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上海高二数学直线的点方向式方程


直线的点方向式方程
一、直线的点方向式方程: 已知:直线 l 过点 P?x0 , y0 ? ,且与非零向量 d ? ?u, v? 平行, 求:直线 l 上任意一点 Q? x, y ? 满足的关系式? y L

O

d ?u, v ?

x

① ,

当 u ? 0,

v ? 0 时,方程可化为什么形式?

② ,

当 u ? 0, v ? 0 时,方程可化为什么形式?

3 、当 u ? 0, v ? 0 时,方程可化为什么形式? ○

注意:我们把___________________________叫做直线的方向向量; 我们把___________________________叫做直线 l 的点方向式方程 思考:它能够表示所有的直线吗?形式的特点?需要哪些量?如果忘记了,怎么办? 二、例题分析 例题 1:观察下列直线方程,并指出各直线必过的点和它的一个方向向量? ②

x?3 y ?5 ? 3 4

③x ?1 ④ y ? ?2

② ? 4?x ? 4? ? 7? y ? 6?

― 1 ―

例题 2:已知点 A?4, 6?,B?? 3, ? 1? 和 C ?4, ? 5? ,求经过点 A 且与 BC 平行的直线 l 的点方 向式方程? (问:过点 B 与 AC 平行的直线)

变式 1:求经过点 B 、C 两点的直线 l 的点方向式方程?

变式 2:求 ?ABC 中,平行于 BC 边的中位线 MN 所在直线的点方向方程?

― 2 ―

直线的点方向式练习 1、已知直线 l 的方程是 5x ? 12y ? 13 ? 0 ,给出点 A?? 17,?6?, B?2,?2? 则有 (A)A 在 l 上,B 不在 l 上 (C)A 不在 l 上,B 在 l 上 2、若直线 l 过点(7,8)且以直线 线 l 的方程为 (A) (B) A 在 l 上,B 也在 l 上 (D) A,B 都不在 l 上 ( )

x ?1 y ? 2 ? 的一个方向向量的 2 倍为方向向量,则直 3 4
( ) (C)

x ?7 y ?8 x ? 14 y ? 16 ? ? (D) 6 8 6 8 x ?1 y ? 2 x ? 3 y ?1 ? ? 3 、 直 线 l 过 点 (-1,-2),(3,1) 则 方 程 ① : 方程②: 方程③: 4 3 4 3 x ? 11 y ? 7 x ? 3 y ?1 ? ? 方程④: 中可以作为直线 l 的方程是 ( ) 4 3 8 6
(B) (A)①② (B) ①②③ (C) ①②④ (D) ①②③④ 4、四个向量 d1 ? ?4,0?, d 2 ? ?? 1,0?, d 3 ? ?0,?1?, d 4 ? ?1,?1? 中是直线 y ? 1 ? 0 的方向向量 的个数为 (A)0 ( (B)1 (C)2 (D)3 )

x ?7 y ?8 ? 3 4

x ?7 y ?8 ? 8 6

5、求过点 P 且与向量 d 平行的直线 l 的点方向式方程: ⑴ P?3,?5?, d ? ?3,4? ⑵ P?0,3?, d ? ?3,?4?

6、求经过 A,B 两点的直线 l 的点方向式方程: ⑴ A?? 3,?2?, B?3,?7? ⑵ A?0,3?, B?2,4?

7、若 A(1,6) ,B(-1,-2) ,C(6,4)是三角形三个顶点,求 AB 边上的中线所在直线 方程。

― 3 ―

8、直线 l 过点 ?1 , 1? ,且与直线

x ? 4 y ?8 ? 平行,求直线 l 与坐标轴围成三角形的面积。 3 1

9、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1,2) ,B(4,1) ,C(3,6) , ①求经过点 A 且与 BC 平行的直线 l 的点方向式方程; ②若点 M 为 AC 的中点,求直线 BM 的点方向式方程;

10、若直线 l 过点(1,2) ,且方向向量为 d =(3,4) ,求直线 l 与 x 轴的交点。

― 4 ―


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