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07-13年广东高考数学理科函数应用真题(含答案)


2007 年广东高考文科卷
20. (本题满分 14 分) 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求实数 a 的取 值范围。

2008 年广东高考文科卷

19. (本小题满分 14 分)

? 1 ,x

? 1 ? 设 k ? R ,函数 f ( x ) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , x ? R ,试讨论函数 F ( x) 的单调性. ? ? x ? 1,x ≥ 1 ?

2009 年广东高考文科卷
20. (本小题满分14分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值

m ? 1(m ? 0) .设

f ( x) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点 .

2010 年广东高考文科卷
21.(本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) 是平面直角坐标系 xOy 上的两点,现定义由点 A 到点 B 的一种折线距离

p( A, B) 为

p( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .
对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) , (1)若点 C ( x, y ) 是平面 xOy 上的点,试 证明 p( A, C ) ? p(C, B) ? p( A, B); (2)在平面 xOy 上是否存在点 C ( x, y ) ,同时满足 ① p( A, C ) ? p(C, B) ? p( A, B) ② p( A, C ) ? p(C, B) 若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.

2011 年广东高考文科卷
21.(本小题满分 14 分)

1 2 2 ? 4 q ? 0 在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L: y ? x 实数 p,q 满足 p ,x1, 4 .
2 (, p q ) ? m a x x ,x ? p x ? q ? 0 ? ? x2 是方程 x 的两根,记 ? 。 1 2

1 2 (, ppp ) ( ? 0 ) (1)过点 A 作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明:对线段 AB 上任一点 0 0 0 4
p 0 p , q ) ? ; Q(p,q)有 ( 2

?

(2) 设 M(a, b)是定点, 其中 a, b 满足 a2-4b>0,a≠0. 过 M(a, b)作 L 的两条切线 l1 , l2 ,

1 1 2 2 ? (, pp ) , E (, pp ) 切点分别为 E , l1 , l2 与 y 轴分别交与 F,F'。线段 EF 上异于两端点的 1 1 2 2 4 4
点集记为 X.证明:M(a,b) ? X ? P 1 ? P 2 ? ? ( a, b) ?
p1 2 ;

(3) 设 D={ (x,y)|y≤x-1,y≥

1 5 (x+1)2- }.当点(p,q)取遍 D 时, 求 ? ( p, q) 的最小值 (记 4 4

为 ? min )和最大值(记为 ? max ).

2012 年广东高考文科卷
21.(本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 (1)求集合 D(用区间表示) (2)求函数 在 D 内的极值点。

2013 年广东高考文科卷
21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? kx (k ? R) .
x 2

(1)当k=1时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当k∈ ( , 1? 时,求函数 f ( x) 在[0,k]上的最大值M.

1 2

2007 年广东高考文科卷
20. (本题满分 14 分) 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求实数 a 的取 值范围。 解析 1:函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解,
? af ( ?1) ? 0 ? af (1) ? 0 ? ? a=0 时, 不符合题意, 所以 a≠0,方程 f(x)=0 在[-1, 1]上有解<=> f (?1) ? f (1) ? 0 或 ? ? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ? ? ? 1 ? [ ?1.1] ? ? a

?1 ? a ? 5 或 a ?

?3 ? 7 ?3 ? 7 或a ?5 ? a ? 或 a≥1. 2 2

?3 ? 7 或 a≥1. 2 解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又

所以实数 a 的取值范围是 a ?

∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解, ? (2 x2 ? 1)a ? 3 ? 2 x 在[-1,1]上有解 ?

1 2x2 ? 1 在[-1, ? a 3 ? 2x

1]上有解,问题转化为求函数 y ?
1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 y? ? ? (t ? ? 6) , 2 t 2 t

2 x2 ? 1 [-1,1]上的值域;设 t=3-2x,x∈[-1,1],则 2x ? 3 ? t ,t∈[1,5], 3 ? 2x

7 t2 ? 7 设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ? 2 , t ? [1, 7) 时, g '(t ) ? 0 ,此函数 g(t)单调递减, t ? ( 7,5] 时, g '(t ) >0,此函 t t
() 2 ? x a 数 g(t)单调递增, ∴y 的取值范围是 [ 7 ? 3,1] , ∴ fx
2 2 x ? 3?a?

=0 在[-1, 1]上有解?

1 ∈ [ 7 ? 3,1] a

? a ?1 或 a ? ?

