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海淀区2016年高三二模数学文科试题与答案


高三文科试题答案 1 / 12

高三文科试题答案 2 / 12

高三文科试题答案 3 / 12

高三文科试题答案 4 / 12

高三文科试题答案 5 / 12

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数学(文科) 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D 2016.5

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

9. ?2 12. [1,2]

10. 58 13. 甲丁乙丙

11. 2 2 14. 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:(Ⅰ) 设数列 ?bn ? 的公比为 q , 因为 b1 ? a1 ? 2 , 所以 b2 ? b3 ? 2q ? 2q ? a3 ? 2 ? 12 .
2

……………………….2 分 ……………………….4 分 ……………………….7 分

解得 q ? 2 或 q ? ?3(舍). 所以 bn ? b1qn?1 ? 2n . (Ⅱ)记 ?an ? 的前 n 项和为 Tn , ?bn ? 的前 n 项和为 H n , 所以 Tn ?

a1 ? an 2 ? 4n ? 2 n? n ? 2n 2 . 2 2

……………………….9 分

b1 (1 ? qn ) 2(1 ? 2n ) Hn ? ? ? 2n?1 ? 2 . 1? q ?1
所以 Sn ? Tn ? Hn ? 2n ? 2
2 n?1

……………………….12 分

?2 .

……………………….13 分

高三文科试题答案 6 / 12

16.解: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? ?2sin x ? cos2 x

所以

π π π f ( ) ? ?2sin ? cos 2 ? ? ? 2 4 4 4

…………………2 分

π π π 3 f ( ) ? ?2sin ? cos 2 ? ? ? 6 6 6 2
因为 ? 2 ? ?

…………………4 分

3 π π , 所以 f ( ) ? f ( ) 2 4 6

…………………6 分

(Ⅱ)因为 f ( x) ? ?2sin x ? (1 ? 2sin 2 x)

…………………9 分

? 2sin 2 x ? 2sin x ? 1

1 3 ? 2(sin x ? ) 2 ? 2 2
2 令 t ? sin x, t ? [?1,1] , 所以 y ? 2(t ? ) ?

1 2

3 , 2

…………………11 分

因为对称轴 t ?

1 , 2
…………………13 分

根据二次函数性质知,当 t ? ?1 时,函数取得最大值 3

17 解: (Ⅰ)取 DP 中点 F ,连接 EF , FM 因为在 ?PDC 中,点 F , M 分别是所在边的中点,所以 FM ? 又 EB ?

1 DC . …………………1 分 2
…………………2 分 …………………3 分 …………………4 分 …………………5 分

1 DC ,所以 FM ? EB , 2

所以 FEBM 是平行四边形,所以 BM ? EF , 又 EF ? 平面 PDE , BM ? 平面 PDE , 所以 BM ? 平面 PDE .

方法二: 取 DC 中点 N ,连接 MN,BN 在 ?PDC 中,点 N , M 分别是所在边的中点,所以 MN ? PD . 又 DN ? BE ,所以 DEBN 是平行四边形, 所以 DE ? BN …………………1 分 …………………2 分 …………………3 分

高三文科试题答案 7 / 12

因为 NM ? NB ? N , DP ? DE ? D, 所以平面 BMN ? 平面 EDP 因为 BM ? 平面 BMN , 所以 BM ? 平面 PDE .

…………………4 分

…………………5 分

(Ⅱ)因为平面 PDE ? 平面 EBCD , 在 ?PDE 中,作 PO ? DE 于 O , 因为平面 PDE ? 平面 EBCD ? DE , 所以 PO ? 平面 EBCD . 在 ?PDE 中,计算可得 PO ? …………………7 分

6 3

…………………8 分 …………………10 分

1 1 1 6 3 ? 所以 VP ? BCDE ? Sh ? ? (1 ? 2) ? 2 ? . 3 3 2 3 3
(Ⅲ)在矩形 ABCD 中,连接 AC 交 DE 于 I , 因为 tan ?DEA ? 2, tan ?CAB ? 所以 DE ? AC , 所以在四棱锥 P ? EBCD 中, PI ? DE , CI ? DE , 又 PI ? CI ? I ,所以 DE ? 平面 POC . 因为 PC ? 平面 POC ,所以 DE ? PC .

π 2 ,所以 ?DEA ? ?CAB ? , 2 2
…………………11 分 …………………12 分 …………………13 分 …………………14 分

方法二: 由 (Ⅱ), 连接 OC . 在 ?DOC 中, cos ?ODC ?

3 2 3 , DC ? 2 , , DO ? 3 3 2 6 3
…………………11 分 …………………12 分 …………………13 分 …………………14 分

OC 2 ? DC 2 ? DO2 ? 2DC ? DO cos ?CDO ,得到 OC ?
2 2 2 所以 DC ? DO ? OC ,所以 DO ? OC

又 PO ? OC ? O , 所以 DE ? 平面 POC . 因为 PC ? 平面 POC ,所以 DE ? PC .

高三文科试题答案 8 / 12

18 解: (I)(I) A 型空调前三周的平均销售量

x?

11 ? 10 ? 15 ? 12 台 5

…………………2 分

(Ⅱ)设抽到的空调不是 B 型且不是第一周售出的空调为事件 P1 所以 P 1 ?

…………………4 分 …………………7 分

10 ? 15 ? 8+12 3 ? 35 ? 30 ? 40 7

(Ⅲ)因为 C 型空调平均周销售量为 10 台, 所以 c4 ? c5 ? 10 ? 5 ? 15 ? 8 ? 12 ? 15 又s ?
2

…………………9 分

1 [(15 ? 10)2 ? (8 ? 10)2 ? (12 ? 10) 2 ? ( c4 ? 10) 2 ? ( c5 ? 10) 2 ] 5
2

化简得到 s ?

