高中数学必修内容训练试题(24)—会考模拟试题(7)

高中数学必修内容训练试题（24）—会考模拟试题(7)
本试卷第 I 卷和第 II 卷两部分 第 I 卷为选择题，第 II 卷为非选择题 第 I 卷（选择题，共 44 分） 考生须知：
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1 全卷分试题卷和答题卷，有三大题，33 小题，满分为 100 分，考试时间 120 分钟 2 本卷答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效 3 请用钢笔或圆珠笔将姓名 准考证号分别填写在密封区内的相应位置上，并沿裁剪 线将答题卷裁下 一、选择题（本题有 22 小题，每小题 2 分，共 44 分 选出各题中一个符合题意的正 确选项，不选 多选 错选均不给分）
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1 tan
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? 4

= （B）－1
2 x + 1 ，则 f ( 0 )

（A）1 2 已知 f ( x ) = （A）－1
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（C）

2 2

（D）－

2 2

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= （B）0

（C） 1

（D）2
1 2

3 直线 y = －2 x + 1 在 y 轴上的截距是
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（A）0
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（B）1

（C） －1

（D） C

4 如图，在平行四边形 ABCD 中成立的是
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（A） AB = CD （C） AD = CB

? ??? ??? ?

（B） AB = BC （D） AD = BC

? ??? ??? ?

D

? ???? ???

? ???? ???
A

B （第 4 题） 5 铁路旅行规定：旅客每人免费携带品的外部尺寸长 宽 高之和不超过 160 厘米 设携 带品外部尺寸长 宽 高分别为 a，b，c (单位：厘米)，这个规定用数学关系式可表示 为 （A）a + b + c ＜ 160 （B）a + b + c ＞ 160 （C）a + b + c ≤ 160 （D）a + b + c ≥ 160 6 半径为 1 的球的表面积等于 （A）4 （B）8 （C）4π （D）8π
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7

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已知点 M（－2，3） ( 2，0 )，则 │ MN │ ，N （A）3 （B）5 （C）9
x2 y2 ? ? 1 的离心率是 4 9

???? ?

（D）25

8 双曲线
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9 5 13 2 （B） （C） （D） 4 3 2 2 9 不等式 ( x + 1 ) ( x －3 ) ＜ 0 的解集是 （A） （－1，3） （B） （－∞，－1）∪（3，+∞） （C） （－3，1） （D） （－∞，－3）∪（1，+∞） 10 f ( x ) = cos 2 x，x∈R 是

（A）

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（A）最小正周期为 2π 的偶函数 （C）最小正周期为π 的偶函数

（ B）最小正周期为 2π 的奇函数 （D）最小正周期为π 的奇函数

11

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函数 y = log2 ( 1 ? x ) 的定义域是 （A） （－1 ，1 ） （C） （－∞，1） （B） 1，+ ∞） （ （D） （－∞，1）∪（1，+∞）
3

12

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( 1 ? x ) 的展开式中，含 x 的项是
6

（A）－20 x 3
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（B）20 x 3

（C）－15 x 3

（D）15 x 3

13 若直线 l 是平面α 的一条斜线，则在平面α 内与 l 垂直的直线 （A）有且只有一条 （B）有无数条 （C）有且只有两条 （D）不存在 14 如果 a ＜ 3 ，则
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（A）
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a 2 ＞9

（B） a 2 ＜ 9

（C） a 3 ＞ 27 （D） a 3 ＜ 27 15 下列方程所表示的曲线中，关于 x 轴和 y 轴都对称的是
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（A） x 2 ? y 2 ? 1 （C） ( x ? 1) 2 ? y 2 = 1
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（B） y 2 = x （D）x － y + 1 = 0

16 条件 p：平面α 和平面β 有三个公共点，条件 q：平面α 与平面β 重合， 则p是q的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ? 17 将函数 y = sin x ，x∈R 的图象按 a 平移后，得 y = sin ( x + ) + 2，x∈R 的 3 图象，则 a = ? ? （A） （－ ，－2） （B） （ ，－2） 3 3 ? ? （C） （－ ，2） （D） （ ，2） 3 3
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18 椭圆
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x2 ? y 2 ? 1 的准线与 y 轴平行，那么 m 的取值范围为 m

