式 x ? 推广结论: x ?

a ? n ? 1(n ? N * ) ,则 a ? n x

17.设直角三角形三边之和为 p ,则这个直角三角形的最大面积为 18.若 x ? 0 ,则 x ?
2 的最小值为 x

19.已知 a ? 0, b ? 0, m ? lg

a? b a?b ,则 m 与 n 的大小关系是 , n ? lg 2 2

y2 20.已知正数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 0, 则 的最小值为 xz

三、解答题 21.解下列问题: (1)已知 a ? 0, b ? 0 ,且 4a ? b ? 1 ,求 ab 的最大值;
2

(2)已知 x ? 2 ,求 x ?

4 的最小值; x?2

4 9 (3)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,求 ? 的最小值. x y
1 1 22.已知 x ? 0, y ? 0 ,求证: ( x ? y ) 2 ? ( x ? y ) ? x y ? y x . 2 4 23.某商场在促销期间规定:商场内所有商品都按标价的 80﹪出售吧,同时,当 顾客在该商场内消费一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券. 消费金额 (元) … ?200,400? ?400,500? ?500,700? ?700,900? 的范围 获得奖券的金 30 60 100 130 … 额(元) 根据上述促销办法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如购买标价为 400 元的商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为 400×0.2+30=110 元,设购买

商品得到的优惠率=

购买商品和获得的优额 惠 ,试问: 商品的表价

(1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率为多少? (2)对于标价在 ?500,800? (元)的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到
1 不小于 的优惠率? 3

24.函数 f ( x) 对一切实数 x, y 均有 f ( x ? y) ? f ( x) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立, 且 f (1) ? 0 . (1)求 f (0) ; (2)求 f ( x) ;

当0 ? x ? 2 时恒成立,求 a 的取值范围. (3)不等式 f ( x) ? ax ? 5

25. 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1)(a ? 0, a ? 1) 在 (?1,??) 上递减,对于任意的实数
x ? x2 ? 2 1 ). x1 ? 0, x2 ? 0 ,求证: [ f ( x1 ? 1) ? f ( x2 ? 1)] ? f ( 1 2 2

26.设函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx2 ? 3cx 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ? ?? 1,0?, x2 ? ?1,2? . (1)求 b,c 满足的约束条件,并在坐标平面内画出满足这些条件的点(b,c)的 区域; 1 (2)求证: ? 10 ? f ( x2 ) ? ? . 2 27.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y(千辆/ 920 v 小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间的函数关系为: y ? 2 v ? 3v ? 1600 ( v ? 0 ). (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多
3

少(精确到 0.1 千辆/小时)? (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么 范围内?

4


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