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天门市2014年高三年级4月调研考试文数


湖北省天门市2014届高三下学期四月调研测试 数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时 间120分钟。 ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: 1. 考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试 题卷上无效。

第Ⅰ卷(选择题,共50分)

一、选择题:每小题 5 分,10 小题共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内,答在试卷上无效。 1.设集合 A ? {?2, 0,1,3} ,集合 B ? {x | ? x ? A,1 ? x ? A} ,则集合 B 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
,10) 得到的散点图,由这些散点图可以判断变

2.下图是根据变量 x,y 的观测数据 ( xi , yi )(i ? 1, 2, 量 x,y 具有相关关系的图是

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

3.给出如下四个命题:

①若“p ? q”为真命题,则 p、q 均为真命题; ②“若 a ? b, 则2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ≤ b ,则 2a ≤ 2b ? 1 ” ;
2 ③“ ?x ? R, x 2 ? x ≥1 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ; ? x0 ≤1 ”

1 ④“ x ? 0 ”是“ x ? ≥ 2 ”的充要条件. 其中不正确的命题是 x
A.①② B.②③ C.①③ D.③④

4.函数 f ( x) ? ( 1 ) x ? x 的零点所在区间为 3 A. (0, 1 ) 3 B. (1,1) 2 3 C. ( 1 ,1) 2 D. (1,2)

5.已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) ? a( x ? b)2 ? c 的图象如图所示,则函数 f ( x) 的图象可能是

A

B

C

D

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 a 的值为 A. C.

1 5 3 5
D.

B.

2 5

4 5

7.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组
?0 ≤ x ≤ 2 , ? 给定. 若 M ( x, y ) 为 D 上的动点, ? y ≤ 2, ? ?x ≤ 2 y

点 A 的坐标为 ( 2 ,1) ,则 z ? OM OA 的最大值为 A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,在 x ? ? 时取得极值,则函数 y ? f ( 3? ? x) 是 4 4 A.偶函数且图象关于点( ? ,0)对称 C.奇函数且图象关于点( 3 ? ,0)对称 2 B.偶函数且图象关于点( 3 ? ,0)对称 2 D.奇函数且图象关于点( ? ,0)对称

9.设平面向量 am ? (m,1) , bn ? (2, n) ,其中 m, n ? {1, 2,3}. 记“使得 am ? (am ? bn ) 成立的 ( m, n) ” 为事件 A,则事件 A 发生的概率为 A. 1 3 B. 1 9 C. 1 8 D. 1 16

10 .已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,其导函数记为 f ?( x) ,若对于任意实数 x ,有
f ( x) ? f ? ( x) ,且 y ? f ( x) ? 1 为奇函数,则不等式 f ( x) ? e x 的解集为

A. (??,0)

B. (0, ??)

C. (??, e4 )

D. (e4 , ??)

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡上对应题号后的横线 上。答错位置,书写不清,模棱两可不得分。 11.若复数 z ?

2 1 ? 3i

,其中 i 是虚数单位,则 | z |?

▲ .

12.已知某一段公路限速 60 公里/小时,现抽取 200 辆通过这一段公路的汽车的时速,其频率分 布直方图如图所示,则这 200 辆汽车中在该路段没有超速的有 ▲ 辆. ▲ cm3.

13.已知某几何体的三视图(单位 cm)如图所示,则该几何体的体积为

(12 题图)

(13 题图)

14.已知圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 2my ? 2m ? 1 ? 0 ,当圆的面积最小时,直线 y ? x ? b 与圆相切,则 b ? ▲ . ▲ .

15.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数,依次记为 m 和 n,则 m ? n 的概率为

16.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . 若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1| 的解集为空集,则实数 a 的 取值范围为 ▲ .
1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 ? ? ?

17.观察如图三角形数阵,则 (1)若记第 n 行的第 m 个数为 anm ,则 a73 ? (2)第 n(n ≥ 2) 行的第 2 个数是 ▲ . ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。把答案填 在答题卡上对应题号指定框内。 18.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos( x ? 2 ? ) ? 2cos2 x , x ? R . 3 2 (1)求 f ( x) 的值域; (2)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 f (B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值.

19. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,且满足 16(a1 ? a4 ) ? 7 ? 0 ,
S1 , S3 , S2 成等差数列.

