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线性代数复习材料


《线性代数》试题 A
一、填空题(每空格 2 分,共 14 分) 1.四阶行列式 aij 的展开式中,项 a21a13 a34 a42 所带的符号是 2.设矩阵 A ? ? 号.

?1 0 ? 2 ? ,则 A ? ?1 2 ?

; An ?

.

T 3.设 A 是 2 阶方阵, B

是 3 阶方阵, A ? 2 , B ? ?3 ,则 ? A B ?

. .

4.线性方程 x1 ? x2 ? x3 ? 0 的一个基础解系是 5.若矩阵 A 满足 A2 ? A ,且 A ? 1 ,则 A 的特征值为 .

? 0 0 ?1 ? ? ? 6.若矩阵 ? a ?1 b ? 有三个线性无关的特征向量,则 a ? b ? ? ?1 0 0 ? ? ?
二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)

.

1.若四阶行列式中,第三行元素依次为 ?1, 2, 0,1 ,对应的余子式依次为 5,3, ?7, 4 ,则 该行列式的值为 ( (A) ?3 ) (B) ?5 (C) ?15
*

(D) 5 ) (D) A

* 2.若 A 为 n 阶可逆矩阵, A 为伴随矩阵,则行列式 A ? (
n ?1

(A) A

(B) A

n

(C) A )

?1

3.若矩阵 A 中所有的 r 阶子式都为零,则必有( (A) r ( A) ? r ? 1 (B) r ( A) ? r ? 1

(C) r ( A) ? r ? 1

(D) r ( A) ? r

4.已知向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关,若向量组 ?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , k?1 ? ? 3 线性相关,则常 数k ? ( ) (A) 0 (B) 1 (C) ?2 ) (D) ?1

? ?2 0 0 ? ? ?1 0 0 ? ? ? ? ? 5.若矩阵 ? 2 x 2 ? 与 ? 0 2 0 ? 相似,则( ? 3 1 1? ? 0 0 y? ? ? ? ?
(A) x ? 0, y ? ?2 (B) x ? 1, y ? 2

(C) x ? 2, y ? 1

(D) x ? ?1, y ? ?1

三、计算题(每小题 9 分,共 27 分)

1 0 4 10
1.计算行列式

2 1 1 0 1 2 2 7 4

5 2 0

.

? 1 ?1 1 ? ? ? 3 ?1? ,且 AX ? A ? 3 X ,求矩阵 X . 2.设矩阵 A ? ? 2 ? ?1 0 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 3.求向量组 a ? (1,3, 4, ?2) , b ? (2,1,3, ?1) , c ? (3, ?1, 2, 0) , d ? (4, ?3,1,1) 的秩
和一个极大无关组,并问向量组的所有极大无关组有几组?. 四、计算、讨论题(每小题 12 分,共 36 分)

?1 2 0? ? 3 ? ? ? ? ? 1.设矩阵 A ? ? 1 0 ?2 ? ,向量 b ? ? ?1 ? ,若非齐次线性方程组 AX ? b 对应的 ? ?1 t 5 ? ?t ? 4? ? ? ? ?
齐次方程组有无穷多解,求 t 的值和非齐次线性方程组的全部解.

? 7 4 ?1 ? ? ? 2.已知矩阵 A ? ? 4 7 ?1 ? 的全部特征值为 ?1 ? ?2 ? 3, ?3 ? 11 ,求:(1) a 的值; ? ?4 4 a ? ? ?
(2) ?3 ? 11 对应的一个特征向量; (3)判别矩阵 A 可否相似对角化? 3.写出三元二次型 f ? x1 ? 4 x2 ? 4 x3 ? 2ax1 x2 ? 2 x1 x3 ? 4 x2 x3 的矩阵.求 a 的取值范
2 2 2

围,使得 f 是正定二次型. 五、证明题(共 8 分) 设 ?1 , ? 2 是矩阵 A 的对应于两个不同特征值 ?1 , ?2 的特征向量, 求证: ?1 , ? 2 线性无关.

