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第24~27届北京市高中力学竞赛决赛汇编


第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题 届北京市高中力学竞赛决赛试题
(北京四中杯)

一、填空题( 填空题(6 小题, 小题,每小题 9 分,共 54 分) 1. 如图 1 所示,一根长绳悬吊在定滑轮的两侧,体重相同的甲、乙两人分别抓住绳的一端, 甲身体虚弱只能紧紧抓住绳不放,乙身体强壮能用力牵引自己沿绳向上爬行. 经过一段时间,乙 上升的高度为

h,在这段时间内甲上升的高度_______(填小于、等于或大于)h,原因是
如图 2 所示,一个弹簧称上端固定,下端用一根竖直线向下拉弹簧秤,线下端固定,弹 则弹簧秤示数为_____N, 理由是_______ 簧秤示数为 4N. 如果弹簧秤下端悬吊一重为 1N 的重物,
2. _____________________________________________. .

时间 120 分钟 满分 150 分

m2


1


2

h m1

图1 图2 图3 3. 两个物体各重 m 和 m ,用不可伸长绳连接,此绳跨过一定滑轮,滑轮半径为 r.如图 3 所 示,开始时,两物体高度差 h, m > m 。不计滑轮质量和摩擦.由静止释放,问两物体达到同一 高度所需时间____________. A B 4. 如图 4 所示,从同一高度的 A、B 处垂下两根长度相同的绳,绳下端 分别站有质量相同的甲、乙两人,甲旁的绳可认为不可伸长,乙旁的绳有明 显的弹性,当两人分别沿绳爬到 A、B 处时,比较两人做功的多少的结论是 ________________,理由是____________________________. 甲 乙 图4 地球 5. 我们可近似认为地球绕太阳做匀速圆周运动,月球绕地球做匀速 月亮 圆周运动,它们的运动轨迹在同一个面上,以太阳为参考系,月球的运动 轨迹可粗略画成如图 5 所示的虚线,这种画法__________ (填正确或错 太阳 误) ,理由_____________________________________________________. 图5
2 1

如图 6 所示,长为 L 的一段细线,一端固定在 光滑水平面上的 O 点,另一端栓住一质量为 m 的小 O 物体. 开始时,物体距 O 点为 b,b﹤L,给物体一个 初速度 v ,θ 已知. 当物体运动到距 O 点为 L 时线绷 图6 紧,物体绕 O 点做半径为 L 的圆周运动,此时线的张 力等于 ____________. 二、计算题( 计算题(共 96 分) 7. (15 分)悬臂架的端部 A 和 C 处有套环,恰好套在铅垂的圆柱上,可以上下移动. 如果 υρ 在 AB 上作用铅垂力 υρ F ,如图 7 所示,当 F 离开圆柱较远时,悬臂架将被圆柱上的摩擦力卡住而 F离 不能移动.设套环与圆柱间摩擦系数均为 ?,架重不计,求:悬臂架不至于被卡住时,铅垂力 υρ 圆柱的最大距离 x . x
6.
0

A

F B

b

C

图7 8.(18 分)弹性球自高处 h 自由落在水平地板上,球从地板上弹起又垂直落下,这样继续弹 跳. 如果每次碰撞前瞬间速度 ,碰后瞬间速度为
ρ v ρ v'
ρ v ρ =-k (0 k 1) . v'

a

﹤ ﹤ 求弹性球行走的路程。

(空气阻力不计)

(18 分)一小球斜向上抛出,抛出的初速度与水平方向的夹角为 θ,经过一段时间位移与 水平方向夹角为 α,速度与水平方向的夹角为 β,不计空气阻力,则 θ 与 α、β 之间的关系表达式 是什么?
9.

(20 分)2011 年 3 月 11 日日本发生 9 级大地震,地震引发海啸,导致福岛核电站发生 核泄漏. 在核泄漏中,有四种放射性同位素是对人体比较有危险的:碘-131、铯-137、锶-90、钚 -239. 它们放出高能量粒子会对人体造成伤害,导致人体细胞癌变. 人体细胞可以看作质量为 M 的小球,两细胞间的链接物可看作轻杆(设长度为 l),如图 8 所示. 当质量为 m 的高能粒子以 速度 v 垂直于链接物射向人体细胞,与细胞发生正碰并留在细胞里时,忽略人体其它任何影响, 试求两细胞的运动规律和链接物受力大小.
10.

M

m, v

图8

11. 25

( 分)有一颗质量为 m 的小星体 A. 围绕某质量为 M,半径为 R 的大星体作半径为 2R
GM R

的圆周运动. 从远处飞来一速度为 v =

、质量为 2m 的星体 B 与 A 星迎面发生剧烈正碰后

形成一个新的星体 C. 假定碰撞前后位置未发生变化. (1)请通过计算判断新的星体 C 是否会与大星体发生碰撞. (2)如果 B 星从 A 星背面恰好沿着 A 星的运动方向追上它并发生上述碰撞,请通过计算判 断 C 是否会与大星体发生碰撞.

第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案

一、填空题 1. 等于;绳对甲、乙两人的拉力大小相等。 2. 4N;线长度发生微小缩短,线拉力减小为 3N。
3. t = 4.

(北京四中杯)

h ( M 1 + M 2 )h = a (M 2 ? M1 ) g

两人做的功相等;甲与绳、乙与绳的出末状态相同,绳的弹性不影响乙做功多少。 5. 错误;太阳对月球的引力总比地球对月球的引力大,以太阳为参考系,月球的运动轨迹 总是凸形的。
6.

