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高中数学必修内容训练试题(24)—会考模拟试题(7)


高中数学必修内容训练试题(24)—会考模拟试题(7)
本试卷第 I 卷和第 II 卷两部分 第 I 卷为选择题,第 II 卷为非选择题 第 I 卷(选择题,共 44 分) 考生须知:
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1 全卷分试题卷和答题卷,有三大题,33 小题,满分为 100 分,考试时间 120 分钟 2 本卷答案必须做在答题卷的相应位置上,做在试题卷上无效 3 请用钢笔或圆珠笔将姓名 准考证号分别填写在密封区内的相应位置上,并沿裁剪 线将答题卷裁下 一、选择题(本题有 22 小题,每小题 2 分,共 44 分 选出各题中一个符合题意的正 确选项,不选 多选 错选均不给分)
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1 tan
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? 4

= (B)-1
2 x + 1 ,则 f ( 0 )

(A)1 2 已知 f ( x ) = (A)-1
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(C)

2 2

(D)-

2 2

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= (B)0

(C) 1

(D)2
1 2

3 直线 y = -2 x + 1 在 y 轴上的截距是
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(A)0
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(B)1

(C) -1

(D) C

4 如图,在平行四边形 ABCD 中成立的是
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(A) AB = CD (C) AD = CB

? ??? ??? ?

(B) AB = BC (D) AD = BC

? ??? ??? ?

D

? ???? ???

? ???? ???
A

B (第 4 题) 5 铁路旅行规定:旅客每人免费携带品的外部尺寸长 宽 高之和不超过 160 厘米 设携 带品外部尺寸长 宽 高分别为 a,b,c (单位:厘米),这个规定用数学关系式可表示 为 (A)a + b + c < 160 (B)a + b + c > 160 (C)a + b + c ≤ 160 (D)a + b + c ≥ 160 6 半径为 1 的球的表面积等于 (A)4 (B)8 (C)4π (D)8π
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7

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已知点 M(-2,3) ( 2,0 ),则 │ MN │ ,N (A)3 (B)5 (C)9
x2 y2 ? ? 1 的离心率是 4 9

???? ?

(D)25

8 双曲线
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9 5 13 2 (B) (C) (D) 4 3 2 2 9 不等式 ( x + 1 ) ( x -3 ) < 0 的解集是 (A) (-1,3) (B) (-∞,-1)∪(3,+∞) (C) (-3,1) (D) (-∞,-3)∪(1,+∞) 10 f ( x ) = cos 2 x,x∈R 是

(A)

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(A)最小正周期为 2π 的偶函数 (C)最小正周期为π 的偶函数

( B)最小正周期为 2π 的奇函数 (D)最小正周期为π 的奇函数

11

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函数 y = log2 ( 1 ? x ) 的定义域是 (A) (-1 ,1 ) (C) (-∞,1) (B) 1,+ ∞) ( (D) (-∞,1)∪(1,+∞)
3

12

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( 1 ? x ) 的展开式中,含 x 的项是
6

(A)-20 x 3
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(B)20 x 3

(C)-15 x 3

(D)15 x 3

13 若直线 l 是平面α 的一条斜线,则在平面α 内与 l 垂直的直线 (A)有且只有一条 (B)有无数条 (C)有且只有两条 (D)不存在 14 如果 a < 3 ,则
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(A)
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a 2 >9

(B) a 2 < 9

(C) a 3 > 27 (D) a 3 < 27 15 下列方程所表示的曲线中,关于 x 轴和 y 轴都对称的是
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(A) x 2 ? y 2 ? 1 (C) ( x ? 1) 2 ? y 2 = 1
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(B) y 2 = x (D)x - y + 1 = 0

16 条件 p:平面α 和平面β 有三个公共点,条件 q:平面α 与平面β 重合, 则p是q的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ? 17 将函数 y = sin x ,x∈R 的图象按 a 平移后,得 y = sin ( x + ) + 2,x∈R 的 3 图象,则 a = ? ? (A) (- ,-2) (B) ( ,-2) 3 3 ? ? (C) (- ,2) (D) ( ,2) 3 3
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18 椭圆
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x2 ? y 2 ? 1 的准线与 y 轴平行,那么 m 的取值范围为 m