1 15 91 [2( c4 ? ) 2 ? ] 5 2 2
2

…………………11 分

注意到 c4 ? N ,所以当 c4 ? 7 或 c4 ? 8 时, s 取得最小值 所以当 ?

?c4 ? 7 ?c5 ? 8

或?

?c4 ? 8 2 时, s 取得最小值 c ? 7 ? 5

…………………13 分

19.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 , 所以 f '( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) , 令 f '( x ) ? 0, 得 x1 ? …………………2 分

2 , x2 ? ?2 , 3

则 f '( x ) 及 f ( x) 的情况如下:

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?2)

?2
0

2 ( ?2, ) 3
?

2 3
0 极小值

2 ( , ??) 3

?
?

?
?

极大值

?

…………………4 分 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, ?2) , ( , ??) , 函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( ? ,2) .
高三文科试题答案 9 / 12

2 3

2 3

…………………6 分

(Ⅱ)要使 f ( x ) ? 0 在 [1, ??) 上有解,只要 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最小值小于等于 0 . 因为 f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? (3x ? a)( x ? a) , 令 f '( x ) ? 0 ,得到 x1 ? 当

a ? 0, x2 ? ?a ? 0 . 3

…………………7 分

a ? 1 时,即 a ? 3 时, f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调递增, f (1) 为 [1, ??) 上最小值 3

2 所以有 f (1) ? 0 ,即 1 ? a ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? 0 ,

所以有 1 ? a ? 3 ; 当

…………………9 分

a a a ? 1 时,即 a ? 3 时, f ( x ) 在区间 [1, ) 上单调递减,在 [ , ??) 上单调递增, 3 3 3 a 所以 f ( ) 为 [1, ??) 上最小值, 3 a a3 a3 a3 a ? ? ?1 ? 0 , 所以有 f ( ) ? 0 ,即 f ( ) ? 3 27 9 3 3
解得 a ? ? 3

27 ,所以 a ? 3 . 5

…………………11 分

综上,得 a ? 1 .

法二: (Ⅱ)要使 f ( x ) ? 0 在 [1, ??) 上有解,只要 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最小值小于等于 0 . 因为 f (1) ? 1 ? a ? a 2 ? 1 ? a ? a 2 ,
2 所以当 a ? a ? 0 ,即 a ? 1 时 满足题意,

…………………8 分

当 a ? 1 时, 因为 f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? (3x ? a)( x ? a) , 令 f '( x ) ? 0 ,得到 x1 ?

a , x2 ? ?a , 3

因为 a ? 1 ,所以 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最小值为 f (1) , 所以 f (1) ? 0 ,根据上面得到 a ? 1 ,矛盾. 综上, a ? 1 . (Ⅲ) a ? 1
高三文科试题答案 10 / 12

…………………11 分

…………………13 分

20.解: (Ⅰ)因为 B( ?1,0) ,所以 A(?1, y0 ) , 代入 …………………1 分

3 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) ,解得 y0 ? , 2 4 3 1 . 2

…………………2 分

代入直线 y ? kx ? 1 ,得 k ? ?

…………………3 分

(Ⅱ)解法一:设点 E (0,1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 y2 ?1 ? ? ,所以 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 , 因为 ? 4 3 ? ? y ? kx ? 1
? ? ? ? 96(2k 2 ? 1) ? ?8k ? 所以 ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ? ?8 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
又因为 S1 ?

…………………4 分

…………………6 分

1 1 1 | OE | (| x1 | ? | x2 |) ? ? 1? | x1 ? x2 |? | x1 ? x2 | , 2 2 2

…………………7 分

而 | x ? x |? 1 2 所以 S ? 1 1

96(2k 2 ? 1) , 3 ? 4k 2
…………………8 分

96(2k 2 ? 1) 2 6 2k 2 ? 1 , = 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以

2 6 2k 2 ? 1 2 6 = , 3 ? 4k 2 3
…………………9 分

2k 2 ? 1 1 = ,解得 k ? 0 , 所以 3 ? 4k 2 3
2? 2 6 3 ?4 6. 1 3

所以 | AD |?

…………………10 分

法二: 解法一:设点 E (0,1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

高三文科试题答案 11 / 12

? x2 2 ? ? y ?1 , 因为 ? 4 ? ? y ? kx ? 1

所以 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 ,

…………………4 分

? ? ? ? 96(2k 2 ? 1) ? ?8k ? 所以 ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ? ?8 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
点 O 到直线 AD 的距离为 d ?

…………………6 分

1 1? k2
2

,

…………………7 分

| AD |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2

2

96(2k 2 ? 1) …………………8 分 3 ? 4k 2

所以 S ? 1 | AD | ?d ? 1 1

2

96(2k 2 ? 1) 2 6 2k 2 ? 1 2 6 = = 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3
…………………9 分

所以

2k 2 ? 1 1 = ,解得 k ? 0 , 3 ? 4k 2 3
2? 2 6 3 ?4 6. 1 3
1 2 1 | x1 ? x2 | 2

所以 | AD |?

…………………10 分

(Ⅲ)因为 S2 ? ( y1 ? y2 ) | x1 ? x2 | ,

…………………11 分

所以

S1 1 ? ? , S2 1 ( y ? y ) | x ? x | y1 ? y2 1 2 1 2 2

…………………12 分

而 y1 ? y2 ? kx1 ? 1 ? kx2 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ,

…………………13 分

S1 1 3 ? 4k 2 3 1 ? ? ? ? 所以 S2 ?8k 6 6 2. k ?2 2 3 ? 4k

…………………14 分

高三文科试题答案 12 / 12



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