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知 bn ? n(n ? N? ) ,记 cn ? (?1) n bn an ?1 ,求数列 {cn } 前 n 项和 f (n) .

20. (本题满分 13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面PDC . (1)求证 ?PDC ? 90? ,并指出异面直线 PA 与 CD 所成角的大小; (2)在棱 PD 上是否存在一点 E ,使得 PB / / 平面EAC ?如果 存在,求出此时三棱锥 E ? PBC 与四棱锥 P ? ABCD 的体 积比;如果不存在,请说明理由.

21. (本题满分 14 分)已知 m, t ? R ,函数 f ( x) ? ( x ? t ) 3 ? m . (Ⅰ)当 t ? 1 时, (1)若 f (1) ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解,求 m 的取值范围; (Ⅱ)已知曲线 y ? f ( x) 在其图象上的两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )处的切线分 别为 l1 , l2 .若直线 l1 与 l2 平行,试探究点 A 与点 B 的关系,并证明你的结论.

22. (本题满分 14 分)已知椭圆
y 2 ? 4 x 的一条切线.

x2 y 2 b 5 ,且直线 y ? x ? 是抛物线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b 3

(1)求椭圆的方程; (2)点 P ( x 0 , y 0 ) 为椭圆上一点,直线 l :

x 0x y 0 y ? ? 1 ,判断 l 与椭圆的位置关系并给出理由; 9 4

(3)过椭圆上一点 P 作椭圆的切线交直线 x ?

9 5 于点 A,试判断线段 AP 为直径的圆是否恒 5

过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

天门市 2014 年高三年级四月调研考试 数学试题(文科)参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:每小题 5 分,10 小题共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内,答在试卷上无效。

2.D【解析】根据散点图中点的分布情况,可判断③④中的变量 x,y 具有相关的关系.

1 2 4 3 1 6.D【解析】 : a ? , i ? 1; a ? , i ? 2; a ? , i ? 3; a ? , i ? 4; a ? , i ? 5; 5 5 5 5 5 4 4 故周期为 4, a ? , i ? 2015 ,跳出循环. 故输出的 a 值为 . 5 5
7.B 【解析】 :画出区域 D 如图所示,则 M ( x, y ) 为图中阴影 部分对应四边形 OABC 上的动点,又 z ? OM OA ? 2 x ? y , ∴当目标线过点 B( 2 ,2) 时, zmax ? 4 .

10.B【解析】 :令 g ( x) ?

f ( x) f ?( x) e x ? f ( x) e x f ?( x) ? f ( x) ? , 则 g ( x ) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 上是 ex (e x ) 2 ex

减函数,又 y ? f ( x) ? 1 为奇函数,所以 f (0) ? 1 ? 0 ,所以 f (0) ? 1, g (0) ? 1 ,所以原不等式可化 为 g ( x) ?

f ( x) ? 1 ? g (0) ,所以 x ? 0 ,故选 B. ex

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡上对应题号后的横线 上。答错位置,书写不清,模棱两可不得分。 11.1【解析】 :因为 z ?
2 1 ? 3i ? 2(1 ? 3i) (1 ? 3i)(1 ? 3i) ? 2(1 ? 3i) 1 3 ? ? i, 1? 3 2 2

1 3 所以 | z |? ( )2 ? ( )2 ? 1 . 2 2

12.80【解析】 :在该路段超速的汽车数量的频率为
(0.04 ? 0.02) ? 10 ? 0.6 ,故这 200 辆汽车中在该路段超速的数量为 200×0.6=120.


21 7 1 21 积为 ? (2 ? 5) ? 3 ? ,故 m ? n 的概率为 P ? 2 ? . 15 10 2 2
() 2 | ?x1 |2 |? ? 3 |2 ( | x) 1 ?2 ( ) |34 ≥ x? ? 16.[-3,5]【解析】 : fx x ? ?

,即 f ( x) 的最小值等于 4,

所以 | a ? 1|? 4 ,解此不等式得 ?3 ≤ a ≤ 5 或 a ≥ 5 . 故实数 a 的取值范围为[-3,5]. 17.41

n2 ? n ? 2 【解析】 : (1)列出三角数阵到第 7 行,可知 a73 ? 41 ; 2
1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 ? ? ?