(A) m < 0

(B)m > 0

(C)0 < m < 1 (D)m > 1 19 有 5 把钥匙,其中有 2 把能打开锁,现从中任取 1 把能打开锁的概率是 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 2 5 5 5
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20 某公司员工义务献血,在体检合格的人中,O 型血的有 10 人,A 型血的 有 5 人,B 型血的有 8 人,AB 型血的有 3 人,从四种血型的人中各选 1 人去献血,不同的选法种数为 (A)1200 (B)600 (C)300 (D)26
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?x ? 0 ? 21 由不等式组 ? y ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
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,表示的平面区域(图中阴影部分)为

(A) (B) (C) 22 电缆绕在圆柱形的架子上, 如图, 若空架时架芯直径为 0 6 米, 满架时直径为 1 2 米, 架子宽为 0 9 米, 电缆直径为 0 03 米, 则满架时所绕的电缆的长是(按电缆的中心线计算各圈的长 度,π 取 3)
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(D)

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(A)1620 米 (C)540 米

(B)810 米 (D)270 米 第 II 卷(非选择题,共 56 分)

0 6
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二、填空题(本题有 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 23 若 A = {1,2 },B = {0,1 },则
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0 9

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A∪B = 24
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β
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2 3 计算: C 5 - C 5 =

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25 化简: sin2 ? ? tan? ? cot? ? cos2 ? =
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B

26 已知二面角α -AB-β 为 60 ,在平面β 内有一点
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?

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α

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P,它到棱 AB 的距离为 2,则点 P 到平面α 的距 离为
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A

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(第 26 题)
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27 已知 a > 0, b > 0,a + b = 1,则 a b 的最大值是
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28 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线为 l,过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,
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若 AA1⊥ l 于 A1 ,BB1⊥ l 于 B1,则∠A1FB1 = 三、解答题(本题有 5 小题,共 38 分) 29 (本题 6 分)
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已知 a = (2,1) b = (λ ,- 2) , ,若 a ⊥ b ,求λ 的值

?

?

?

?

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30 (本题 6 分) 已知{ an }是各项为正数的等比数列,且 a1 = 1,a2 + a3 = 6, 求该数列前 10 项的和 S10
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31 (本题 8 分)
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如图,在直三棱柱 ABC —A1B1C1 中,AB = AC = 1,AA1 = 线 BC1 与 AC 所成角的度数
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2 ,AB⊥AC

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求异面直

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C1 A1 B1

C

A

B (第 31 题)

32 (本题 8 分)
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求圆心在直线 4 x + y = 0 上,并过点 P(4,1) ,Q(2,-1)的圆的方程

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33 (本题 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足 x f ? x ? ? b ? c f ? x ? ,b ≠0,f ( 2 ) = -1,
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且 f ( 1-x ) = - f ( x +1 )对 两边都有意义的中任意 x 都成立 ( 1 ) 求 f ( x )的解析式及定义域; ( 2 ) 写出 f ( x )的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数? ( 3 ) 若 y = f ( x ) 与 y ? x ? 2 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求三角形 OAB 的面积
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参考答案和评分标准
一 选择题(44 分)
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题 号 答 案 题 号 答 案 评分标准
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1 A 12 A

2 D 13 B

3 B 14 D

4 D 15 A
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5 C 16 B
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6 C 17 C
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7 B 18 D
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8 D 19 B
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9 A 20 A

10 C 21 C

11 C 22 B

选对一题给 2 分,不选 多选 错选都给 0 分
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二 填空题 (18 分)
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题号 23 25 27

答 案 {0,1,2} 2
1 4

评分意见

题号 24 26 28

答 案 0
3
90?

评分意见 答 1 732 也给 3 分
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? 也给 3 分 2

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评分标准
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填对一题给 3 分,只对一部分或答案形式不同的按评分意见给分
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三 解答题(38 分) 29 (本题 6 分)
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解:∵ a ⊥ b , ∴ a ·b = 0 , 又 ∵ a =(2,1) b =(λ ,-2) , 得

? ?

? ?

……………………………………2 分

?

?

? ? a · b =2λ -2 = 0 ,
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……………………………………2 分

∴λ = 1 ……………………………………2 分 30 (本题 6 分) 解:设该数列的公比为 q, 由已知 a2 + a3 = 6 , 即 a1 ( q + q2 ) = 6 , ………………………………2 分 ∵ a1 = 1 , ∴ q2 + q -6 = 0 , 得 q1 = 2 ,q2 = -3(舍去) , ∴数列 { a n }的首项为 a1 = 1,公比 q = 2, …………………………2 分
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∴S10 =

a1 1 ? q 10 1 ? 210 ? ? 210 ? 1 ? 1023 1? q 1? 2

?