二、计算题 7. 解:设 x 为临界状态时的距离 力平衡 N ? N = 0
C A

2 2 mv0 b sin 2 θ l3

fA

力矩平衡 A 为参考点
fA = ? NA

f A + fC ? F = 0

(1) (2) (3)

NA

A b fC a

x

F B

C

NC

a? ? NC b + fC a ? F ? X + ? = 0 2? ? fC = ? NC

联立: X = 2b? 所以 X < 2b? 解:第一次碰撞瞬间速度 v = 2mh 碰撞后速度 v ' = 2mh 。h 为弹起的高度。 所以 h = k h h = k h 第二次 h = k h = k h …… 第 N 次 h = k h = k h 所以 S = h + 2h + 2h + ...... + 2h + ...... = h + 2k h (1 + k
8.
1 1 1 1
2

1

1

2

4

2

2n

2

1

n

n ?1

2

2

1

2

n

+ k 4 + ......)

=h+

2k 2 h 1+ k 2 = h · 1? k 2 1? k 2

9.

解:小球的运动情况如图所示,可得
x = v0t cos θ

v β v0 r θ α x y

又有 v cosθ = v cos β 所以 tan θ = 2 tan α ? tan β 10. 解:设链接物长为 l 忽略人体其他任何影响,碰撞时动量守恒,有:
0

v0 sin θ + v sin β t 2 y v sin θ + v sin β tan α = = 0 x 2 cos θ y=

M l

mv = ( 2M + m ) vC

式中 v 为质心的速度,由此得:
C

m v



vC =

方向与 v 相同,所以系统的质心以 v = 2Mm+ m v 的速度做匀速直线运动。由于整个系统对 质心没有外力矩作用,故系统对质心的角动量守恒,即:
C 2 mvx2 = Mx12ω + ( M + m ) x2 ω

m v 2M + m

其中 x

2

=

Ml 2M + m

+m ; x = 2M l ,分别为碰撞后右边小球和左边小球到质心 C 的距离。 M +m
1

式中 ω 为两细胞对质心的角速度,即两细胞绕质心做匀速圆周运动,同时质心做匀速直线运 动。 ω = ( M mv c + m) l 链接物受力大小为:
Mm 2 v 2 ? Ml ? T = ( M + m)ω ? ?= ? 2 M + m ? l ( M + m )( 2 M + m )
2

2 ? ? M + m ?2 Ml ? M ? ? 2 mv = ?M ? ? + ( M + m) ? ? ?l ω 2M + m ? 2 M + m 2 M + m ? ? ? ? ? ? ?

11.

解:A 星运动的速度 v =
1

GM 2R
1 2 2 2

(1)碰撞剧烈,动量守恒: mv ? 2mv = 3mv (v 为 C 星速度) v
C

=

1? 2 2 3

GM 2R

星的能量 E = E

k

GM ( 3m ) GM ( 3m ) 1 2 + E p = 3mv2 ? =? 2 2R 2 × 1.2 R

根据 E<0,所以轨迹为椭圆。 又根据能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系 E = ? GM2(a3m ) ,所以 a = 1.2R 。形成 C 星的起始位 置为椭圆的远地点,判断是否与大星体相碰,看 r近 ≤ R 。现在 r 近 = 2a-r 远 = 2.4R-2R<R,故一 定相碰。 (2)碰撞剧烈,动量守恒: mv + 2mv = 3mv (v 为 C 星速度) v
1 2 2 2

=

1+2 2 GM 3 2R

C

星的能量 E = E

k

GM ( 3m ) GM ( 3m ) 1 2 + E p = 3mv2 ? =? 2 2R 2 × 5.4 R

根据 E<0,所以轨迹为椭圆。 又根据能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系 E = ? GM2(a3m ) ,所以 a = 5.4R 。形成 C 星的起始位 置为椭圆的近地点, r近 =2R>R ,所以一定不会发生碰撞。 链接物受力大小
Mm 2 v 2 ? Ml ? T = ( M + m)ω ? ?= ? 2 M + m ? l ( M + m )( 2 M + m )
2

2R

O

R

第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试卷
(北京四中杯)

一、填空题( 填空题(6 小题, 小题,每小题 8 分,共 48 分) 1. 一跳远运动员在地球表面跳远,起跳时速度为 10m/s,能跳出 7.5m 远. 已知月球表面的重 力加速度是地球表面重力加速度的 1/6,如果他在月球表面跳远,起跳速度大小也是 10m/s,他跳 远的记录将是 m. 2. 一举重运动员能举起 100kg 的重物,他对一根羽毛能施加 1000N 的力吗? 答: ,理由是 . 3. 嫦娥飞船绕月球做匀速圆周运动,测出其周期为 T,则飞船距月球表面的距离为 h,可否
不计地球引力而近似表 述 为 答:
4.

h=

3

GMT 2 ?R 4π 2

, 其中

M

是月球的质量, R 是月球半径 .
.

