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高考数学之集合习题详解


高考综合复习 集合与简易逻辑专题练习 一.选择题(每题 4 分,共 32 分) 1.已知全集 U,M、N 是 U 的非空子集,且 A. M N B. M N C. M= M N N,则必有( D.M=N )

2.满足 {1} A.5

A {1, 3, 5} 且 A 中所有元素之和为奇数的集合 A 的个数是 2, 4, , ( B.6 C.7 D.8



3.已知 p:A C.充要条件

B;q:A

B=B ,则 p 是 q 的( B.必要不充分条件



A.充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件 p是 q 的( )

4.设 p:x<-1 或 x>1; q:x<-2 或 x>1,则 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.设 并且 ,







, A.x+y∈Y

,则(

) B.x+y∈X C.x+y∈M D.x+m∈Y

6.已知集合





,则 M,N,P 满足关系(



A.M=N

P

B.M

N=P

C.M

N

P

D.N

P

M

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 1.已知命题 或 , ,则 p 是 q 的 条件.

2.已知命题





,则 p 是 q 的

条件.

3.“p 或 q 为真命题”是“p 且 q 为真命题”的

条件.

4.已知真命题“ 件.

”和“

”,则“

”是“

”的



三.解答题(本大题共有 4 题,满分 48 分) 1.(本题满分 12 分) 已知非空集合 2.(本题满分 12 分) 已知集合 且 A∩B≠ , A∩C= 同时成立,求实数 a 和集合 A. , ,求函数 的值域.

3.(本题满分 12 分) 已知集合 素时,求实数 m 的取值范围. 4.(本题满分 12 分) , ,C=A∩B,当 C 中仅含两个元

已知集合 ∪B)∩C= , (A∪B)∪C=R,求 a,b 的值。 答案与解析 一.选择题 1.选 A 解析: M N N M.

, 且(A

特取符合题意的集合 M={1,3},N={2},U={1,2,3}则 由此否定 B,C,D,故应选 A.

M={2}, N={1,3},

2.选 C 解析:由{1} A 得 1∈A.故满足 的

双元素集合 A 个数为 三元素集合 A 个数为 四元素集合 A 个数为 五元素集合 A 个数为

,其中 2 个满足所有元素之和为奇数; ,其中 2 个满足所有元素之和为奇数; ,其中 2 个满足所有元素之和为奇数; , 这 1 个满足所有元素之和为奇数.

于是可知满足所有已知条件的集合 A 的个数为 7. 3.选 A 解析:A 又A B=B B A A B=B ,即 B,即 q p ;

∴p 是 q 的充分而不必要条件. 4.选 A 解析:这里 ∴ ∴ 是 ,但 的充分而不必要条件. ,

5.选 C 解析: 从认知集合切入.在这里 M 为奇数集, 为偶数集, 由被 4 除余 1 的奇数构成, X Y Y M. ∴这里 m 为奇数,x 为偶数,y 是被 4 除余 1 的奇数(一类奇数),由此否定 A.B.D,本题 应选 C. 6.选 B

解析:对于集合

,m∈Z;

集合

,n∈Z;

集合



∵3(n-1)+1,3p+1 都表示被 3 除余 1 的数. ∴N=P. ① 而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数(真包含于被 3 除余 1 的数中), ∴M P ②

∴由①,②知应选 B.

二.填空题 1.答案:必要而不充分 解析:运用原命题与它的逆否命题等价进行转化. 这里 ∴ ∴ ,p p:x=3 且 y=2, , q q:x+y=5.

∴p 是 q 的必要但不充分条件. 2.答案:既不充分又不必要 解析:这里 ∴ ∴q p且p 且 q 或 y=2,

∴p 是 q 的既不充分又不必要条件. 3.答案:必要不充分. 解析: 甲:p 或 q 为真命题 包括 p 真 q 真,p 真 q 假,p 假 q 真三种情形. 乙:p 且 q 为真命题只有 p 真 q 真. ∴甲 乙,乙 甲 ∴甲是乙的必要不充分条件. 4.答案:充分非必要条件 解析:仍运用等价命题进行转换. ∵ 又 ∴由①,②得 ,∴ ② . ①

又反之不成立,故“

”是“

”的充分非必要条件.

三.解答题 1.分析: 注意到非空集合 为主元的含参方程 2xm+(x-1) =0 的解集. 又 ,所以 2x≠0,即 x≠0.
2

中的代表元素为 m, M 是以 m 故

于是解题便从解方程 m(2x)+(x-1)2=0(x≠0)入手深入展开.

解:

非空

方程 m(2x)+(x-1)2=0 有解

x≠0

又 m(2x)+(x-1)2=0

∴当 x>0 时,



当 x<0 时, ∴由①,②得 ∴ 因此,当 x∈M 时,有 ∴ 即 ∴所求函数的值域为(,-1] [3,+ ). 或 或 , 或



错误解法:由 或 .

非空得

错因分析:所得 m 的取值范围虽然“殊途同归”,但对集合 M 的理解有误.这一解法客观上是 理解为集合 {x|x2+2(m-1)x+1=0}非空,而未能注意到集合 M 中的代表元素为 m. 重申:认知集合,从认识代表元素开始,不可忽视了这关键的第一步.

2.分析:解决集合的问题,一般从化简和认知集合切入,从有关元素与集合或集合与集合之 间的关系突破. 在这里,首先认知:B={2,3},C={-4,2},A 是一元二次方程 x2-ax+a2-19=0 的 解集.进而从 A∩B≠ ,A∩C= 入手突破.

解:由已知得 B={2,3},C={-4,2}. 注意到 a 为集合 A 中二次方程的系数,故从考察有关元素与 A 的从属关系突破: A 又 C= , A∩B≠ 9-3a+a2-19=0 a2-3a-10=0 a=-2

即 3 为方程 x2-ax+a2-19=0 的一个根. 或 a=5 (1)当 a=-2 时,x2-ax+a2-19=0 此时 A={-5,3}满足已知条件. (2)当 a=5 时,x2-ax+a2-19=0 此时 A={2,3}与 2 A 矛盾.

x2+2x-15=0 x2-5x+6=0

(x+5)(x-3)=0 (x-2)(x-3)=0

x=-5 或 x=3 x=2 或 x=3

于是由(1),(2)可得 a=-2,集合 A={-5,3}. 3.分析:在这里,A、B 为点集或二元方程的解集,注意到描述集合 A、B 的函数的图象为 我们所熟知,故想到运用数形结合的思想:从有关方程的实解情况切入,向相关函数的图象的交 点问题转化。 解: ∵C=A∩B,且 C 中仅含两个元素

∴这里 m≠0,且所给问题 不同的实数解(*)

方程 m|x|=x+m 有两个实解。

有两个

构造函数

则(*)

在同一坐标系内,函数

的图象有两个交点。

(1)当 m>0 时,有

(2)当 m<0 时,有 于是综合(1)、(2)得所求 m 的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞)

4.分析:注意到这里 A、B 为已知集合,故循着上述例题的解题思路,从化简集合 A、B 切 入,进而利用所给集合间的关系,寻求或了解集合 C 的特性.本题难点的突破,就在于对集合 C 的寻觅与了解.

解:对于 A,由



或 x=0 ∴A={0}∪[1,3].

对于 B,由

∴B= 于是可得 A∪B=[0,3]. 又∵(A∪B)∩C= ,(A∪B)∪C=R, ∴C=(-∞,0)∪(3,+∞) 此时,注意到 C={x|ax -x+b>0}, ∴由①、②得 ax2-x+b=ax(x-3)且 a>0
2

① ②

因此,比较等式两边的系数得



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