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第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动:《等比数列求和》说课(四川成都市第十八中学校陈华)


课题:等比数列的前 n 项和(第一课时)
教材:全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上) 授课教师:成都市第十八中学校 陈华

各位专家、评委,大家上午好!我是来自成都十八中的数学教师陈华,今 天我要说课的题目是等比数列的前 n 项和.我的说课从以下六个环节来

进行.
一、教材分析
● 教学内容

《等比数列的前 n 项和》是高中数学人教版第一册(上)第三章第五节的内容,本节计 划授课 2 课时,今天我的说课为第一课时. ●地位与作用 本节是数列这章中的一个重要内容,在现实生活中有着广泛的实际应用,另外公式推导过 程中所渗透的数学思想方法,是学生今后学习和工作的必备数学素养.

二、学情分析
● 知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识 内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ● 认知水平与能力:高一学生初步具有自主探究的能力,能把本节内容与等差数列前 n 项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导,但不利因素是本节公 式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导又有所不同,另外,对于 q = 1 这一特殊情况,学 生往往容易忽视.
●任教班级学生特点:我班学生基础知识较扎实、思维较活跃.

依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学 目标:

1.教学目标
●知识与技能目标: 理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上 能初步应用公式. ●过程与方法目标:

在推导公式的过程中渗透数学思想、方法,优化学生思维品质. ●情感、态度与价值目标: 通过学生自主探索公式,激发他们的求知欲,体验错位相减法所折射出的数学方法美.

2.教学重点、难点
● 重点:等比数列的前 n 项和公式的推导和公式的简单应用. 突出重点的方法:“抓三线”,即(一)知识技能线(二)过程与方法线(三)能力线. ● 难点::错位相减法的生成和等比数列前 n 项和公式的运用 突破难点的手段:“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点.

四、教学模式与教法、学法
教学模式 :本课采用“探究——发现”教学模式.

教师的教法:利用多媒体辅助教学,突出活动的组织设计与方法的引导. 学生的学法:突出探究、发现与交流.

五、【教学过程分析】
(一)教学环节 创设情景 提出问题 (4 分钟) 类比探索 形成公式 (20 分钟) 公式应用 培养能力 (11 分钟)

解决问题 前呼后应 (2 分钟)

归纳总结 加深理解 (3 分钟)

延伸拓展 发散思维 (5 分钟)

下面,我就重点介绍一下我的教学过程 教学过程 一.创设情境、提出问题 在这个环节,我分两个部分来完成.首先复习旧知,铺垫新知.接着用多媒体向学生演示了 一个他们所熟悉的动画<喜羊羊与灰太狼>的故事.通过学生观看动画,教师提出问题,学生发现 问题暂不能解决,从而引出课题. 这样设计的目的是: 复习旧知识可以引导学生发现等比数列各项特点,从而为“错位相减法” 推导等比数列前 n 和埋下伏笔.而情景动画的引入让引出课题的同时激发学生的兴趣,调动 学习的积极性.

二.类比探索、形成公式 在这个环节中,我主要依托以下两个探究来完成 2 3 58 59 探究一:如何求和: 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 我先引导学生回忆:等差数列求和的重要方法是倒序相加法,剖析倒序相加法的本质即 整体设元, 构造等式, 利用方程的思想化繁为简, 把不易求和的问题转化为易于求和的问题. 从 而得出求和的实质是减少了项.同时又引导学生思考现在用这种方法还行吗?若不行, 那该怎 样简化运算?能否类比倒序相加的本质,根据等比数列项之间的特点,也构造一个式子,通 过两式运算来解决问题? 从而引发学生的思考、讨论.这就是学生在讨论这个问题的一个片 段。通过学生讨论,学生主要得出了以下三种方法,方法一……..方法二……..方法三……. 通过学生的回答我指出法一的实质就是利用了 2n +2n ? 2n?1 ,但此法不具备一般性,如果把上 式中数字 2 换为 3 或其它的数则不行.而法二和法三的共同点就是充分利用了根据等比数列
1 项之间的特点 an ? qan?1 , an ? an?1 构造式子,通过两式运算来解决问题.而这就是本堂课 q

我要给大家介绍的一种很重要的求和方法——错位相减法,在此处先不着急介绍“错位相减 法”的要点,只让学生有个大致印象,在后面应用中再来强调.
这样设计的意图是:等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经 地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿下功夫,让学生经过思考讨论、 教师引导类比倒序相加求和,运用数学中重要的转化思想,通过构造法发现上述解法.

