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必修一对数函数


§2.4.1 幂函数 教学目标: 1 知识与技能:了解幂函数的概念,会画幂函数的图像,通过观察图像,了 解幂函数的图像变化情况和性质,并会用幂函数图像及性质解题。 2.过程与方法:通过观察总结幂函数的性质,培养学生观察、分析归纳的能 力。通过画图比较,培养学生识图能力,同时也使学生体会数行结合思想。 3 情感态度与价值观:通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到生活 中处处有数学,激发学生的学习兴趣。了解幂函数和指数函数的本质差别,使学 生了解了类比法在研究问题中的作用。 教学重点:从五种具体的函数中认识幂函数的概念和性质并会应用。 教学难点:引导学生概括幂函数性质,用幂函数的性质解题。 教学方法:引导发现法 教学过程: (一)新课引入: 我们常说数学源于生活,生活中蕴涵着数学,那么下面让我们共同来体会生 活中的数学。 (1)如果蔬菜的价格是每千克 1 元,张虹买了 t 千克,那么她需要支付的钱 数 p 与 t 之间存在着怎样的关系? (p=t,这里 p 是 t 的函数)

(2)如果正方形桌子的边长为 a,那么桌子的面积 s 与 a 之间存在着怎样的关 系? (S= a 2 ,这里 S 是 a 的函数)

(3)如果立方体的边长为 a,那么正方体的体积 V 与 a 之间存在着怎样的关 系? (V= a 3 ,这里 V 是 a 的函数)

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的边长 a 与 s 之间存 在着怎样的关系? (a = s = s2 , 这里 a 是 S 的函数)
1

(5)如果某人 t 秒内骑车行进了 1 km,那么他骑车的速度 v 与 t 之间存在着 怎样的关系?
1 ( v = = t ?1 ,这里 v 是 t 的函数) t

我们得到了这样的五个函数,假如我们把所有函数的自变量都换做用 x 来 表示,把所有的函数值都用 y 来表示,那么这五个函数将会变成什么形式呢?
1

( y = x , y = x 2 , y = x 3 , y = x 2 , y = x ?1 ) 这些函数有什么共同特征吗?(学生讨论,教师引导。学生回答。 ) ①底数都是自变量 x ②指数是常量 ③解析式的右边都能写成幂的形式 这些函数是我们生活中常用的一类函数的代表, 如果用字母 α 来表示函数的
α 指数,就能得到更一般的式子,即: y = x

让大家给这类函数起一个名字的话,你们将会给它起个什么名字呢?(幂函 数) (适当引导:底数都是变量,指数是常量,类似与我们学过的幂的形式) 这就是我们本节课所要研究的内容——幂函数(板书) 二、新课讲解: 幂函数的定义来自于实践,它同指数函数、对数函数一样,也是基本初 等函数,同样也是一种“形式定义”的函数。同学们类比指数函数、对数函 数的定义,能给出幂函数的定义吗?(学生类比回答) 一、定义:一般地,函数 y = x 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数。 (板书) (强调 α 与 a 不同) 下面我们根据幂函数定义来判断下列函数那些是否是幂函数 (1) y = 0.2 x (4) y = ? x 2 分析: (1)不是: 幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数, 那么幂函数与指数函数有什么区别呢?(引导学生回顾指数函数) 总结: 对幂函数来说,底数是自变量,指数是常数 对指数函数来说,指数是自变量,底数是常数 (2) y = ( x + 2) 2 (5) y = x 2 + 1 (3) y = x x (6) y = x 0 (7) y = 1
α

(2) (3) (4) (5)不是: 总结判断一个函数是幂函数要求: ①底数都是自变量 x ③ 幂的系数是 1 ②指数是常量 ④函数为单项式

(6) (7)不是: (注意区别 y = x 0 与 y=1) : 回顾判断两个函数是相同函数的要求: ①定义域相同 ②对应关系完全相同

我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识,根据我们前面学习指数函 数、对数函数的学习经历,下面我们应该研究什么呢?(图像和性质) (二)图像和性质(板书) 由幂函数定义我们知道:α 为任意实数,所以幂函数应该有很多,我们现在 就以 y = x , y = x , y = x , y = x , y = x ?1 这五种函数为例来研究幂函数的图像和
2 3 1 2