,理由是

据北京晚报 2012 年 3 月 17 日和参考消息 3 月 18 日报道,奥地利勇士鲍姆加持纳从 2.18 万米高空的氦气球吊篮中跃下,下落的最高速度到 163m/s.下落约 3 分 43 秒,距地面 2400m 高处 打开伞,整个下落到地面的时间持续 8 分 8 秒. 试根据报纸报道和你的分析,在图 1 中比较准确 地画出奥地利勇士下落到地面过程的 v-t 图线.
v / m s-1 175 150 125 100 75 50 25

·

O

t/s 60 120 180 240 300 360 420 480

图1

下雨天,假设无风,雨滴以速度 v 竖直下落,雨滴在空中的分布是均匀的,单位体积的雨 量是 ρ. 如图 2 所示,一个人要从 A 处运动到 B 处,他没有带伞,A、B 的距离为 l,人的运动速 度为 v . 把人简化为长方体模型,头和肩的水平面积为 S ,身体前方正面的竖直面积为 S . 则人 从 A 到 B 过程中,打到面积 S 上的雨量为 ,打到面积 S 上的雨量为 .
5.
1 2 1 2 1 2

S1

v1

S2

v2

A

图2

l

B

三个质量均为 m 的小球 A、B、C,用轻杆连接,如图 3 所示. A、B 与 B、C 的距离相等, A、B、C 与地球中心 O 在一条直线上. 三个小球在高空绕地球做匀速圆周运动,如果轻杆收到扰 动而偏离直线一小角度 θ,则轻杆与直线的偏角 θ 将 (增大、减小、不变) ,理由是 .(本题说明控制卫星天线 总指向地球的基本原理)
6. A
O

B θ

C

地球
A B θ b C

图3 二、计算题( 计算题(共 102 分) 7.(16 分)两个相同的半球,半径都是 r,质量为 0.5m, 放在静摩擦因数为 ? = 0.5 的水平面上. 在两个半球上放一个 半径为 r,质量为 m 的光滑球,如图 4 所示. 求在平衡状态下 两球球心之间的最大距离 b.

图4

. (16 分)两个质量分别为 m 和 m 的小球,它们之间的相互作用表现为斥力(斥力大小表 达式为 k mrm , k 是常数, r 为两球之间距离). 现已知 m 以速度 v 接近 m ,瞄准距离为 b, 即 m 到 m 速度方向的垂直距离为 b,如图 5 所示. 求 m 小球接近 m 小球的最近距离 d. 设 m << m ,小球 m 可近似看作静止.
8
1 2
1 2 2 1 0 2 2 1 1 2 1 2 2

m2 b v0 m1 d

图5

v

. (20 分)如图 6 所示,质量为 m 的小球,用不可伸长的线悬于固定点 O,线长为 l,初始 线与铅垂线有一个夹角,初速为 0. 在小球开始运动后,线碰到铁钉 O . 铁钉的方向与小球运动 的平面垂直. OO =h<l,且已知 OO 与铅垂线夹角为 β,设 l 与铅垂线夹角为 α . 假设碰后小球恰 能做圆周运动. 求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化. O
9
1 1 1

α β O1

l

图6

( 分)如图 7 所示,理想滑轮(轻质,无摩擦)两端悬挂 两个质量均为 m 的砝码盘. 用轻线拴住劲度系数很大的轻弹簧(弹 簧劲度系数为 k)两端使它压缩的长度为 l,将此弹簧竖直放在左侧 砝码盘上,弹簧上放一质量为 m 的砝码. 右侧砝码盘上也放置质量 为 m 的砝码,使两盘静止. 燃断轻线,轻弹簧达到自由伸展状态即 与砝码脱离. 求(1)此系统(包括两个盘、两个砝码、弹簧和细绳) 中哪些量守恒?(2)使用守恒定律求砝码脱离弹簧后升起的高度.
10. 25

m

图7

. (25 分)三个质量为 m 的小球用两根长为 l 的不可伸长细绳相连. 初始时刻,三个小球 在一条线上,静止放在光滑水平面上,标号分别为 1、2、3,如图 8 所示. 给标号为 3 的小球以 初速度 v ,则这三个小球运动起来,求 1、2 两球相遇时的速度为多大?
11
0

1

3

2

v0

图8

第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案 参考答案
(北京四中杯)

一、填空题 1. 45 . (8 分) 2. 不能 (2 分).一根羽毛不能对运动员施加 1000N 的力,根据牛顿第三定律,运动员也不 能对羽毛施加 1000N 的力. (6 分) 3.可以(2 分) .在地球引力所用下,月球(携带飞船)绕地球做匀速圆周运动,可认为月 . 球飞船处于失重状态,可只考虑月球对飞船的引力作用(6 分) 4.
v/m?s-1 163

t /s 233 488

5

. ρ S v vl ; (4 分)
1 1 2

ρ S 2l

. (4 分)

减少(2 分) ,B 球受地球引力与惯性离心力平衡,A 球受引力大于惯性离心力,合力指向 地球,C 球受引力小于惯性离心力,合力背向地球,A、C 球受力的力矩使 θ 角减少(6 分) .
6.
A O B C θ

地球

二、计算题 7. 解:设最大距离时摩擦力为 f ,AB 球心连线 与竖直夹角 θ. 对 A 球 y 方向: 2 N cosθ = mg (3 分)
max

y

NB

N

对 B 球 y 方向:

对 B 球 x 方向: f

mg 2 cos θ 1 N B ? mg ? N cos θ = 0 2 1 1 N B = mg + mg = mg 2 2 N=
max

θ

x

(3 分) (3 分) (1 分)

fmax
0.5mg

? N sin θ = 0

f max = ? N B =

1 mg 2

1 mg mg ? sin θ = 0 2 2 cos θ

tanθ = 1
tan θ = bmax b (2r ) ? ( max ) 2 2
2

=1

(3 分)
bmax = 2 2r

3 3 bmax bmax 2 = 4r ? 4 4

2 bmax = 8r 2

(3 分)

.解: m 小球受力始终指向 m 小球中心, m 小球在一平 rv 面内运 动.如图所示.设 z 轴垂直于此平面且通过 m 小球中心, γ 则 m 小球所受力对 z 轴的力矩为零,即对 z 轴角动量守恒.m 小 球以速度 v 运动,对 z 轴角动量是 rm v sin γ ,但 r sin γ = b ,故 rm v sin γ = bmv , m 小球 最接近 m 小球(距离为 d)时,即无继续向 m 小球运动的速度,又无远离 m 小球的速度,此 刻的速度 v 应与 m 小球至 m 小球的连线垂直,角动量是 dm v .于是 dm v = bm v (1) (5 分)
8
1 2 1 2

