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浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题


嘉兴市第一中学 2015 学年第一学期期中考试

高三数学(理科)
合题目要求的.

试题卷

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

1.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?

2) ? ( ▲) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知 p : m ? 1 ? x ? m ? 1, q : ( x ? 2)( x ? 6) ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条件,则 m 的取值范围是 ( ▲ ) A. 3 ? m ? 5 B. 3 ? m ? 5 C. m ? 5或m ? 3 D. m ? 5或m ? 3 3.已知 m 为一条直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ▲ ) A.若 m // ? , ? // ? , 则m // ? C.若 m // ? , ? ? B.若 ? ? ?,m ? ? , 则 m ? ? D. 若 m ? ? , ? // ? , 则m ?

? , 则m ? ?

?

4. 函数 f ? x ? ? 1 ? 2 sin x(sin x ? 3 cos x) 的图象向左平移

?
3

个单位得函数 g ? x ? 的图象,则函数

g ?x ? 的解析式是 ( ▲ )
A. g ? x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 2? 2? ? ? 3 ?

B. g ? x ? ? 2 cos 2 x

C. g ? x ? ? 2 cos? 2 x ?

? ?

D. g ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ?

x+y-2≥0, ? ? 5.若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0, A.-2 B. ?

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( ▲ )

1 2

C.

1 2

D.2

6.在 ?ABC 所在平面上有三点 M 、N、P ,满足 MA ? MB ? MC ? AB ,

???? ???? ???? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? NA ? NB ? NC ? BC , PA ? PB ? PC ? CA ,则 ?MNP 的面积与 ?ABC 的面积比为( ▲ )
A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

·1·

7.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线与双曲 a2 b2

线的右支交于 A, B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e 2 ? ( ▲ ) A. 1 ? 2 2 B. 4 ? 2 2 C. 5 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

8.设 min ? f ( x), g ( x)? ? ?

? f ( x),( f ( x) ? g ( x)) 2 .若 f ( x) ? x ? px ? q 的图象经过两点 ? g ( x),( f ( x) ? g ( x))
( ▲ )

(? ,0),( ? ,0) ,且存在整数 n,使得 n ? ? ? ? ? n ? 1 成立,则

1 4 1 C. min ? f ( n), f ( n ? 1)? ? 4
A. min ? f ( n), f ( n ? 1)? ?

1 4 1 D. min ? f ( n), f ( n ? 1)? ? 4
B. min ? f ( n), f ( n ? 1)? ?
x

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分. 9.已知全集为 R , 集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 , 则 A? B ?
2

?

?

?

?



. A ? CR B ?



. CR ( A ? B ) ?



.

10.已知等差数列 {an } , S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且满足 a4 ? 10, S6 ? S3 ? 39 ,则数列 {an } 的首 项 a1 ? ____▲___ ,通项 an ? ___ ▲___. 11.某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 V = ▲ cm3,表面积 S = ▲ cm2. 12.已知函数 f ? x ? ? ?

?? a ? 1? x ? 4 ? a
x ?6

x?7 x?7

;(1)当 a ?

f ? x ? 的值域为 ▲ 实数 a 的取值范围是

, (2)若 f ? x ? 是 (??, ??) 上的减函数,则 ▲ .

1 时, 2

13. 已 知 平 面 向 量 ? , ? (? ? ? ) 满 足 | ? |?

3 且 ? 与
. ▲ .

则 |m? ? (1 ? m ) ? | 的取值范围是 _▲ ? ? ? 的夹角为150?,
2 2 2

14.已知实数 x 、 y 、 z 满足 x ? y ? z ? 0 , x ? y ? z ? 1 ,则 x 的最大值为

15.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底是边长为 1 的正三角形, 高 AA1 ? 1 ,在 AB 上取一点 P ,设 ?PA1C1 与面

A1 B1C1 所成的二面角为 ? , ?PB1C1 与面 A1 B1C1 所成的二面角为 ? ,则 tan(? ? ? ) 的最小值是
▲ .

·2·

三、解答题(共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 15 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos 2 A ? 3 cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 cos B cos C ? ? ,且 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a .

1 8

17. (本题满分 15 分) 如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,三角形 ACD 是正三角形,且 AD=DE=2AB,F 是 CD 的中点. E (Ⅰ)求证:平面 CBE⊥平面 CDE; (Ⅱ)求二面角 C—BE—F 的余弦值. B

A C 18. (本题满分 15 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M : D

F

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M a 2 b2
1 . 2

于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

(Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积的最大 值.

·3·

19. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值.

20. (本题满分 14 分)
n为偶数, ? 2a n ? 1, ? 2 ? 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 , an ? ? n ? 1 , n ? 2,3, 4,?. ? 2a n ?1 , n为奇数, ? ? ? 2 2

(Ⅰ)求 a5 , a6 , a7 的值; (Ⅱ)设 bn ?
a2n ?1 2n

,试求数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅲ)对于任意的正整数 n,试讨论并证明 an 与 an ?1 的大小关系.

