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2015-2016学年吉林省延边二中高二下学期期中考试数学(文)试题


延边第二中学 2015-2016 学年度第二学期期中考试 高二年级数学(文)试卷
一、选择题(每题 4 分) 1.若复数 z ? i ? 3 ? 2i ? ( i 是虚数单位 ),则 z ? ( A. 3 ? 2 i B. 3 ? 2 i C. 2 ? 3i

)
D. 2 ? 3i

2. 利用独立性检验来考虑两个分类

变量 X 与 Y 是否有关系时, 通过查阅下表来确定 “X 和 Y 有关系”的可信度。如果 k ? 3.841 ,那么就有把握认为“ X 和 Y 有关系”的百分比为 ( )

P(K 2 ? k0 )

0.50 0.455 B.95%

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0
A.25%

C.5%

D.97.5% ).

3.设 i 是虚数单位,复数 A.2 B.-2

1+ai 为纯虚数,则实数 a 为( 2?i 1 1 C. ? D. 2 2

4.设 ???C 的内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c . 若 a ? 2 ,c ? 2 3 ,cos ? ? 且 b ? c ,则 b ? ( A. 3 ) B. 2 C. 2 2 D. 3 )

3 , 2

5.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an ,则 a2009 ? ( A.6 B. ?6 C.3 D. ?3

6.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下 统计数据表:(单位:万元) 收入 x 支出 y 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
户收入为 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 )
]

C.12.0 万元

D.12.2 万元 )

7.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,前 100 项和 S100=( 100 100 101 101 A. 2 B.2 -2 C.2 -2 D.2
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8.根据右边的图,当输入 x 为 2006 时, 输出的 y ? ( ) A.28 B.10 C.4 D.2 9. 在极坐标系中, 设曲线 C1:? ? 2sin ? 与 C2:? ? 2cos? 的交 点分别为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为( )

1 sin ? ? cos ? ? C. ? ? ( ? ? R ) 4
A. ? ?

1 sin ? ? cos ? 3? ( ? ? R) D. ? ? 4 10.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中
B. ? ? 取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是 ?

? x ? t ?1 , (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程是 ?y ? t ?3
) C. 2 D. 2 2

? ? 4cos? 则直线 l 被圆 C 截得的弦长为(
A. 14 B. 2 14

11.设函数 f’(x)是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数,f(-1)=0,当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,
则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( )

(-?,)( -1 ? 0,1) B. (-1, 0)( ? 1, +?) A.

(-?,)( -1 ? -1,0) D. (0, 1 )( ? 1, +?) C.

12.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,
则下列结论中一定错误的是( A. f ? ) C. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

二、填空题(每题 4 分) 13.观察下列等式:1-

1 1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1- ? ? ? ? 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6 4 5 6

???? 据此规律,第 n 个等式可为__ ____.

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14.设 ?ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 a ? 3 , sin B ? 则b ?

1 π ,C ? , 2 6

15. 已 知 函 数 f ? x? ? axln x , x ?? 0,?? ? , 其 中 a 为 实 数 , f ? ? x? 为 f ? x ? 的 导 函 数 , 若

f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为



? 16.已知直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin(? ? )
A 到直线 l 的距离为

π 4

7? ? 2 ,点 A 的极坐标为 A ? 2 2, 4 ?

? ? ,则点 ?

三、解答题(17、18 题各 10 分,19、20、21 题各 12 分) 17.某城市理论预测 2000 年到 2004 年人口总数与年份的关系如下表所示 年份 200x(年) 人口数 y (十万) 0 5 1 7 2 8 3 11 4 19

(Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ)据此估计 2005 年该城市人口总数。

?? 参考公式: 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? ? y ? bx ,a

18.某高校“统计初步”课程教师随机调查了选该课的一些学生情况,共调查了 50 人,其 中女生 27 人,男生 23 人。女生中有 20 人选统计专业。另外 7 人选非统计专业;男生中中 有 10 人统计专业,另外,13 人选非统计专业。 (1)根据以上数据完成下列的 2×2 列联表 专业 性别 男 女 总计 (2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为主修统计专业与性别 有关系? (附: 非统计专业 统计专业 总计

K2 ?