0

1

1

0

1 0

1 0

0

1

2

2

2

1

2

1

1

1 0



v=

v0 b d

在散射过程中,只有斥力作用,故能量守恒。最初,其能量为 1 m v 动能,到达离 m 小球最近 2 时,其总能量为
2 1 0 2

mm 1 m1v 2 + k 1 2 2 d

, (2) (5 分) (4 分)

后一项为斥力势能,k 为一常数.因此,
mm 1 1 2 m1v 2 + k 1 2 = m1v0 2 d 2

有(1) (2)得
d

只能为正,故式中负号无物理意义,舍去.
2

? m2 ? m 2 d = k 22 ± ? ?k v2 ? ? +b v0 ? 0 ?

2

? m2 ? m 2 d = k 22 + ? ?k v2 ? ? +b v0 ? 0 ?

(2 分) 9.解:假设碰后小球能作圆周运动,运动到最高点的速度 v 可由 (3 分) (5 分)

mv 2 = mg (l ? h )

得出 v = (l ? h) g 设初始夹角为 α 由机械能守恒得到: 1 mv 2
2

2

= mg[h cos β ? l cos α ? (l ? h)]

mg (l ? l cos α ) =

1 2 mv 2

假设碰前瞬时速度为 v 则: 1 mv = mgl (cos β ? cos α ) 2
1
2 1

h 3 3 cos α = [ ( + cos β ) ? ] l 2 2

(2 分) (3 分)

v1 = 2 gl (cos β ? cos α )

碰前: T ? mg cos β = mv l
1

2 1

T2 ? mg cos β =
T2 ? T1 =

mv12 (l ? h)

(3 分) (4 分)

解: (1)该质点系能量守恒(3 分) ,对滑轮轴的角动量守恒(2 分) 。 (2)设滑轮半径为 R,弹簧释放后,弹簧上边的砝码获得的速度为 v,方向向上,左边砝码盘及 右边砝码盘及砝码获得的速度大小是 v'。该质点系对滑轮轴的角动量守恒,有: - mvR+mv’R+2mv’R = 0, (6 分)即 v = 3 v' (1) (3 分) 能量守恒(因为弹簧弹性系数很大,所以忽略重力势能的微小变化) ,有: 1 1 1 kl = mv + (3m)v (6 分) 2 2 2 即 mv + 3mv = kl (2) 左盘中的砝码脱离弹簧获得速度 v 后做竖直上抛运动
10.
2 2 '2 2 '2 2

2mgh 2mgh = 3 (l ? h)(cos β ? cos α ) l ( + cos β ) 2

1 2 v2 mv = mgh ∴ h = 2 2g

(3)

(3 分)

由⑴⑴可求得 v
h= 3kl 2 8mg
11

2

=

3kl 2 4m

,代入⑶中得:

(2 分)

.解:设运动起来后三小球竖直方向速度大小为 v ,1、2 球相遇时速度大小为 u .由于是 光滑水平面,所以运动起来前后动量守恒、能量守恒,有 mv = 3mv (1) (10 分) 1 1 1 mv = mv + 2 × mu (2) (10 分) 2 2 2 2 解得 u= v (5 分) 3
0 2 0 2 2 0

第 26 届北京市高中力学竞赛决赛试题
(景山学校杯)

一、填空题( 填空题(6 小题, 小题,每小题 8 分,共 48 分) 1. 北京在地球表面的位置约是东经 117?、北纬 37?,莫斯科的位置约是东经 37?、北纬 56?. 据报道说,习近平主席计划莫斯科时间上午 10 点在莫斯科国际关系学院举行报告.试估计在北京 的时间应是 ,理由是
.

如图 1 所示,光滑轨道 PABCDE 由直轨道和两个半径均相同的圆弧轨道连接而成. 小滑块 由高 h 的 P 点释放滑下,无论 h 取何值,滑块不会脱离轨道的部分是 ,可能最先脱离 轨道的部分是 ,经过该部分之后可能脱离轨道的部分是 .
2.

P

h A

O R
R B
图1

D R E C R R O
图2

F

如图 2 所示,一块密度为水密度的 1/2 的塑料块连接到轻弹簧的一端,弹簧另一端固定在 桶底,塑料块完全浸没在水中时弹簧伸长 5mm。如果水桶以加速度 a = 1 g 匀加速上升,塑料块 2 达到稳定状态后弹簧伸长 mm,理由是 。 4. 体重 60kg 的短跑运动员,在 50m 的比赛中,起跑后的 1.0s 内加速,后来匀速,经 8.0s 跑到终点. 我们可估算出运动员在跑动中的最大功率是 W.(保留两位有效数字) 5. 有一种绳系卫星, 母星在确定的轨道上运动, 母星上用细绳悬吊一个子星, 如图 3 所示. 稳 定时母星和子星间的细绳方向应指向地心,但有时子星会发生摆动,子星上无动力装置,为消除 摆动使细绳方向指向地心,可采取的措施是 , 理由是 .
3.

如图 4 所示,一鼓轮放在粗糙地面上,右边紧靠光滑的竖直墙壁,鼓轮重量不计,其上 由绳索悬吊一重物 G,已知 r =R/3,鼓轮与地面间的摩擦因数为 ?,鼓轮处于静止平衡状态. 如 果增大 r,其他条件不变,鼓轮是否能处于平衡状态? 答: , 理由是
6. .

