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高中数学奥林匹克竞赛训练题34


数学奥林匹克高中训练题(34) 第一试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 2 1.(训练题34)对于一切实数 x,所有的二次函数 f(x)=ax +bx+c(a<b)的值恒为非负实数. 则M = (A) a +b+c 的最小值是 (D). b-a 1 2 (B) 1 3 2 (C)2 (D)3 2.(训练题34)已知曲线 y =ax 与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点 . 如果过 这两个交点的直线的倾斜角为 45°,那么实数 a 的值是(A). (A)2 (B)4 (C) 1 2 (D) 2 1 4 3.(训练题34)已知△ABC 的三边长 a、b、c 满足关系式 a -a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0. 则△ABC 最大内角的度数是 (B). (A)150° (B)120° (C)90° (D)60° 4 3 2 4.(训练题34)设 f(x)=x +ax +bx +cx+d,其中 a、b、c、d 为常数. 如果 f(1)=1,f(2)=2, f(3)=3,那么 [f(4) + f(0)] 的值是(C). (A)1 (B)4 (C)7 (D)8 1 4 5.(训练题34)设函数 y ? f ( x) ? n ?1 x2 ? x ? n , n ? N * ) 的最小值为 an,最 (x? R 且 x ? 2 2 x ? x ?1 大值为 bn,记 cn=(1-an)(1-bn). 则数列{cn} (C). (A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为1的等比数列 (C)是常数列 (D)不是等差数列也不是等比数列 6.(训练题34)设 M 是集合 S={1,2,3,…,1998}的子集,且 M 中每一个正整数(元素) 仅含有一个0. 则集合 M 所含元素最多有 (D). (A)324个 (B)243个 (C)495个 (D)414个 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 2 2 1.(训练题34)已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0和 x +2mx+1=0的四个不同的根在复平 面内对应的点共圆,则 m 取值的集合是 ? 3? ?m ?1 ? m ? 1, or , m ? ? ? 2? ? . 2 . ( 训 练 题 34) 已 知 sin 3α cos3α kπ = = 3(a ? , k ? Z) . 则 tan2 α 的 值 是 π π 4 sin( - 3α) cos( - 3α) 6 6 3 4 . 3.(训练题34)自椭圆 x2 y 2 ? ? 1 的中心作两条互相垂直的弦 AC 和 BD,顺次连结 A、B、 9 4 C、D 得一四边形. 那么四边形 ABCD 面积 S 的最大值是 12 . 4.(训练题34)设正数数列 {an }的前 n 项和为 Sn,且存在正数 t,使得对于所有的正整数 n 有 tS n ? Sn t ? an < t ,那么 t 的取值范围是 成立. 如果 lim an 2 n ?? t? 3 2 2 . 5.(训练题34)已知球内接四棱锥 S—ABCD 的底面是矩形 ABCD,且 SA=4,SB=8,SD=7,∠ SAC=∠SBC=∠SDC. 则 BD 的长是 BD=9 . 6. (训练题34)已知正整数 m、 n 满足 m+n=19. 则关于 x 的方程 cosmx=cosnx 在区间[0, π] 上的解的个数的最大值是 . ?| z1 |? 1, ?| z |? 1, 2 ? ? 三、(训练题 34)

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