3? 7 。 2

2008 年广东高考文科卷

19. (本小题满分 14 分)

? 1 ,x ? 1 ? 设 k ? R ,函数 f ( x ) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , x ? R ,试讨论函数 F ( x) 的单调 ? ? x ? 1,x ≥ 1 ?
性. 19.解:

? 1 ? kx, ? F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x ?? x ? 1 ? kx, ?
1 ? kx( x ? 1) , 1? x

x ? 1,

? 1 ? k, 2 ? , ? (1 ? x) F '( x) ? ? x ? 1, ?? 1 ? k , ? ? 2 x ?1

x ? 1, x ? 1,

对于 F ( x) ?

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上是增函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1 ? 对于 F ( x) ? ?

1 1 ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k

1 ? k ( x ? 1) , 2 x ?1

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数;

1 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ? 2 ? 4k ?

1 ? 上是减函数,在 ? ? 1 ? 2 , ?? ? 上是增函数。 ? ? ? ? 4k ?

2009 年广东高考文科卷
20. (本小题满分14分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值

m ? 1(m ? 0) .设

f ( x) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点 20. 解: (1)依题可设 g ( x) ? a( x ? 1) ? m ? 1 ( a ? 0 ),则 g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ;
2



g?? x?

的图像与直线 y ? 2 x 平行? 2a ? 2 a ? 1

? g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? m ? 1 ? x 2 ? 2 x ? m ,
P ? xo , yo ?

f ? x? ?

g ? x? x

? x?

m ?2 x ,

2 2 | PQ | 2 ? x0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? x0 ? ( x0 ?



,则

m 2 ) x0

2 ? 2 x0 ?

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m 2 x0
2 2 x0 ?

当且仅当 当 m ? 0 时, 当 m ? 0 时,

m2 2 2 x0 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2

(2 2 ? 2)m ? 2

解得 m ?

2 ?1

( ?2 2 ? 2) m ? 2

解得 m ? ? 2 ? 1

(2)由

y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

m ? 2? 0 ?1 ? k ? x 2 ? 2 x ? m ? 0 ?*? x ( x ? 0 ),得
m

?*? 有一解 x ? ? 2 ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? 2 ; 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 当 k ? 1 时,方程
若 m ? 0,

m

k ? 1?

1 m,
x?
有两个零点

函数

y ? f ? x ? ? kx

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ? 1 ? m(1 ? k ) x? 2(1 ? k ) k ?1 ,即 ;

若 m ? 0,

k ? 1?

1 m,
x?
有两个零点

函数

y ? f ? x ? ? kx

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ? 1 ? m(1 ? k ) x? 2(1 ? k ) k ?1 ,即 ;

?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 当 k ? 1 时,方程
函数

k ? 1?

1 m,

y ? f ? x ? ? kx

x?
有一零点

1 ? ?m k ?1
x??
有一零点

综上,当 k ? 1 时,函数

y ? f ? x ? ? kx

m 2;

k ? 1?


1 1 k ? 1? m ( m ? 0 ),或 m ( m ? 0 )时,

函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有两个零点

1 ? 1 ? m(1 ? k ) k ?1 ;

k ? 1?


1 1 x? ? ?m y ? f x ? kx ? ? m 时,函数 k ?1 有一零点 .

2010 年广东高考文科卷
21.(本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) 是平面直角坐标系 xOy 上的两点,现定义由点 A 到点 B 的一种折线距离

p( A, B) 为

p( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .
对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) , (1)若点 C ( x, y ) 是平面 xOy 上的点,试 证明 p( A, C ) ? p(C, B) ? p( A, B); (2)在平面 xOy 上是否存在点 C ( x, y ) ,同时满足 ① p( A, C ) ? p(C, B) ? p( A, B) ② p( A, C ) ? p(C, B)

若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.

当且仅当 ( x ? x1 )( x2 ? x) ? 0, ( y ? y1 )( y2 ? y ) ? 0 时等号成立,即 A, B, C 三点共线时等号成立. (2)当点 C(x, y) 同时满足①P ( A, C ) +P (C, B) = P ( A, B) ,②P ( A, C ) = P (C, B) 时,点 C 是线段

AB 的中点. x ?

x1 ? x2 y ? y2 x ? x2 y1 ? y2 ,即存在点 C ( 1 ,y? 1 , ) 满足条件。 2 2 2 2

2011 年广东高考文科卷
21.(本小题满分 14 分)

1 2 2 ? 4 q ? 0 在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L: y ? x 实数 p,q 满足 p ,x1, 4 .

(, p q ) ? m a x x ,x ? p x ? q ? 0 ? ? x2 是方程 x 的两根,记 ? 。 1 2
2

1 2 (, ppp ) ( ? 0 ) (1)过点 A 作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明:对线段 AB 上任一点 0 0 0 4
p 0 p , q ) ? ; Q(p,q)有 ( 2

?