(2)设 n(n ≥ 2) 行的第 2 个数构成数列 {an } , 因为 a3 ? a2 ? 2, a4 ? a3 ? 3, a5 ? a4 ? 4, 所以 an ? a2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 所以 an ?
, an ? an?1 ? n ? 1,

? (n ? 1) ?

(n ? 1)(n ? 2) ,又 a2 ? 2 , 2

(n ? 1)(n ? 2) n2 ? n ? 2 . ? a2 ? 2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。把答案填 在答题卡上对应题号指定框内。 18. 【解析】 : (1) f ( x) ? cos x cos 2 ? ? sin x sin 2 ? ? cos x ? 1 ? ? 1 cos x ? 3 sin x ? cos x ? 1 3 3 2 2

? 1 cos x ? 3 sin x ? 1 ? sin( x ? 5? ) ? 1 2 2 6

???????????4 分

因此 f ( x) 的值域为[0,2].

??????6 分

(2)由 f ( B) ? 1 得 sin( B ? 5? ) ? 1 ? 1 , 6 即 sin( B ? 5? ) ? 0 ,又因 0 ? B ? ? ,故 B ? ? . 6 6 ???9 分

解法 1:由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 a 2 ? 3a ? 2 ? 0 , 解得 a ? 1或a ? 2 . 解法 2:由正弦定理
b ? c ,得 sin C ? 3 , C ? ? 或 2? . sin B sin C 2 3 3

???12 分 ???9 分 ???10 分 ???11 分 ???12 分

当 C ? ? 时, A ? ? ,从而 a ? b2 ? c2 ? 2 ; 2 3 当 C ? 2? 时, A ? ? ,又 B ? ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2.

19. 【解析】 : (1)设 {an } 的公比为 q, ∵ S1 , S3 , S2 成等差数列, ∴ 2S3 ? S1 ? S2 ????????????????????1 分 ∴ 2a1 (1 ? q ? q2 ) ? a1 (2 ? q) , 化简得 2q2 ? q ? 0 ,

1 ∴ q ? ? 或q ? 0(舍去) ?????????????????3 分 2
又?

1 7 ? a1 ? a4=a1 (1 ? q3 ) ,∴ a1 ? ? , 2 16

1 an ? (? )n ??????????????????????6 分 2 b 1 (2)∵ bn ? n , an ? (? )n , ∴ | n |? n 2n ???????????8 分 an 2
∴ f (n) ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2 f (n) ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ∴ ? f (n) ? 2 ? 22 ? 23 ? ∴ f (n) ? ?(
? n ? 2n ,

? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ,

? 2n ? n 2n?1 ,??????????11 分

2 ? 2n?1 ? n 2n?1 ) ? (n ? 1) 2n?1 ? 2 ????????12 分 1? 2

20. 【解析】 : (1)∵ PA ? 平面PDC , CD ? 平面PDC ,

∴ PA ? CD ??????????????????????2 分 ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴ AD ? CD , 又 PA ? AD ? A , ∴ CD ? 平面PAD ???????????4 分 故 CD ? PB , ∴ ?PDC ? 90? ?????????????5 分

PA 与 CD 所成的角为 90? ????????????????6 分 (2)当点 E 为棱 PD 的中点时, PB / / 平面EAC ????????6 分 下面证明并求体积比: 取棱 PD 的中点 E,连接 BD 与 AC 相交于点 O,连接 EO. ∵四边形 ABCD 为矩形,∴O 为 BD 的中点 又 E 为棱 PD 的中点, ∴ PB / / EO . ∵ PB ? 平面EAC, EO ? 平面EAC , ∴ PB / / 平面EAC ????????????????????8 分

1 当 E 为棱 PD 的中点时, VE ? PBC ? VD? PBC , 2 1 1 又 VD ? PBC ? VP ? ABCD , ∴ VE ? PBC ? VP ? ABCD 2 4
即三棱锥 E ? PBC 与四棱锥 P ? ABCD 的体积比为 1:4?????13 分

21. 【解析】 : (Ⅰ) (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 ,
3

……………………1 分

则 f ( x) ? ? x ?1? ? 1 ? x3 ? 3x2 ? 3x , 而 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1)2 ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . ……………………4 分 (2)不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 m ? 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上有解, 等价于 m 不小于 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上的最小值. ……………6 分