母星 子星

地心
图3

图4
v1 v1
D B C A x

二、计算题( 计算题(共 102 分) 7.(16 分)如图 5 所示,球与台阶相碰的恢复 系数为 e (分离速度 = e 接近速度) ,每级台阶的宽度 和高度相同,均等于 l,该球在台阶上弹跳,每次 均弹起同样高度 且 在水平部分的同一位 置 , 即 AB=CD,求球的水平速度和每次弹起的高度,球与 台阶间无摩擦.
8
0 0

v2

y

图5

. (16 分)特警战士距墙 S ,以速度υ 起跳,如图 6 所示,再用脚蹬墙面一次,身体变为 竖直向上的运动以继续升高,墙与鞋底之间的静摩擦因数为 ?.求能使人体重心有最大总升高的 起跳角 θ.

S0

图6

. (20 分)如图 7 所示,A、B、C、D、E 五个杂技演员在连续靠近放置的跳板上表演杂技.他 们各自的质量分别为 m ,m ,m ,m 和 m .A 演员从 h 高度跳到第一个跳板上. B、C、D 接着一 个个被竖直向上弹起后又竖直落下到相邻的跳板上.跳板的质量可以忽略,试求 E 演员被弹起的 高度 h 是多少?
9
1 2 3 4 5 1 5

图7

(25 分)如图 8 所示,一根质量可以忽略的细杆,长为 2l,两端和中心处分别固连 着质量为 m 的小球 B、D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上. 桌面上另有一质量为 M 的 小球 A,以一给定速度 v 沿垂直于杆 DB 的方向与右端小球 B 作弹性碰撞 . 求刚碰后小球 A、 B、 C、 D 的速度, 并 详 细 讨 论以后可能发生的运动 情况 .
10.
0

m D

m C

m B V0

图8
11. 25

A M

( 分)如图 9 所示,一均匀圆盘,质量为 M,半径为 R,静止放在一光滑水平地面上, 中心不固定. 质量为 m 的人,初始静止站在圆盘边缘上(人可看作质点) ,当人以相对速率 u 沿
2m ? u ? 圆盘边缘走动后,盘的转动角速度大小为 ω=3m ? ?,求盘心 O 的速度大小. +M? R?
R O m A

图9

第 26 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案 (景山学校杯)

一、填空题 1.下午 3 点多(2 分).地球由西向东自转,24 小时转一周,经度为 360?,每隔 15?差 1 小 时,117?-37?=80?,约 5 个多小时(6 分). 2.A→B→C (2 分) . C→D(3 分) . E→F (3 分). 3.7.5 (2 分). 水和塑料块都超重,F 弹=F 浮-m 塑(g+a)=(ρ水-ρ塑)V 塑(g+a) (6 分). 4.2.7 10 (8 分)
3

a= Pm=mav= 60 × 5

.子星摆动最低处放绳,最高处收绳 ,放绳时绳拉 力对子星做负功,收绳时做正功,半个周期内负功绝对值 大于正功,拉力总功为负,子星机械能减小. (8 分)
6.

20 20 × = 2.7 × 10 3 W 3 3

能, ,平衡时

不能(2 分) . 平衡方程 (6 分)
1 2

T2 T1

T1>T2

为 fR=Gr,

二、计算题 7、解:球每次弹起的速度 v 都相同,每次落地的速度 v 也相同,由能量守恒:
1 2 2

mv1 + mgl = 1 2 mv 2
2 2 2

2

v 2 ? v1 = 2 gl , v 2 x + v 2 y ? v1x ? v1 y = 2 gl ①

2

2

2

由牛顿碰撞公式: ? v = ev ② 在水平方向动量守恒: mv = mv ,
1y 2y 1x 2x

(2 分) (2 分)


v1x = v 2 x

由①②③可求得: v 平抛公式: v
y

1y

= ?e

2 gl , (2分) 1 ? e2

v2 y =

2 gl (2分) 1 ? e2

= v1 y + gt ④, l = v1x t ⑤,

2 y = v1 y t + 1 2 gt ⑥

令 v =v ,由④可求得球从弹起到落地的时间:
y 2y

t=

v 2 y ? v1 y g

=

2 gl 1 + e ? = g 1? e2

2l (1 + e) g (1 ? e)

(2 分)
gl (1 ? e) 2(1 + e)

代入⑤中即可求得球的水平速度:
l 2l (1 + e) v1x = = l / = t g (1 ? e)
y

2l (1 + e) g (1 ? e)l ? = g (1 ? e) 2l (1 + e)

(2 分)

令 v =0,由④可求得球达最大高度所需时间:
t=? v1 y g =e 2 gl 1 2l ? =e 2 1? e g g (1 ? e 2 )

代入⑥中即可求得球所能达到的最大高度:
y = ?e
8

2 gl 2l 1 2 2l e2 ? e + ge = l 1 ? e2 g (1 ? e 2 ) 2 g (1 ? e 2 ) g 1 ? e 2

(4 分)

、分析和解:在解答本题时,注意摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量,抓住主要因素忽略次 要因素,是经常用到的手段. 人以角 θ 起跳,水平初速度和竖直初速度分别为 υ = υ cos θ , υ = υ sin θ 从起跳到蹬墙时空中飞行的时间为
0x 0
0y 0

t=

s0 υ0 cos θ

则人蹬墙前竖直方向的速度为
υ y = υ0 y ? gt = υ0 sin θ ? g
s0 υ0 cos θ

人重心升高:
h1 = υ0 y t ? s0 s0 s0 1 2 1 1 ? g( ) 2 = s0 tan θ ? g ( )2 gt = υ0 sin θ 2 υ0 cos θ 2 υ0 cos θ 2 υ0 cos θ