在探究一的基础上,我再顺势引导学生将问题一般化,类比联想解决问题. 探究二:设等比数列 {a n } 首项为 a1, 公比为q, 如何求此数列前n项的和Sn ? 由于学生已有了上面处理问题的经验,不少学生会想到用“错位相减法” ,这时我放手让 学生自己去探究、讨论.这是学生分组讨论该问题的一个片段.讨论后学生分别展示他们解答. (插视频) ,通过学生的回答(1)强调错位相减法的关键——两个等式相减后,哪些项被消 去,还剩下哪些项,剩下项的符号有何变化?(2)针对同学 2 的回答,我又顺势引导:用错 位相减法构造等式时,两边除乘以 q,
1 , 外还可以乘q 2 ? 其他数,原则是构造的式子能和 q

原式相减、相消后剩余的项较少,较易计算,这实际上也是错位相减法的本质所在.(3)针 对有学生直接得到 S n ?
a1 (1 ? q n ) , 我没着急指出错误, 看有没有同学可以主动发现这个错误, 1? q

而我在上课时就有学生发现了这个问题, 这是该同学指出问题的一个片段.那为什么会出现这 个问题,我又引导学生反思,回到推导过程中找原因.若上课时实在没有学生发现这个错误,

100 也没有关系,可在稍后用一个练习比如:S100 =2+2+2+?+2( 个2相加) 来剖析这个易错

知识点,进而更好掌握公式的本质! (4)在得出这个公式后,学生很容易根据等比数列的通项公式把公式进一步完 善. S n ? ? a1 (1 ? q n ) ?
? 1? q ? ?na1 ( q ? 1) ?

教师和学生一起分析式子的结构特征并强调 q ? 1时 该求和公 a1 ? an q (q ? 1) 1? q

式中有 5 个量,知 3 求 2 的方程思想.

这样设计的意图是:营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下,一方 面让学生经历从特殊到一般,从已知到未知,步步深入的过程,让学生自己探究公式,从而 体验到学习的愉快和成就感.另一方面学生的错误教师不忙指出,让学生体验:自己推导出 公式(不完整)──公式应用──得出矛盾──完整公式这个过程,让学生在矛盾中感悟, 在参与和笑声中牢牢地记住了公式,从而掌握公式的本质. 在推出公式后,我又抛出了一个问题. 课后探究:探究等比数列前 n 项和公式,还有其它方法吗? 由于本节课的重点难点在于用错位相减法推导公式,所以这个问题留于学生课后探索,在下 节课在来展示.这样设计的意图在于通过不同推导方法的研究, 可以使学生从不同的思维角度 掌握了等比数列前 n 项和公式.它源于课本,又高于课本, 是优秀学生研究性学习和课后 拓展学习的极佳资源. 三、公式应用、培养能力 在这个环节我准备了两个组题 第一组:判断是非.由学生自主完成此题, 设计本题的目的在于进一步剖析公式中的基本量及结构特征,识记公式,同时也培养学生分 类讨论的数学思想.

第二组题:由课本中的例题及例题的改编而组成,采用变式教学设计题组. 设计目的在于深化学生对公式的再认识和理解,通过直接套用公式、变式运用公式、进一步 渗透求和公式中五个量知三求二的方程思想,促进学生新的数学认知结构的形成,而一题多 解,培养学生的发散性思维.通过以上形式,让全体学生都参与教学,使学生由简单地模仿 和接受,变为对知识的主动求索,从而有利于提高思维的灵活性和梯度以此培养学生的参与 意识和竞争意识. 四、延伸拓展、发散思维

在本环节我采用弹性教学设计的方式,根据实际的上课情况来考虑是在课堂上就解决此题, 还是作简单分析后在课后由学生自主探索. 设计意图: 该题型就是下节课重点所研究的问题,通过它一方面可引导学生思考错位相减法可 以用于哪些特征的数列求和,用错位相减法的解题的基本步骤、关键所在,进一步揭示错位 相减法的本质,回归方法、提炼方法. 另一方面为下节课的学习打好了坚实的基础. 而采用 弹性教学的设计方式,更大限度的提高了课堂教学的针对性、实效性、灵活性. 五、总结归纳、加深理解 引导学生自主从知识、方法、思想三个方面进行归纳,教师加以补充强调. 这样设计的目的在于:一方面,培养学生自我归纳、总结的能力,另一方面,把知识的归纳 进一步延伸到方法思想的提炼,提高了学生数学素养和文化水平. 六、解决问题、前呼后应 通过多媒体动画回到引入课题时提出的问题,让学生在观看动画的笑声中解决问题. 设计意图:把引入课题时的悬念给予释疑,前后呼应 作业设计: 作业进一步巩固了本节课知识,并拓展了学生数学的文化知识,而巩固作业和创新作业两种设计 体现了不同的人在数学上得到不同的发展的新课标教学理念. 板书设计:

六、教学反思:
根据教学经历和学生的反馈信息,我对本课有如下几点反思: (1) 在教学过程中,我重点突出了学生活动,设计了四个活动环节:(1)公式的探究活动; (2)公式的应用;(3)方法的拓展;(4)学生课后的拓展学习.根据实际教学情况,学 生掌握本课知识较好。 (2)本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理,对重、难点知识采用“欲扬先 抑”的方法,让学生在错误中感悟,在争论中抓住问题的本质. (3) 本课特别强调对学生数学思想方法的渗透贯彻了新课程的理念. (4) 本节课充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技术作为学生学习解决问题的 强有力工具,使学生乐意投入其中. (5) 学生探究等比数列前 n 项公式过程中,大多数学生忽略了对 q =1 的讨论,这反映出学 生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.


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