n(ad ? bc)2 ,临界值表参见选择题 2) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.在平面直角坐标系 xoy 中, 圆 C 的参数方程为 í

ì ? x = 1 + 3cos t (与 (t 为参数) .在极坐标系 ? ? y = - 2 + 3sin t

平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,
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直线 l 的方程为 2 r sin(q -

p ) = m, (m ? R). 4

(Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 20.已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn Sn ?1

21.已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ?1 恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? . ,( )x0 时,

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1.若复数 z ? i ? 3 ? 2i ? ( i 是虚数单位 ),则 z ? A. 3 ? 2 i B. 3 ? 2 i C. 2 ? 3i D. 2 ? 3i

2. 利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 与 Y 是否有关系时, 通过查阅下表来确定 “X 和 Y 有关系”的可信度。如果 k ? 3.841 ,那么就有把握认为“ X 和 Y 有关系”的百分比为 ( )

p?K2 ? k?
k
A.25%

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83
B.95% C.5% D.97.5% ). 为纯虚数,则实数 a 为( D.

3.设 i 是虚数单位,复数 A.2 B.-2 C.-

4.设 ???C 的内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c . 若 a ? 2 ,c ? 2 3 ,cos ? ? 且 b ? c ,则 b ? ( A. 3 ) B. 2 C. 2 2 D. 3

3 , 2

5.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an ,则 a2009 ? ( ) A.6 B. ?6 C.3 D. ?3

6.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下 统计数据表: 收入 x (万 8.2 元) 支出 y (万 6.2 元) 7.5 8.0 8.5 9.8 8.6 10.0 11.3 11.9

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
户收入为 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 )
]

C.12.0 万元

D.12.2 万元 )

7.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,前 100 项和 S100=( 100 100 101 101 A. 2 B.2 -2 C.2 -2 D.2 8.根据右边的图,当输入 x 为 2006 时, 输出的 y ? ( ) A.28 B.10 C.4
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D.2

9.在极坐标系中,设曲线 C1:? ? 2sin ? 与 C2:? ? 2cos? 的交点分别为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为( A. ? ? )

? 3? 1 ( ? ? R) C. ? ? ( ? ? R ) D. ? ? 4 4 sin ? ? cos ? 10.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中
1 sin ? ? cos ?
B. ? ? 取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是 ?

? x ? t ?1 , (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程是 ?y ? t ?3
) C. 2 D. 2 2

? ? 4cos? 则直线 l 被圆 C 截得的弦长为(
A. 14 B. 2 14

11.设函数 f’(x)是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数,f(-1)=0,当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,
则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是

(-?,)( -1 ? 0,1) (A) (-?,)( -1 ? -1,0) (C)
【解析】

(-1, 0)( ? 1, +?) (B) (0, 1 )( ? 1, +?) (D)

xf ' ( x) ? f ( x) f ( x) ' ' 记函数 g ( x) ? ,则 g ( x) ? ,因为当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 , 2 x x
故当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递减;又因为函数 f ( x)( x ? R ) 是奇
'

函数,故函数 g ( x) 是偶函数,所以 g ( x) 在 (??, 0) 单调递减,且 g (?1) ? g (1) ? 0 .当

0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, g ( x) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,综上所
述,使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是

(??, ?1) ? (0,1) ,故选 A.

12. (15 年福建理科) 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满
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足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列结论中一定错误的是( A. f ?



?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

【答案】C

考点:函数与导数.

13.(15 年陕西文科)观察下列等式:

1 1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1- ? ? ? ? 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6 4 5 6
1- ???? 据 ___ 1 ? 此 规 律 , 第 n 个 等 式 可 为

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ____. 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

14.(15 年广东理科)设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a ? 3 ,

sin B ?

1 π , C ? ,则 b ? 2 6

1

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15. (15 年天津文科) 已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? ,其中 a 为实数, f ? ? x ? 为 f ? x ?
的导函数,若 f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为 3 .

? 16.(15 年广东理科)已知直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin(? ? )

π 4

2 ,点 A 的极坐标为

7? ? A ? 2 2, 4 ?

? ? ,则点 A 到直线 l 的距离为 ?