(6 分)
f

设人蹬墙的时间为△t,因△t 很小,则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量,即 I 由动量定理得: I = ? N ?t = m?υ 而在水平方向同样由动量定理可知: N ?t = m?υ = mυ = mυ cosθ (3 分)
f y x x o

>> I G



人蹬墙后获得竖直向上的速度:υ ′ = υ
y

y

+ ?υ y = υ 0 sin θ ?

gs0 + ?υ0 cos θ υ0 cos θ

人蹬墙后再上升的高度
? gs0 ? υ 0 (sin θ + ? cos θ ) ? 2 2 υ ′y2 ? υ0 cos θ ? ? = υ0 (sin θ + ? cos θ ) ? s tan θ ? ? s + 1 g ( s0 )2 h2 = =? 0 0 2g 2g 2g 2 υ0 cos θ
2

人体重心上升的总高度: H = h + h
1

2

=

υ02 (sin θ + ? cos θ )2
2g

? ? s0

令 tanφ = ?,则 对υ 、s 一定时,当θ + ? = π 时 H 最大. 2
0 0

1 即 θ = arctan ? 时,人体的重心总升高最大. (7 分)

、 解:首先我们注意一下图中的翘板,中间是一个无限重的支柱.A 演员跳到翘板的一端,同 时把 B 演员弹到空中,我们可以看作是演员间“通过”翘板的碰撞.假定碰撞的持续时间很短, 由此我们可以不考虑
9

重力对碰撞本身的影响,因为在碰撞的时间△t 里,每一个演员和重力相关的冲量矩(对翘板中 心计算)与△t 成正比,是非常小的. 碰撞时翘板支点是不动的,我们可以采用角动量守恒定律来研究.又由于翘板非常轻,我们 可以认为翘板的转动惯量为零.根据题中后面的说明和上面的假设.我们可以认为碰撞时机械能 是守恒的,也就是说是弹性碰撞. 令υ ′ 表示 A 演员碰撞后的速度.υ ′ 与图上的υ 指向同一个方向.由系统的角动量和机械能守 恒,可以写出 m υ r = m υ ′r + m υ r (4 分) 1 1 1 m υ = m υ ′ + m υ (4 分) 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 1 1 2 1 1 2 2 2

解这个方程组,我们得到两组解 1) υ ′ = υ , υ = 0
1 2

2

)υ ′ = υ m m
1 2

1

1

? m2 + m2

,υ

2

= υ1

2m1 m1 + m2

(2 分)

第一组解相当于碰撞之前;而第二组解相当于碰撞之后.B 演员跳到相邻的翘板上,在碰撞 的瞬间速度是υ . 相继而来的过程和第一次完全相似. 因此以后的演员弹起的速度相应地为
1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 M v0 = M vA + mvB + m vC + m vD 2 2 2 2 2

υ3 = υ 2

2m2 m2 + m3



υ 4 = υ3

2m3 m3 + m4

,υ

5

= υ4

2m4 m4 + m5

(5 分) (3 分)

将前面的计算结果代人,可得 E 演员弹起的速度为
υ5 = 16
m1m2 m3 m4 (m1 + m2 )(m2 + m3 )(m3 + m4 )(m4 + m5 )
5

所求的高度 h 可以利用下式计算 υ = 2 gh , υ = 2 gh
1 1 5 5

于是得到 (2 分) 10、 解析 ①小球 A、B 碰撞瞬间,球 A 挤压 B, m m 其作用力方向垂直于杆,使球 B 获得沿 v 方向的速 m 度 v .从而在碰撞瞬间使小球 C、 D 的速度也沿 v 方 D C B 向 .对质点组 B、C、D 与 A 组成的系统,碰撞前后动 V 量守恒。由于小球 C 位于由 B、C、D 三球组成的质 点组的质心处,所以小球 C 的速度也就是质点组的 A 质心速度.可得: M M v = M v + 3mv ( 1) (4 分) ②质点组 B、C、D 与 A 是弹性碰撞,碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后 A、B、C、D 的速度分别为 v 、 v 、 v 、 v ,得 1 1 1 1 1 Mv = Mv + mv + mv + mv ( 2) (4 分) 2 2 2 2 2 ③对质点组 B、C、 D 在碰撞瞬间,在 B 处受到 A 球的作用力,若取 B(与 B 球重合的 空间固定点)为参考点,则质点组 B、C、D 在碰撞前后,外力矩等于零,所以质点组角动 量守恒. 可得 0 = ml v + 2ml v ( 3) (4 分) ④由杆的刚性条件有: v B ? vc =v c ?v D (4) (4 分)
? ? 16m1m2 m3 m4 h5 = ? ? h1 ? (m1 + m2 )(m2 + m3 )(m3 + m4 )(m4 + m5 ) ?
0 B 0

2

0

0

A

C

A

B

C

D

2

2

2

2

2

0

A

B

C

D

C

D

由(1) 、 ( 2) 、 ( 3) 、 (4)式,可得
4M v0 5M + 6m 5M ? 6m vA = v0 5M + 6m 10 M vB = v0 5M + 6m 2M vD = ? v0 5 M + 6m vC =

( 5) ( 6) ( 7) (8) (4 分)
vC = 4M v0 5M + 6m

⑤碰撞后各小球的运动

碰撞后,质点组 B、C、D 不受外力作用,其质心作匀速运动,即 碰撞后,B、D 两小球将绕小球 C 作匀角速度转动,角速度的大小为
ω=
vB ? vC 6M v0 = l 5M + 6m l . 2

, (2 分)