?

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………………………… 2 分

31 (本题 8 分)
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解法一:在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC // A1C1 , ∴∠B C1A1 就是 BC1 与 AC 所成的角 连结 A1B,在△A1B C1 中, 由已知得 BA1= 3 ,A1C1=1,BC1=2 , ………………2 分
12 ? 2 2 ? 3 2 ? 1? 2
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……………2 分 C1 A1 B1

由余弦定理得 cos∠BC1A1 =

? ?

2

?

1 , 2

C

∴∠B C1A1=60°, ………………………………………3 分 因此直线 BC1 与 AC 所成的角为 60? ……………………1 分
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A

B (第 31 题)

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解法二:如图,建立空间直角坐标系 O-x y z , 则 A(0,0,0) ,C(-1,0,0) , B(0,1,0) 1(-1,0, 2 ) ,C
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……1 分 z C1

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………………2 分 A1 B1

??? ? ???? ? ∴ AC ? (-1,0,0), BC1 =(-1,-1, 2 ),
∴ AC =1, BC1 =2,

????

???? ?

………………………………2 分 y

C ??? ???? ? ? (O) A ∴ AC ? BC1 ? ? ?1? ? ? ?1? ? 0 ? (?1) ? 0 ? 2 ? 1 ,……………1 分 B x (第 31 题) ???? ???? ? ??? ???? ? ? AC ? BC1 1 ∴cos< AC, BC1 > = ???? ???? ? , ? AC ? BC1 2

因此直线 BC1 与 AC 所成的角为 60° 32 (本题 8 分)
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………………2 分

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解:∵点 P,Q 在圆上,∴圆心在 PQ 的垂直平分线上, PQ 的垂直平分线的方程为 x + y -3 = 0 又圆心在直线 4 x + y = 0 上, ∴它们的交点为圆心 由?
? 4x ? y ? 0 , ?x ? y ? 3 ? 0 , 得
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……………………2 分

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? x ? ?1 , ? ? y ? 4,

即圆心坐标为(-1,4),……………2 分 …………………………2 分
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半径 r ?

?2 ? 1?2 ? ?4 ? 1?2

? 34 ,

因此所求圆的方程为 ?x ? 1?2 ? ? y ? 4?2 ? 34 ………………………………2 分
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33 (本题 10 分) 解: (1)由 xf ?x ? ? b ? cf ?x ? , b ? 0 ,∴x ≠ c,
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得 f ?x ? ?

b , x?c

………………………………………………1 分

由 f ?1 ? x ? ? ? f ?x ? 1? ,得 ∴ c ?1
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b b , ?? 1? x ? c x ?1? c

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由 f ?2? ? ?1 ,得 因此 f ?x ? ?

?1 ?

b , 即 b ? ?1 2 ?1

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(2) f ?x ? 在 (-∞,1) 和(1,+∞)上都是增函数 下面证明 f ?x ? 在(1,+∞)上是增函数
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1 , ……………………………………………………2 分 1? x 其定义域为 ?? ?,1? ? ?1,??? ……………………………………1 分
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………………1 分

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设 x1 ,x2∈(1,+∞) ,且 x1 < x2 , 则 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ?
x1 ? x 2 1 1 ? ? ?0 1 ? x1 1 ? x 2 ?1 ? x1 ??1 ? x 2 ?
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∴ f ?x1 ? ? f ?x 2 ? , ∴ f ?x ? 在(1,+∞)上是增函数 同理可证 f ?x ? 在(-∞,1)上也是增函数
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……………………2 分
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(3)由 ?

?y ? x ? 2 ? 1? 5 ?1? 5 ? 1 得点 A,B 的横坐标分别为 , y? 2 2 ? 1? x ?

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……1 分

又直线 y = x + 2 与 y 轴的交点为 P (0,2 ) ,
1 1? 5 1 ?1 ? 5 ∴ S ?OAB ? S ?OPA ? S ?OPB ? ? 2 ? ………2 分 ? ? 2? ? 5 2 2 2 2 29~33 题评分标准:按解答过程分步给分 能正确写出评分点相应步骤的给该步所 注分值 除本卷提供的参考答案外,其他正确解法根据本标准相应给分
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