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高二数学数列1


?1.观察以下几个例子:

(1)钢管自上而下排列成一列数 4,5,6,7,8,9,10 (2)正整数1,2,3,4,…,的倒数排列成一列数: 1,1/2,1/3,1/4, … (3) 2 精确到1,0.1,0.01,0.001,…不足近似值 排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,… (4)-1的1次幂,2次幂,4次幂,…排列在一列数: -1,1,-

1,1, … (5)无穷多个1排列成一列数:1,1,1,1,…

?数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做

数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项, 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第 2项,…,第n项,… ? 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…an,…. 其中an是数列的第n项。简记作{an}。

? 判断题 (1)“1,2,3,4,5,6”与“6,5,4,3, 2,1”是同一数列( ) (2)“1,2,2,3,3,3”不是数列( )

数列的分类 (一)①有穷数列;②无穷数列。
(二) ①若an+1>an,对任意的正整数n都成立, 则{an}称为递增数列; ②若an+1<an,对任意的正整数n都成立, 则{an}称为递减数列; ③若an+1=an,对任意的正整数n都成立, 则{an}称为常数数列。 ④摆动数列

1 .若an=an-1-3,则{an}是单调递_______数列

∵an-an-1=-3<0 ∴{an}是递减
an?1 1 2.已知数列{an }满足a1 ? 0, ? , 则{an }是 an 2
A.递增数列
C.摆动数列

B.递减数列
D.不确定

?

以数列(1)为例,说明数列是一个序号集 合与另一个数的集合的映射。序号: 1,2,3,4,5,6,7 4 5 6 7 8 9 10
x+3

数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an 与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那 么这个公式叫做这个数列的通项公式。

例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列 各数:

1 1 1 ( 1 ) 1,- ,,- ; 2 3 4
(2)2,0,2,0;

图像法 列表法:

优点:不需要计算就可以直接看出 与项相对应的关系 优点:能直接形象地表示出随着项数 的变化,相应项变化的趋势, 直观明了

根据下列各组数,写出它的一个通项公式

2 3 4 5 n ?1 an ? (1) , , , ,? n 1 2 3 4 1 1 1 1 (?1) n (2) ? , ,? , ,? a n ? 2n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 ?0, n为 偶 数 1 1 ? an ? ? 1 (3)1,0, ,0, ,? ? n , n为 奇 数 3 5 ? (4)11,191 ,1991 ,19991 ,? an ? 2 ?10n ? 9

通项公式的优点:①简明、全面地概括了项数与项的关系; ②可以通过通项公式求出任意项的值

? ? ? ? ?

a1=4 a2=5=a1+1 a3=6=a2+1 ………… an=an-1+1 (2≤n≤7)

定义:已知数列{an}的第1项(或前几 项),

且任意一项an与前一项an-1(或前几项)间的关 系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数 列的递推公式

例1.已 知a1 ? 1, a n ? 1 ?

1 a n ?1

( n ? 2), 写 出 这 个 数 列 的 前 5项

解:a1=1,
1 a2 ? 1? ? 2 1

1 3 a3 ? 1 ? ? 2 2

2 5 a4 ? 1 ? ? 3 3

3 8 a5 ? 1 ? ? 5 5

通项公式与递推公式的异同

3.Sn法:若数列的前n项和记为Sn,即
Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an Sn-1

?

∴当n≥2时,有an=Sn-Sn-1 (n ? 1) ?S1 即an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

例3.已知{an}的前 n项和Sn=n2+n-2 ,求an.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =n2+n-2-(n-1)2-(n-1) +2

?0 ? an ? ? ?2n

=2n 当n=1时,a1=0

(n ? 1)

(n ? 2)

1.若Sn=n2-1,求an 2.若Sn=2n2-3n,求an
? 0 (n ? 1) an ? ? ?2n ? 1 (n ? 2)

an=4n ? 5

an ? 1.a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=________ 2n-1 若an=an-1+2(n≥2),a1=1,则an=________ ? 2.a1×(a2/a1) ×(a3/a2) ×…×(an/an-1)= an ____________ n-1 2 ? 若an+1/an=2,a1=1,则an=___________ (n ? 1) ?1 ? n ?1 n (n ? 2) ? 3.若Sn=3 -2, 则an=____________ ?2 ? 3

例2.已知 a ? n ? 1 ? n 2 , n 求证:{an}是单增的
证 明: a n?1 ? ? an
2

( n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) 2 n ? 1? n2
2 2 2

? (n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ??(n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ??n ? 1 ? n ? ? ?n ? 1 ? n ??n ? 1 ? n ??(n ? 1) ? (n ? 1) ?
2

?

n ? 1 ? n2 (n ? 1) ? 1 ? (1 ? n) 2
2

?1

而an ? n ? 1 ? n ? 0 ∴an+1>an,即{an}是单增的

已知数列?an ? 中,a1 ? 1, an?1 ? an ? (?1) ,
n

则a100 ? ____ .
设?an ?是首项为1的正项数列,并且 (n ? 1)a
2 n ?1

? na ? an?1 ? an ? 0(n ? 1,2,?),
2 n

则它的通项公式是 an ? ____ .

数列?an ? 中,a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2), 求an .


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