（A） m ＜ 0

（B）m ＞ 0

（C）0 ＜ m ＜ 1 （D）m ＞ 1 19 有 5 把钥匙，其中有 2 把能打开锁，现从中任取 1 把能打开锁的概率是 1 1 2 3 （A） （B） （C） （D） 2 5 5 5
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20 某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的有 10 人，A 型血的 有 5 人，B 型血的有 8 人，AB 型血的有 3 人，从四种血型的人中各选 1 人去献血，不同的选法种数为 （A）1200 （B）600 （C）300 （D）26
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?x ? 0 ? 21 由不等式组 ? y ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
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，表示的平面区域(图中阴影部分)为

（A） （B） （C） 22 电缆绕在圆柱形的架子上， 如图， 若空架时架芯直径为 0 6 米， 满架时直径为 1 2 米， 架子宽为 0 9 米， 电缆直径为 0 03 米， 则满架时所绕的电缆的长是（按电缆的中心线计算各圈的长 度，π 取 3）
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（D）

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（A）1620 米 （C）540 米

（B）810 米 （D）270 米 第 II 卷（非选择题，共 56 分）

0 6
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二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 23 若 A = {1，2 }，B = {0，1 }，则
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0 9

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A∪B = 24
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β
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2 3 计算： C 5 － C 5 =

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P·
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25 化简： sin2 ? ? tan? ? cot? ? cos2 ? =
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B

26 已知二面角α -AB-β 为 60 ，在平面β 内有一点
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?

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α

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P，它到棱 AB 的距离为 2，则点 P 到平面α 的距 离为
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A

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（第 26 题）
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27 已知 a ＞ 0， b ＞ 0，a + b = 1，则 a b 的最大值是
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28 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线为 l，过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，
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若 AA1⊥ l 于 A1 ，BB1⊥ l 于 B1，则∠A1FB1 = 三、解答题（本题有 5 小题，共 38 分） 29 （本题 6 分）
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已知 a = （2，1） b = （λ ，－ 2） ， ，若 a ⊥ b ，求λ 的值

?

?

?

?

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30 （本题 6 分） 已知{ an }是各项为正数的等比数列，且 a1 = 1，a2 + a3 = 6， 求该数列前 10 项的和 S10
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31 （本题 8 分）
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如图，在直三棱柱 ABC —A1B1C1 中，AB = AC = 1，AA1 = 线 BC1 与 AC 所成角的度数
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2 ，AB⊥AC

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求异面直

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C1 A1 B1

C

A

B （第 31 题）

32 （本题 8 分）
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求圆心在直线 4 x + y = 0 上，并过点 P（4，1） ，Q（2，－1）的圆的方程

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33 (本题 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足 x f ? x ? ? b ? c f ? x ? ，b ≠0，f ( 2 ) = －1，
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且 f ( 1－x ) = － f ( x +1 )对 两边都有意义的中任意 x 都成立 ( 1 ) 求 f ( x )的解析式及定义域； ( 2 ) 写出 f ( x )的单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？ ( 3 ) 若 y = f ( x ) 与 y ? x ? 2 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求三角形 OAB 的面积
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高中数学必修内容训练试题（24）—会考模拟试题(7)

参考答案和评分标准
一 选择题(44 分)
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题 号 答 案 题 号 答 案 评分标准
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1 A 12 A

2 D 13 B

3 B 14 D

4 D 15 A
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5 C 16 B
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6 C 17 C
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7 B 18 D
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8 D 19 B
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9 A 20 A

10 C 21 C

11 C 22 B

选对一题给 2 分，不选 多选 错选都给 0 分
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二 填空题 (18 分)
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题号 23 25 27

答 案 {0，1，2} 2
1 4

评分意见

题号 24 26 28

答 案 0
3
90?

评分意见 答 1 732 也给 3 分
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答

? 也给 3 分 2

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评分标准
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填对一题给 3 分，只对一部分或答案形式不同的按评分意见给分
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三 解答题（38 分） 29 (本题 6 分)
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解：∵ a ⊥ b ， ∴ a ·b = 0 ， 又 ∵ a =（2，1） b =（λ ，－2） ， 得

? ?

? ?

……………………………………2 分

?

?

? ? a · b =2λ －2 = 0 ，
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……………………………………2 分

∴λ = 1 ……………………………………2 分 30 (本题 6 分) 解：设该数列的公比为 q， 由已知 a2 + a3 = 6 ， 即 a1 ( q + q2 ) = 6 ， ………………………………2 分 ∵ a1 = 1 ， ∴ q2 + q －6 = 0 ， 得 q1 = 2 ，q2 = －3（舍去） ， ∴数列 { a n }的首项为 a1 = 1，公比 q = 2， …………………………2 分
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∴S10 =

a1 1 ? q 10 1 ? 210 ? ? 210 ? 1 ? 1023 1? q 1? 2

?