5 2 2

17. (本小题满分 10 分) 某城市理论预测 2000 年到 2004 年人口总数与年份的关系如下表所示 年份 200x(年) 人口数 y (十万) 0 5 1 7 2 8 3 11 4 19

(Ⅰ)请画出上表数据的散点图; (Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅲ)据此估计 2005 年该城市人口总数。
2 2 2 2 2 参考数值:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132, 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30 ,

?? 参考公式: 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? ? y ? bx ,a

【答案】 (1)见解析. (2) y = 3.2 x + 3.6 (3)2005 年该城市人口总数为 196 万。 18.某高校“统计初步”课程教师随机调查了选该课的一些学生情况,共调查了 50 人,其 中女生 27 人,男生 23 人。女生中有 20 人选统计专业。另外 7 人选非统计专业;男生中中 有 10 人统计专业,另外,13 人选非统计专业。 (1)根据以上数据完成下列的 2×2 列联表 专业 性别 男 女 总计 (2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为主修统计专业与性别
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非统计专业

统计专业

总计

有关系? 附:

n(ad ? bc)2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K 2 ? k0 )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

【答案】(1) 列联表见解析 (2)能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,有 95%认为主修统计专业与性别有关系 【解析】 本试题主要是考查了独立性检验的思想在实际中的运用。 根据已知的列联表中的数 据得到 a,b,c,d, 然后代入公式 k =
2

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.8443 ? 3.841 得到的结果 P(k2 23 ? 27 ? 20 ? 30

? 3.841) ? 0.05
可知犯错率,得到结论。 解:(1)根据以上数据完成下列的 2×2 列联表 专业 性别 男 女 总计 非统计 专业 13 7 20 统计专业 10 20 30 总计 23 27 50

??6 分 (2)根据列联表中的数据,得到观测值

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.8443 ? 3.841 k= 23 ? 27 ? 20 ? 30
2

????10 分

P(k ? 3.841) ? 0.05
2

答:在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,有 95%认为主修统计专业与性别有关系 12 分 19. ( 15 年 福 建 理 科 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 圆 C 的 参 数 方 程 为

ì ? x = 1 + 3cos t (t 为参数) .在极坐标系(与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以 í y = 2 + 3sin t ? ?
原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为
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2 r sin(q -

p ) = m, (m ? R). 4

(Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 【答案】(Ⅰ)

( x - 1) +( y + 2)

2

2

= 9 , x - y - m = 0 ;(Ⅱ) m=-3 ± 2 2 .

20.(15 年安徽文科)已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn Sn ?1

【答案】 (1) an ? 2n?1 (2)

2n ?1 ? 2 2n ?1 ? 1

2n ?1 ? 2 ? = 1 ? n ?1 . 2 ? 1 2n ?1 ? 1 1

[学优高考网]

考点:1.等比数列的性质;2.裂项相消法求和.

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21.(15 年福建文科)已知函数 f ( x) ? ln x ?
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1;

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ?1 恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? . ,( )x0 时, 【答案】(Ⅰ) ? 0, ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求导函数 f ? ? x ? ?

? 1? 5 ? (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ) ? ??,1? . ?; 2 ? ? ?

? x2 ? x ? 1 ,解不等式 f ' ( x) ? 0 并与定义域求交集,得 x

函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)构造函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ?1, ?? ? .欲证明 (Ⅲ)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 f ? x ? ? x ?1,只需证明 F ( x) 的最大值小于 0 即可;

x0 ? 1 满足题意;当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,
有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x ? ? k ?x ?1? ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意;当 k ? 1 时, 构造函数 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? ,利用导数研究函数 G ( x) 的形状,只要存 在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时

G ( x) ? 0 即可.
试题解析: (I) f ? ? x ? ? 由 f ? ? x? ? 0 得 ?

1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , x ? ? 0, ??? . x x
解得 0 ? x ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0
2

1? 5 . 2

故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,

? 1? 5 ? ? ? ?. 2 ? ?

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ? 0, ??? .

第 11 页 共 12 页

则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1. (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时, 对于 x ? 1 , 有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? , 则 f ?x ? ? 从而不存在 x0 ? 1 k x? ?1? , 满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? ,

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 则有 G? ? x ? ? ? x ? 1 ? k ? . x x
由 G? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .
2

解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ?1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? . 考点:导数的综合应用.

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