·4·

嘉兴一中 2015 学年第一学期期中考试数学理科答案
一.选择题 DBCA BBCB 二.填空题 9. [2, 4];[0, 2) ? (4, ??) ; (??, 0) 10.. 1;3n ? 2
11.

2 , 6
14.

2 ? 3?3 2 6 15. 作PP 则 作PP , 1 ? A 1 B1 1是 3

12. (1) ? 0, ?? ?

(2)

1 ? a ?1 2

13. [

3 ,+?) 2

三棱柱的高.过 P 则 ?PHP , 1作P 1H ? A 1C1 1 ? ? ,设 AP= x ,BP= 1 ? x (0 ? x ? 1) , tan ? ?

2 ,同 3x

理 tan ? ?

2 3(1 ? x)

tan(? ? ? ) ?

2 3 8 1 ?? 3 (当 x ? 时取等号) 2 3 x(1 ? x) ? 4 13

16. (Ⅰ)由 cos 2 A ? 3 cos( B ? C ) ? 1 得, 2 cos 2 A ? 3 cos A ? 2 ? 0 ,……………2 分 即 (2 cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,所以, cos A ? 因为 A 为三角形内角,所以 A ?

?
3

1 或 cos A ? ?2 (舍去) ……………4 分 2

.…………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? ? cos( B ? C ) ? 则 cos B cos C ? sin B sin C ? ? 由 cos B cos C ? ? 由正弦定理,有

1 , 2

1 ; 2

1 3 ,得 sin B sin C ? ,………………………9 分 8 8

2a sin B 2a sin C a b c ,即 b ? ,c ? ,……………12 分 ? ? sin A sin B sin C 3 3
1 a 2 sin B sin C 3 2 3 2 bc sin A ? ? a ,即 a ? 2 3, 8 2 8 3

由三角形的面积公式,得 S ?

解得 a ? 4 .………………………15 分

·5·

17. (1)证明:因为 DE⊥平面 ACD,DE ? 平面 CDE, 所以平面 CDE⊥平面 ACD. 在底面 ACD 中,AF⊥CD,由面面垂直的性质定理知, AF⊥平面 CDE. 第 17 题 取 CE 的中点 M,连接 BM、FM, 由已知可得 FM=AB 且 FM∥AB,则四边形 FMBA 为平行四边形,从而 BM∥AF. 所以 BM⊥平面 CDE. 又 BM ? 平面 BCE,则平面 CBE⊥平面 CDE.……………………………………………7 分 法一: (2)过 F 作 FN⊥CE 交 CE 于 N,过 N 作 NH⊥BE,连接 HF, 则∠NHF 就是二面角 C—BE—F 的平面角. 在 Rt△FNH 中,NH=

4 3 6 ,FH= , 2 5 5

所以 cos ?NHF ?

NH 3 6 ? FH 8 3 6 ………………………………………………………15 分 8

故二面角 C—BE—F 的余弦值为

法二:以 F 为坐标原点,FD、 FA、 FM 所在直线为 x, y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 F(0,0,0), E(1,0,2) , B(0, 3 ,1), C(-1,0,0), y B M A 则 C 故二面角 C—BE—F 的余弦值为 F D x z

?? 3 可求得面 FBE 的一个法向量为 n1 ? (?2, ? ,1) , 3
平面 CBE 的一个法向量为 n2 ? (?1, 0,1) ,

E

?? ?

3 6 .…………………………………………15 分 8

? x12 y12 ? ? 1 (1 ) ? ? a2 b2 (, x yB ) ,( xy ,2 ) , P ( xy ,0 ) , 18.解: (Ⅰ)设 A 将 A、B 代入得到 ? 2 1 1 2 0 2 ? x 2 ? y 2 ? 1(2 ) ? b2 ? a2 y ? y1 b2 x ? ? 2 ? 0 ,由直线 AB: x ? y ? 3 ? 0的斜率 k=-1, (2)得到 2 x1 ? x2 a y0

,则(1)-

·6·

所以 ?

x b 2 x0 1 2 2 2 得到 a2 ?6,b2 ?3,所 ?b ?c ? ? ? 1 ,OP 的斜率为 0 ? ,所以 a2 ? 2b2 ,由 a 2 a y0 y0 2

以 M 得标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 3
S? 1 CD ? AB 2 可知,当 CD 最长时四

D ?A B (Ⅱ)若四边形 ACBD 的对角线 C ,由面积公式

边形 ACBD 面积最大,由直线 AB: x ? y ? 3 ? 0的斜率 k=-1,设 CD 直线方程为 y ? x ? m ,与

x2 y2 ? ?1 3 椭圆方程 6 联立得:
3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 6 ? 0 , x1 ? x2 ? ?