( 分)方向为逆时针方向. 由(6)式可知,碰后小球 A 的速度的大小和方向与 M、m 的大小有关,由于 M、m 取 值不同而导致运动情形比较复杂,即可以使 v = 0 ;v < 0 ;v > 0 且 v < v ;v > v 情 景的出现,在此不作详细讨论. (1 分) ? 11、解:如图,人相对盘边沿 P 处的速度为 u ? ? ? P 相对盘心的速度 v = ω × R u ? ω 盘心 O 对地速度为 v ? ? ? ω 人对地速度 v?人 = u? + ω × R + v (5 分) ? R P 人、盘系统质心 C 静止 O C 某一时刻 t,O、C、m 总共线, + v ? ? ? ? ? v人 、 v 、 u 、 ω × R 垂直此直线。 根据动量守恒定律的
A

A

A

A

C

A

C

po

0

0

0

0

0

C

..
0

.

0

0

建立图示正方向,则 、

? ? ? ? ? Mv0 + m[v0 + ω × R + u ] = 0 ? ? ? v0 ω0 × R
0 0

沿正方向, u? 沿负方向,因此 Mv + m[v + ω R ? u ] = 0 (10 分)
= m (u ? ω R ) = m (u ? 2mu ) 3m + M

( M + m)v0 = mu ? mωR

(5 分)

v0 =

mu 3m + M

(5 分)

第 27 届北京市高中力学竞赛决赛试题

一、填空题(6 小题、每小题 8 分,共 48 分) 1. 如图 1 所示,铁球上对称固定两根同样的细线 A、B,A 的一端固定于桌面,缓慢竖直提 ,理由是 起 B 线的另一端,则先断开的细线是 B 。快速竖直提起 B 线的另一端,当 A, A B 线都绷直的瞬间,则先断的细线是 ,理由是 图1 。 2. 运动员推出铅球,不计空气阻力,当铅球运动速度为 vm/s,方向与水平成 θ =30 °时,铅球 kg,理由是 动能的变化率为 k= - 6.0J/s,则铅球的质量 m= 。 3. 水平地面上放置一箱子,甲同学以水平拉力 F 拉箱子匀速前进,速度为 v,如果把箱子和 地面看成一个系统,则人对系统作用力的合力为 ,理由是 。 ,理由是 。 人对系统做功的总功率为 4. 如图 2 所示,系住球 m 的细线长 L,线的另一端固定于 O 点。把球拉至细线水平时释放, 线竖直时距右端竖直墙的距离为 L/2,球将与墙发生完全弹性碰撞,墙壁是光滑的,则碰撞后球 。 距 O 点竖直方向的最近距离为
m L A B v

(景山学校杯)

图3 C 图2 5. 如图 3 所示,长为 L 的轻杆两端连接完全相同的小球 A 和 B,小球位于光滑水平桌面上。 另一个完全相同的小球 C,沿桌面以垂直于杆的速度 v 与球 B 发生完全弹性正碰,则碰后瞬间三 v = v = 球的速度是 v = , , 。 理由是 。 6. 一只质量为 m 的大鸟在高空飞翔,两翅翼展开的总长度为 L,总面积为 S,大鸟保持水平 飞行状态,空气密度为 ρ ,为估算大鸟翅翼扑动的频率 f(单位时间内扑动的次数) ,我们建立的 方程是 ,解得 f= 。
A B C

二、计算题(共 102 分) 7. (16 分)二百多年前,法国科学家拉普拉斯预言:有一种天体,由于引力作用很强,其 上的物体(包括光线)都不能离开;我们看不到这样的天体。现在把这样的天体命名为“黑洞” 。 地球半径 R = 6.4 ×10 km ,设想地球质量不变,在引力作用下塌缩成一小球,引力将增加很大。 试根据万有引力定律和你具有的知识,按经典力学规律,估算物体脱离地球的速度是第二宇宙速 度 2 倍时,地球的半径 r ?(提示:物体的引力势能公式 E = ?G Mm ,M 是天体质量,r 是物 r 体到天体中心的距离)
3 s

P

(16 分)质量为 m 的汽车在水平路面上行驶,前后轮相距 L,与地面的摩擦因素为 ?。 汽车质心离地面高度为 h,与前轮轴水平距离为 l( l ≠ L / 2 ) 。求当汽车加速度 a 为何值时前后 车轮对地面的压力相等。
8.
C

.(20 分)如图 4 所示,由一光滑细管构成一半径为 R 的圆环,放在水平光滑桌面上。管 内 A 、A 处有两个质量为 m 的小球,圆形管道的质量是 γm,开始时管道静止,两小球向右以等 大的速度开始运动,细管上 P 、P 处有两个缺口(φ 已知),小球自小孔中穿出后,将在平面上 某处相遇,求: (1)相遇时两球与管道中心 O 的距离 l; (2)从小球穿出缺口直到小球相遇的过程中,管道在平面上移动的路程 s。 A v
9
1 2 1 2 1

R

P1 φ P2



A2

v

图4

(25 分)一块质量为 M 的物体静止在光滑水平面上,物体内有一如图 5 所示的光滑管 道,l、α 已知,有一质量为 m 的滑块从左端口滑下,求 m 自滑下到返回左端口的总时间。(可 取 α=60°) m
10. l