《线性代数》试题 B
一、填空题(每空格 2 分,共 14 分) 1.四阶行列式 aij 的展开式中,项 a13 a34 a21a42 所带的符号是 2.设矩阵 A ? ? 号.

?1 1? 2 ? ,则 A ? ?0 2?

; An ?

.

?1 T 3.设 A 是 n 阶方阵, A ? ?2 ,则 3( A ) A ?

.

4.已知向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关,向量组 ?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , k?1 ? ? 3 线性相关,则常数

k?

. 5.若矩阵 A 有个特征值为 1 ,则 B ? 2 A ? 3 A 有个特征值为
3 2

. .

6.若实对称矩阵两个特征向量 (1, 2, ?1) ,(?1,1, a) ,则 a ?
T T

二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1.若三阶行列式的值为零,则该行列式中 ( ) (A)一行元素全为零 (B)两行元素相等 (C)两行元素对应成比例 (D)有一行可以用另外两行线性表出 2.若 A 为 3 阶方阵, A* 为伴随矩阵,则 (2 A) ? (
*

)
*

(A) 2A

*

(B) 4A

*

(C) 8A )

(D) 16A

*

3.若矩阵 A 中有两个 r 阶子式不为零,则必有( (A) r ( A) ? r (B) r ( A) ? r

(C) r ( A) ? r

(D) r ( A) ? r )

4.设同阶非零矩阵 A, B 满足 AB ? O ,则 A 的行向量组与 B 的行向量组 ( (A)分别都线性无关 (C)分别都线性相关 (B)只有一个线性无关 (D)以上答案均错

?1 0 0? ?1 0 0? ? ? ? ? 5.若矩阵 ? 0 0 2 ? 与 ? 0 b 0 ? 相似,则( ?0 1 a? ?0 0 2? ? ? ? ?
(A) a ? 1, b ? ?1 (B) a ? 1, b ? 1

)

(C) a ? ?1, b ? 1

(D) a ? ?1, b ? ?1

三、计算题(每小题 9 分,共 27 分)

1
1.求行列式

0 1 1

1 0 1

2 3 0
的第四行元素的代数余子式之和.

?1 1

?10 20 30 ?40
? 0 ?1 1 ? ? ? 2 ?1? ,且 AX ? A ? 2 X ,求矩阵 X . 2.设矩阵 A ? ? 2 ? ?1 0 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3.求向量组 a ? (1, 0,1, 0) , b ? ( ?1,1, 0,1) , c ? (?1, 2,1, ?2) , d ? (1, ?1, 0, ?1) 的秩
和一个极大无关组. 四、计算、讨论题(每小题 12 分,共 36 分)

?1 2 1 2? ?1? ? ? ? ? 1.设矩阵 A ? ? 0 1 a a ? ,向量 b ? ? 2 ? ,若非齐次线性方程组 AX ? b 对应的齐 ?1 a 0 1? ?k ? ? ? ? ?
次方程组的基础解系含有两个解向量,且 AX ? b 有解,求 a, k 的值和非齐次线性方程组的 全部解.

? 0 0 ?1 ? ? ? 2.已知矩阵 A ? ? a ?1 ?1? , (1)求 A 的全部特征值; (2)若 A 相似于某个对角 ? ?1 0 0 ? ? ?
矩阵,求 a 的值; (3)在(2)的情况下,求出 A 的小于零的特征值所对应的一个特征向量. 3.用矩阵形式表示三元二次型 f ? 3x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? 2 x2 x3 ,并判别 f 是否为正定二
2 2 2

次型? 五、证明题(共 8 分) 设 X 是非齐次线性方程组 AX ? b 的一个解, X 1 , X 2 是对应的齐次方程组的一个基础
*

解系,求证: 向量组 X , X 1 , X 2 线性无关.

*


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