性质。 现在让我们一起画出它们的函数图像, 这里哪些函数是我们在初中学习过 的:
y = x (平分一三象限的直线) y = x2 ( 开 口 向 上 的 抛 物 线 )

y = x ?1 (在第一象限向上无限接近于 y 轴,向右无限接近于 x 轴的曲线)

对于 y = x , y = x
3

1 2

我们能通过列表, 描点, 连线的方式画出它们的图像。

现在大家拿出练习本画出它们的函数图像。 请两名同学把画好的图像画到黑板上 分析: y = x 3 的定义域是 R,是奇函数,只要画出[0,+∞)的图像,就可以 根据它的奇偶性画出另一部分的图像了.
y = x 2 的定义域是[0,+∞),只需画出[0,+∞)的图像
1 1

观察函数 y = x , y = x 2 , y = x 3 , y = x 2 , y = x ?1 的图像, 将你发现的结论写在下 表内。(找学生填写)

y=x

y = x2

y = x3

y=x

1 2

y = x ?1





定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点

R R 奇 在 R 上增 (1,1) (0,0) 一、三 象限

R [0,+∞)

R R

偶 奇 在(0,+∞)增 在 R 上增 在(-∞,0)减 (1,1) (0,0) 一、二 象限 (1,1) (0,0) 一、三 象限

(- ∞ ,0) ∪ (0,+ ∞) [0,+∞) (- ∞ ,0) ∪ (0,+ ∞) 非奇非偶 奇 在 (0,+ ∞ ) 在(0,+∞)减 增 在(-∞,0)减 (1,1) (0,0) 一 象限 (1,1)

[0,+∞)

图像 象限

一、三 象限

我们把五种函数图像画在同一坐标系中,同学 们能说出每一个曲线代表的函数吗?(学生对应每 一个图像说出每一个曲线代表的函数,引导学生发 现规律) 在直线 x=1 的右侧,图像随着指数的增大,图 像在不断的升高。 由列表及图像我们一起来总结幂函数性质(引 导学生讨论总结) 幂函数的性质: (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都过点(1,1), (2)如果α>0,则幂函数的图像通过原点, 并在区间[0,+∞)上是增函数, (3)如果α<0,则幂函数在(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当 x 从右 边趋向于原点时,图像在 y 轴右方无限地趋近 y 轴;当 x 趋向于+∞,图象在 x 轴上方无限地趋近 x 轴。 (4)当α为奇数是,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数是偶函数。 (板书)

(三)例题:例 1:证明函数 f ( x) = x 在 [0,+∞ ) 上是增函数。 分析:回顾证明函数单调性的步骤:任取、做差、变形、定号、下结论。 证明:任取 x1、x 2 ∈ [0,+∞ )且x1 < x 2 则: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x1 ? x 2
= ( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) x1 + x 2 = x1 ? x 2 x1 + x 2

任取 做差 变形 定号 下结论

因为 x1 ? x 2 < 0, x1 + x 2 > 0 ,所以 f ( x1 ) < f ( x 2 ) 即幂函数 f ( x) = x 在 [0,+∞ ) 上是增函数。

例 2:比较下列各组数中两个值的大小(在横线上填上“<”或“>” ) (1) 3.14 ________ π
1 2 1 2

(2) (?1.1) 3 _______ (? 1.2 ) (4)
2 ?1.2 _______ 2 ?1.7

3

(3) 1.25 ?1 ________ 1.22 ?1

分析:利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小
1 1

解:(1) 3.14 2 __ <____ π 2 (3) 1.25 ?1 ___<___ 1.22 ?1

(2) (?1.1) 3 __>___ (? 1.2 ) (4) 2 ?1.2 ____>___ 2 ?1.7

3

(四)小结:(请同学们总结一下我们本节课所学的内容,教师进行补充) 本节课主要学习了幂函数的定义,判断一个函数是幂函数也要求在形式上 和幂函数的定义一样,一定注意它与指数函数的区别。接下来根据五种幂函数的 图像总结了幂函数的性质,并学会利用幂函数的性质进行解题。这也是我们本节 课的重难点。 : (五)作业:P79 习题 2.3 (六)板书设计 §2.4.1 幂函数 一、定义:………………… 二 、 图 像 及 性 质 : ( 1 ) …………………… (2)……………………… (3)……………………… (4)……………………… 例 1:…………… 证明………… (……………… 咧 2…………… (1)……(2)…… (3)……(4)…… 1、2



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