α l

α

图5

(25 分)如图 6 所示,一块长为 L = 1.00m 的光滑平板 PQ 固定在轻质弹簧上端,弹簧 的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间(图中未画出竖直导轨) , 从而只能竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期 T = 2.00s 。一小球 B 放在光滑 的水平台面上,台面的右侧边缘正好在平板 P 端的正上方,到 P 端的距离为 h = 9.80m 。平板静 止在其平衡位置。小球 B 与平板 PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度 v ,使它从水平台 面抛出。已知小球 B 与平板发生弹性碰撞,碰撞时间极短,且碰撞过程中重力可以忽略不计。要 使小球与平板 PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞, v 的值应在什么范围内?(取 g=9.8m/s 。 π? 当 a ≠ 0 , b ≠ 0 时, ax = b cos ? ? π x ? ? 是超越方程,一般没有解析解,只有数值解,数值解 2? ? 与 a、b 的关系如下表所示)
11.
0 2 0 2

a b 4.2 4.41 5

B

v0

4.8 0.766 0.7739 0.7934

4.90 0.7926 0.771 0.7903

6 0.7273 0.7361 0.7579 P h Q

图6

第 27 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案

一、填空题 1. B;B 线受力是铁球重力与 A 线张力之和。 A;A 线绷紧时铁球有向上速度,铁球的惯性使 A 线形变大。
2. m = 3. 0 4.

(景山学校杯)

12 gv

π ? ; k = mgv cos ? ? +θ ? ?2 ?

;人对地作用向后的力 ? F ;Fv;人对地面不做功。
3 L 8

; ; ;轻杆两端不能受到垂直杆的力。 (说明:反证法,如果轻杆受这样的力,则造成 杆的平动加速度无限大,或转动加速度无限大。 )
5. 0 v 0 6. mg = ρ S v
2

; v = π fL ; f = π1L

mg ρS

( 说 明:动量定理 F ?t = ?mv = ρ S ?tv·v ,

F = ρ Sv

2

,v = 1 ω L = π fL ) 2

二、计算题 计算题 7. 解:设无限远处的引力势能 E = 0 。地球未塌缩时,设物体 m 脱离地球的速度,即第二 Mm 宇宙速度是 v。则物体 m 在地球表面的引力势能 E = ?G Mm , 势 能 增 量 ?E = G 。 (G 为 R R 引力常量,M 为地球质量。 ) Mm 物体要脱离地球到无限远处,其动能 E 至少应等于△E ,因此: 1 mv = G (1) 2 R
p∞ p p
2

k

p

同理,地球塌缩后,物体 m 在地球表面的引力势能 E
k

p

= ?G

Mm rs

,无势能增量 ?E
2

p

=G

Mm rs



物体要脱离地球到无限远处,其动能 E 至少应等于△E ,因此: 1 m ( 2v ) 2
p

=G

Mm rs

(2)

6.4 ×10 联立(1) 、 (2)得 r = R = 4 4
s

6

= 1.6 × 106



8.

(1) f + f = ma (2) N l ? N (L ?l) ?( f + f )h = 0 (3) 将(1)代入(2)得: N l ? N ( L ? l ) ? ma h = 0 (4) l ? L) 当 N = N 时, (4)式变为 2 Nl ? NL ? ma h = 0 ,得: a = N ( 2 。 mh
N1 + N 2 ? mg = 0
1 2

解:假设汽车刹车,车受力如图所示,则有:
C

1

2

1

2

1

2

C

1

2

C

C

与(1)联立得:

? L? g ?l ? ? 2? aC = ? h
C



讨论:当 l> L 时, a >0 ,即与假设方向相同,汽车减速运动。 2 当 l< L 时, a <0 ,即与假设方向相反,汽车加速运动。 2
C

aC

C mg f2 N2 L

l h f1

N1

9.

R 解: (1)取管道为参考系,两小球自小孔穿出后将沿切线方向运动,因此 l = sin 。小 ?
1 2 1 2

球从 A 、A 处到 P 、P 处的过程中水平动量守恒:
2mv0 = γ mu + 2m ( v cos ? + u )
1 机械能守恒: 1 ( 2m ) v = γ mu 2 2 解得:小球相对于环的速度:
2 0 2

1 1 2 2 + 2m ( v cos ? + u ) + 2m ( v sin ? ) 2 2

v=

γ γ + 2sin 2 ?

·v0

环的速度:

u=

2

(

γ + 2sin 2 ? ? γ cos ?

小球从穿出小孔到相遇的时间: 管道在平面上移动的路程:
s = ut = 2 R
10. a1

( γ + 2 ) γ + 2sin 2 ?

) ·v

0

cot ? R t=R = v v0

γ + 2sin 2 ? ·cot ? γ

2 1 + sin 2 ? ? cot ?

γ

γ +2

cot ?

解:取物体为参考系,滑块受三个力:mg、F 、和 ma ,设滑块相对于 M 的加速度是
N N

mg sin α + ma cos α = ma ,则对 m: ? ? F + ma sin α = mg cos α
M

r

?

N

M

对 M: F

N

sin α = MaM

由 α = 60° ,可解得 a 所以 t =
1

r

=

2 3 ( M + m) g 4M + 3m

2l = ar

( 4 M + 3m ) l 3 ( M + m) g

下到底端时,滑块因转弯和物体发生一个比较猛烈的作用,此过程中水平动量守恒,设转弯 结束后滑块和物体的速度分别为 v 和 v’,那么:
?mv = Mv ' ? ? 1 1 2 mgl sin α = mv 2 + M ( v ' ) ? ? 2 2

可求出,v 和 v’,相对速度 v 水平段的时间 t
2

r

= v+v' =

3 ( M + m ) gl M

=

l = vr

Ml 3 ( M + m) g =4

一个来回的总时间 t = 4t + 2t
1

2

( 4M + 3m ) l + 2 3 ( M + m) g
0

Ml 3 ( M + m) g g = 0.71m / s 2h

11.

L 答案:u 的取值范围是: 0.46m / s = t + <u < t
0 1 2


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