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(文章)三角函数第一章知识点总结与考点提示


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三角函数第一章知识点总结与考点透视 一、要点回顾 1、角的概念的推广与弧度制 用动态的角的定义,由终边的旋转方向来定义正角、负角、零角的概念,推广到了任 意角,并引入弧度制,建立起了角的集合与实数集 R 之间的――对应关系,在这部分中应 把握。 (1) 所

有与角 ? 终边相同的角 ? , 连同 ? 本身都可表示成 ? ? ? ? k ? 360 ( k ? Z ) 的
0

形式, 注意: 角相等终边一定相同, 终边相同的角不一定相等, 它们可能相差周角的整数倍。 (2)判断角 ? 所在的象限,一般先将起表示成
? ? k ? 360
0

? ? ( 或 ? ? 2 k ? ? ? ) ( k ? Z ) 的形式, 其中 0

0

? ? ? 360 (或 0 ? ? ? 2 ? ) ,
0

则 ? 与 ? 的终边所在象限一致。注意:并不是所有的角都一定属于某个象限内;会用集合 表示象限角与轴线角。 (3)记住角的两种度量制的换算公式( 180
0
0

? ? rad ) ,并能熟练地换算,但在同一个
0

式子中两种度量制不能混用,如 2 k ? ? 30 ( k ? Z ) 或 k ? 360 的。

?

?
4

( k ? Z ) 的表示是错误

(4)掌握弧长公式( l ? | ? | r )和弧度制下的扇形面积公式( S ?

1 2

lr ?

1 2

|? | r ) ,
2

并能用它们进行计算。 2、同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精 髓在“同角”二字上,在使用时,一要注意同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种重 要的三角函数直接或间接地联系起来, 跟角的表达形式无关; 二要注意这些关系都是对于使 它们有意义的那些角而言的。 3、诱导公式可将任意角的三角函数化成某个锐角的三角函数,因此,常用于求值和化 简。在进行三角函数式的化简、求值时,应注意公式中的符号,要深刻理解“奇变偶不变, 符号看象限”这个口诀的含义。 4、 三角函数的图象和性质是本章的重点内容。 函数的图象是函数的一种直观表示方法, 它能形象地反映函数的各类基本性质,因此对三个基本三角函数―― y ? sin x , y ? cos x ,
y ? tan x 的图象要熟练掌握,它能帮助记忆三角函数的性质和利用图象解决综合问题,体

现数形结合的数学思想。此外还要弄清 y ? A sin( ? x ? ? ) 的图象与函数 y ? sin x 的图象的 关系,掌握“A”“ ? ”“ ? ”的确切含义,对于三角函数的性质,要紧扣定义,从定义出 、 、 发,导出各三角函数的定义域、值域、符号、最值、单调区间、周期性、奇偶性及对称性等。 二、考题赏析 1、三角函数简单计算 例 1(2009 北京)若 s in ? ? ?
4 5 , ta n ? ? 0 ,则 co s ? ?

.

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? 4? ? 【解析】 由已知, 在第三象限, c o s ? ? ? 1 ? s in ? ? ? 1 ? ? ? ? ∴ ? 5?

? ?

3 5

, ∴应填 ?

3 5

.

点评:本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.考查了同角 函数值之间关系,解题注意 sin 2、三角函数的图象 例 2(2009 海南)已知函数 f ( x ) ? 2 sin (? x ? ? ) 的图像如图所示,则
? 7? ? f ? ?? ? 12 ?
2

a ? cos

2

a ? 1 的应用。


2 3 5? 4

【解析】由图象知最小正周期 T=
?
4



?

?
4

)=

2? 3



2?

?

,故 ? =3,又 x=

?
4

时,f

(x)=0,即 2 sin( 3 ?

? ? )=0,可得 ? ?

?
4

,所以, f ?

7? ? ? 7? ? ? ) =0。 ? ? 2 sin( 3 ? 12 4 ? 12 ?