1 3 因为 x ? [1, 2] 时, 3x2 ? 3x ? 3( x ? )2 ? ? ?0,6? , 2 4

所以 m 的取值范围是 [0, ??) .……………………9 分 Ⅱ.因为 f ( x) ? x3 的对称中心为 (0, 0) , 而 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 可以由 f ( x) ? x3 经平移得到, 所以 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 的对称中心为 (t , m) ,故合情猜测,若直线 l1 与 l2 平行, 则点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称. 对猜想证明如下: 因为 f ( x) ? ? x ? t ? ? m ? x3 ? 3tx2 ? 3t 2 x ? t 3 ? m ,
3

……………………10 分

所以 f ?( x) ? 3x2 ? 6tx ? 3t 2 ? 3( x ? t )2 , 所以 l1 , l2 的斜率分别为 k1 ? 3( x1 ? t )2 , k2 ? 3( x2 ? t )2 . 又直线 l1 与 l2 平行,所以 k1 ? k 2 ,即 ( x1 ? t )2 ? ( x2 ? t )2 , 因为 x1 ? x2 ,所以, x1 ? t ? ?( x2 ? t ) , ……………………12 分 从而 ( x1 ? t )3 ? ?( x2 ? t )3 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? ?( x2 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? 2m . 又由上 x1 ? x2 ? 2t , 所以点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )关于点 (t , m) 对称. 故当直线 l1 与 l2 平行时,点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称.……………………14 分

22. 【解析】 : (1)因为直线 y ? x ?
2

b 是抛物线 y 2 ? 4 x 的一条切线, 2

b? ? 所以 ? x ? ? =4 x时,? ? 0 , 2? ?

即 x2 ? (b ? 4) x ? 又

b2 ? 0, ? ? (b ? 4)2 ? b2 ? 0 ? b ? 2 ????????2 分 4

c 5 ,所以 a ? 3, c ? 5, b ? 2 , ? a 3

x2 y 2 ? ? 1 . ????????????????4 分 9 4 y y ? x 0x y 0 y ?x x ? ? 1 ? 0 ?1 ? ? 0① ? ? 9 ? 9 4 4 (2)由 ? 2 得? 2 2 2 ?x ? y ?1 ? x ?1 ? ? y ? ? 4 4 ② ? 9 ?9
所以椭圆的方程是 由①2+② ?
2 x2 y2 2x x y2 y0 得 ( 0 ? 0 )x 2 ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 81 36 9 4 4 2 2 2 2 2 2 4x x y y y x y2 ? ? 0 ? 4( 0 ? 0 )(1 ? 0 ) ? 0 ( 0 ? 0 ? 1) ? 0 81 81 36 4 36 9 4

∴直线 l 与椭圆相切????????????????9 分 (3)首先取两种特殊情形:切点分别在短轴两端点时, 求得两圆的方程为
(x ? 9 5 2 81 9 5 2 81 ) ? ( y ? 2) 2 ? 或( x ? ) ? ( y ? 2) 2 ? , 10 20 10 20

两圆相交于点( 5 ,0) , (

4 5 ,0) , 5

若定点为椭圆的右焦点( F2 ( 5,0) . 则需证: PF2 ? AF2 . 设点 P( x0 , y0 ) ,则椭圆过点 P 的切线方程是 所以点 A(

xx0 yy0 ? ? 1, 9 4

9 5 20 ? 4 5 x0 , ), PF2 ? ( 5 ? x0 , ? y0 ), 5 5 y0

AF2 ? (?

4 5 20 ? 4 5 x0 ,? ), 5 5 y0

PF2 AF2 ? ( 5 ? x0 )(?

20 ? 4 5 x0 4 5 4 5 4 5 ) ? (? y0 ) (? ) ? ?4 ? x0 ? 4 ? x0 ? 0 5 5 y0 5 5

所以 PF2 ? AF2 .???????11 分 若定点为 Q(
20 ? 4 5 x0 5 x0 4 5 4 5 ,不满足题意. ? x0 ) (? 5) ? (? y0 ) (? )? ,0) ,则 PQ AQ ? ( 5 5 y0 5 5

综上,以线段 AP 为直径的圆恒过定点( 5 ,0).??????14 分



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