4m 2m 2 ? 6 , , x1 ? x2 ? 3 3
2? 72 ? 8m 2 ,当 m=0 时 CD 最大值为 4, 9

则 CD ? 1 ? k 2 ( x ? x ) 2 ? 4 x ? x ? CD 1 2 1 2

x2 y2 ? ?1 2 3 联立直线 AB: x ? y ? 3 ? 0与椭圆方程 6 得 3x ? 4 3x ? 0 ,
同理利用弦长公式 AB ? 1 ? k AB
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ?

4 6 3 ,

S ACBD max ?

1 8 6 . CD max ? AB ? 2 3

19. 解: (1)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x 2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?

x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ,令 ? ( x) ? ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 ,所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥ 1), ? (2)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x 2 ? 1| ? a | x ? 1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1 ≤ x ? 1), ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ?
①当

a ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2
[]

且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .
·7·

a a 2 2 a a a2 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h(? ) ? ? a ?1, 2 2 4
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

②当 0 ≤ ≤ 1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ?1] , [? ,1] 上递减,

a a ? 0, 即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ?1] , [? ,1] 上递减, 2 2 2 a a a 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h(? ) ? ? a ?1, 2 2 4
③当 ?1 ≤ 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . ④当 ? ≤

3 a a a ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [? , 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3 ≥ 0 , 2 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . 当

a 3 ? ? , 即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 2

故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 . 综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.

20.(本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)∵ a1 ? 0 , a2 ? 1 ? 2a1 ? 1 , a3 ? 2 ? 2a1 ? 2 , a4 ? 1 ? 2a2 ? 3 , ∴ a5 ? 3 ? 2a2 ? 5 ; a6 ? 1 ? 2a3 ? 5 ; a7 ? 4 ? 2a3 ? 8 . (Ⅱ)由题设,对于任意的正整数 n ,都有: bn ?1 ? ∴ bn ?1 ? bn ? ∴ bn ? ………………3 分
? 2n ? 2a2n ?1 2
n ?1

a2n?1 ?1 2
n ?1

?

1 ? bn , 2

a1 1 1 .∴ 数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 1?1 ? 0 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 2

n ?1 . …………………………………………………………7 分 2 (Ⅲ)对于任意的正整数 k ,
·8·

当 n ? 2k 或 n ? 1,3 时, an ? an ?1 ; 当 n ? 4k ? 1 时, an ? an ?1 ; 当 n ? 4k ? 3 时, an ? an ?1 . 证明如下: 首先,由 a1 ? 0, a2 ? 1, a3 ? 2, a4 ? 3 可知 n ? 1,3 时, an ? an ?1 ; 其次,对于任意的正整数 k , ……………………………………8 分

n ? 2k 时, an ? an ?1 ? a2 k ? a2 k ?1 ? ?1 ? 2ak ? ? ? k ? 1 ? 2ak ? ? ?k ? 0 ;
…………………9 分

n ? 4k ? 1 时, an ? an ?1 ? a4 k ?1 ? a4 k ? 2
? ? 2k ? 1 ? 2a2 k ? ? ?1 ? 2a2 k ?1 ? ? 2k ? 2a2 k ? 2a2 k ?1 ?0 ? 2k ? 2 ?1 ? 2ak ? ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ?

所以, an ? an ?1 .

…………………10 分

n ? 4k ? 3 时, an ? an ?1 ? a4 k ?3 ? a4 k ? 4
? ? 2k ? 2 ? 2a2 k ?1 ? ? ?1 ? 2a2 k ? 2 ? ? 2k ? 1 ? 2a2 k ?1 ? 2a2 k ? 2 ? 4 ? k ? ak ? ak ?1 ? ? 1
事实上,我们可以证明:对于任意正整数 k , k ? ak ? ak ?1(*) (证明见后) ,所以, 此时, an ? an ?1 . 综上可知:结论得证. 对于任意正整数 k , k ? ak ? ak ?1 (*)的证明如下: 1)当 k ? 2m ( m ? N* )时, …………………12 分

? 2k ? 1 ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ? ? 2 ?1 ? 2ak ?1 ?

k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? a2 m ? a2 m ?1 ? 2m ? ?1 ? 2am ? ? ? m ? 1 ? 2am ? ? m ? 0 ,
·9·

满足(*)式。 2)当 k ? 1 时, 1 ? a1 ? 1 ? a2 ,满足(*)式。 3)当 k ? 2m ? 1? m ? N* ? 时,
k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? 1 ? a2 m ?1 ? a2 m ? 2 ? 3m ? 1 ? 2am ? 2am ?1 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1 ? 2am ? ? ?1 ? 2am ?1 ? ? 2 ? m ? am ? am ?1 ? ? ? m ? 1?

于是,只须证明 m ? am ? am ?1 ? 0 ,如此递推,可归结为 1)或 2)的情形,于是(*) 得证. …………………14 分

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·10·


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