点评: 本题考查已知三角函数图象求解析式的方法以及三角函数求值, 解决这类问题一 般首先根据图象周期确定 ? 的值,再根据特殊点确定 ? 的值。 例 3、 (2009 江苏) 函数 y ? A sin ( ? x ? ? )( A , ? , ? 为常数,

A ? 0, ? ? 0 ) 在 闭 区 间 [ ? ? , 0 ] 上 的 图 象 如 图 所 示 , 则

y 1

? ?

. 解析: 根据三角函数的图象知:
2? 3 2? 2? 3
T 2 ? (?

?
3

) ? (?

2? 3

) ?

?
3



??

?

2? 3

?

?
3

O

1

x

所以 T ?

, 因为 T ?

?

?

, 所以 ? ? 3

点评:本题考查了函数 y ? A sin ( ? x ? ? )( A , ? , ? )的性质以及读图能力。求 ? 的 值一般根据 T ?
2?

?

求得。

3、图象平移变换 例 4、 (2009 天津)已知函数 f ( x ) ? sin( wx ?
?
4
y ? f ( x ) 的图像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是(

)( x ? R , w ? 0 ) 的最小正周期为 ? ,将



A

?
2

B

3? 8

C
2? w

?
4

D

?
8

【解析】由已知,周期为 ? ? 偶函数, sin[ 2 ( x ? ? ) ?
?
4

, w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是

] ? ? cos 2 x ,只有 D 满足题意,所以选择 D。

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点评:解决平移问题有两种方法:先相位变换后周期变换或先周期变换后相位变换。 无论哪种变换都对自变量而言;因此由 y ? sin x 得到 y ? sin( ? x ? ? ) 平移为 | 而不是 ? 个单位。 4、三角函数的函数的性质 例 5 2009 全国 1) ( 如果函数 y= 3 co s ? 2 x+ ? ? 的图像关于点 ? 的最小值为( ) (A)
?
6
? 4? ? , 0 ? 中心对称, 那么 | ? | ? 3 ?

? ?

| 个单位,

(B)

?
4

(C)

?
3

(D)

?
2

解: ? 函数 y= 3 co s ? 2 x+ ? ? 的图像关于点 ?
4? 3 ) ? 0 , 3 cos( 8? 3 ??) ? 0 , 所以 8? 3

? 4?

? , 0 ? 中心对称,所以有:即, ? 3 ?

f(

? ? ? k? ? |?

?
2

(k ? Z ) , 所以 ? ? k ? ?

?
2

?

8? 3



所以 | ? | 的最小值为 | ? | = | 2 ? ?

?
2

?

8? 3

?
6

点评: 本题考查了余弦函数的图象与性质, 求解时应该明确余弦函数在其对称点处函数 值为 0。 例6 (2009 陕西) 已知函数 f ( x ) ? A sin (? x ? ? ), x ? R(其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
M ( 2? 3 , ?2) .

?
2



?
2

,且图象上一个最低点为

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ 解(1)由最低点为 M (
2? 3

?
12

,

?
2

] ,求 f ( x ) 的值域.

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

, ? 2 ) 得 A=2.

由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 由点 M ( 故
4? 3 2? 3 ? ? ? 2k? ? , ? 2 ) 在图像上的 2 sin ( 2 ?

?
2



T 2

=

?
2

,即 T ? ? , ? ?
4? 3

2? T

?

2?

?

? 2

2? 3

? ? ) ? ?2,即 sin( 1 1? 6

? ? ) ? ?1

?
2

,k ? Z

? ? ? 2k? ?

又 ? ? (0 ,

?
2

),? ? ?

?
6

, 故 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

) 7? 6 ]

(2)? x ? [ 当2x ?
?
6

?
12

,

?
2

],         2 x ? ?

?
6

?[

?
3

,

=

?

,即 x ?

?
6

时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ?

?
6

?

7? 6

即x ?

2 ?
2

时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2]

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

点评: 本题考查了三角函数的图象与性质, 考查学生应用知识解决问题的能力与分析问题的

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