?

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………………………… 2 分

31 (本题 8 分)
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解法一：在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC // A1C1 ， ∴∠B C1A1 就是 BC1 与 AC 所成的角 连结 A1B，在△A1B C1 中， 由已知得 BA1= 3 ，A1C1=1，BC1=2 ， ………………2 分
12 ? 2 2 ? 3 2 ? 1? 2
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……………2 分 C1 A1 B1

由余弦定理得 cos∠BC1A1 =

? ?

2

?

1 ， 2

C

∴∠B C1A1=60°， ………………………………………3 分 因此直线 BC1 与 AC 所成的角为 60? ……………………1 分
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A

B （第 31 题）

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解法二：如图，建立空间直角坐标系 O－x y z ， 则 A（0，0，0） ，C（－1，0，0） ， B（0，1，0） 1（－1，0， 2 ） ，C
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……1 分 z C1

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………………2 分 A1 B1

??? ? ???? ? ∴ AC ? （－1，0，0）, BC1 =（－1，－1， 2 ）,
∴ AC =1， BC1 =2，

????

???? ?

………………………………2 分 y

C ??? ???? ? ? （O） A ∴ AC ? BC1 ? ? ?1? ? ? ?1? ? 0 ? (?1) ? 0 ? 2 ? 1 ，……………1 分 B x （第 31 题） ???? ???? ? ??? ???? ? ? AC ? BC1 1 ∴cos＜ AC, BC1 ＞ = ???? ???? ? ， ? AC ? BC1 2

因此直线 BC1 与 AC 所成的角为 60° 32 (本题 8 分)
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………………2 分

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解:∵点 P，Q 在圆上，∴圆心在 PQ 的垂直平分线上， PQ 的垂直平分线的方程为 x + y －3 = 0 又圆心在直线 4 x + y = 0 上， ∴它们的交点为圆心 由?
? 4x ? y ? 0 , ?x ? y ? 3 ? 0 , 得
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……………………2 分

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? x ? ?1 , ? ? y ? 4,

即圆心坐标为(－1，4)，……………2 分 …………………………2 分
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半径 r ?

?2 ? 1?2 ? ?4 ? 1?2

? 34 ,

因此所求圆的方程为 ?x ? 1?2 ? ? y ? 4?2 ? 34 ………………………………2 分
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33 （本题 10 分） 解： （1）由 xf ?x ? ? b ? cf ?x ? ， b ? 0 ，∴x ≠ c，
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得 f ?x ? ?

b ， x?c

………………………………………………1 分

由 f ?1 ? x ? ? ? f ?x ? 1? ，得 ∴ c ?1
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b b ， ?? 1? x ? c x ?1? c

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由 f ?2? ? ?1 ，得 因此 f ?x ? ?

?1 ?

b ， 即 b ? ?1 2 ?1

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（2） f ?x ? 在 (－∞，1) 和（1，+∞）上都是增函数 下面证明 f ?x ? 在（1，+∞）上是增函数
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1 ， ……………………………………………………2 分 1? x 其定义域为 ?? ?,1? ? ?1,??? ……………………………………1 分
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………………1 分

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设 x1 ，x2∈（1，+∞） ，且 x1 ＜ x2 ， 则 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ?
x1 ? x 2 1 1 ? ? ?0 1 ? x1 1 ? x 2 ?1 ? x1 ??1 ? x 2 ?
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∴ f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ， ∴ f ?x ? 在（1，+∞）上是增函数 同理可证 f ?x ? 在(－∞，1)上也是增函数
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……………………2 分
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（3）由 ?

?y ? x ? 2 ? 1? 5 ?1? 5 ? 1 得点 A，B 的横坐标分别为 ， y? 2 2 ? 1? x ?

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……1 分

又直线 y = x + 2 与 y 轴的交点为 P (0，2 ) ，
1 1? 5 1 ?1 ? 5 ∴ S ?OAB ? S ?OPA ? S ?OPB ? ? 2 ? ………2 分 ? ? 2? ? 5 2 2 2 2 29～33 题评分标准：按解答过程分步给分 能正确写出评分点相应步骤的给该步所 注分值 除本卷提供的参考答案外，其他正确解法根据本标准相应给分
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