(2) 设 M(a, b)是定点, 其中 a, b 满足 a2-4b>0,a≠0. 过 M(a, b)作 L 的两条切线 l1 , l2 ,

1 1 2 2 ? (, pp ) , E (, pp ) 切点分别为 E , l1 , l2 与 y 轴分别交与 F,F'。线段 EF 上异于两端点的 1 1 2 2 4 4
点集记为 X.证明:M(a,b) ? X ? P 1 ? P 2 ? ? ( a, b) ?
p1 2 ;

(3) 设 D={ (x,y)|y≤x-1,y≥

1 5 (x+1)2- }.当点(p,q)取遍 D 时, 求 ? ( p, q) 的最小值 (记 4 4

为 ? min )和最大值(记为 ? max ).
? y ' | ? ( x ) | ? p 21.解: (1) k , A B x ? p x ? p 0 0 0 ? p p ( xp ? ) ? p x ? p 直线 AB 的方程为 y ,即 y , 0? 0 0 0 0 12 1 4 2 1 1 2 2 4 1 1 2 2

1 1 2 2 2 2 ? p ? 4 q ? ( pp ? ) ? q ? p pp ? ? p x ? q ? 0 ,方程 x 的判别式 ? , 0 0 0 2 4
? 两根 x 1 , 2

p0 p ? |p ? p | p 0 0 ? 或p? , 2 2 2

p p 0 ? p ? p ? 0 ? | p | ? | p | |p ? || ? |p |? | 0 | | ,? ,又 0 , 0 0 2 2
p p p p p p 0 0 0 0 0 0 ? ? | | ? | p | ? | | ? | | | p ? | ? | | p | ? | | | ? | | ,得? , 2 2 2 2 2 2
p 0 ? ( p , q ) ? | | . 2 2 ? 4 b ? 0 (2)由 a 知点 M(a, b) 在抛物线 L 的下方,

?

? p 0 |? |p ? 0 , b ? 0 ( a , b ) ? X ①当 a 时,作图可知,若 M ,则 p ,得 | p ; 1 2? 1 2| |? |p ? | p | ? | p | ( a , b ) ? X M ( a , b ) ? X 若 |p ,显然有点 M ; ? . 1 2| 1 2
? 0 , b ? 0 ②当 a 时,点 M (a, b) 在第二象限,

? 0 ? p |? |p ( a , b ) ? X 作图可知,若 M ,则 p ,且 | p ; 1 2 1 2| |? |p ( a , b ) ? X 若 |p ,显然有点 M ; 1 2| ? | p | ? | p | ? M ( a , b ) ? X . 1 2 ? | p | ? | p | ( a , b ) ? X 根据曲线的对称性可知,当 a ? 0 时, M , 1 2

? | p | ? | p | ( a , b ) ? X 综上所述, M (*) ; 1 2
由(1)知点 M 在直线 EF 上,方程 x 的两根 x 或a ? , ? a x ? b ? 0 1 ,2 ?
2

p 1 2

p1 2

同理点 M 在直线 E ' F ' 上,方程 x 的两根 x 或a ? , ? a x ? b ? 0 1 ,2 ?
2

1 a , b ) ? || 若 ( ,则 |

?

p 2 2

p2 2

p p1 p p p | 不比 | a ? 1 | 、 | 2 | 、 | a? 2 | 小, 2 2 2 2 2

? p M ( a , b ) ? X ? ? ( a , b ) ? | | ? 2
1

? |p || ? p | |? |p ,又 | p 1 2 1 2|

( , ) ,

p p 1 1 M ( a , b ) ? X ( a , b ) ? X ? ( a , b ) ? | | ? ? ( a , b ) ? | | ;又由(1)知, M ; 2 2
,综合(*)式,得证.

?

0 ,1 ? ) , ( 2 , 1 ) ? ( x ? 1 ) ? (3)联立 y ? x ?1, y 得交点 ( ,可知 0?p?2,

1 5 2 44

1 2 x ? q 1 2 0 1 ( p , q ) ( x , x ) 过点 作抛物线 L 的切线,设切点为 0 , 0 ,则 4 ? x 0 4 x ? p 2
0

? 2 p xq ? 4 ? 0 ? p ? p ? 4 q 得x ,解得 x , 0 0 0
2
2

? ( p ? 1 ) ? ? 4 q ? 4 ? 2 p 又q ,即 p ,
1 1 5 2 2 x ? ? t ? t ? 2 ? ? ( t ? 1 ) ? ? xp ? ? 4 ? 2 p ? 2 p ? t ,设 4 ,? , 0 0 2 2 2

1 5 2 2 4 4

0 ,又 0 , ; m a x m a x m a x

x 5 5 x ? ? ? ? ? | | 2 4 2

2 ? q ? p ? 1 ,? , x ? p ? p ? 4 pp ? 4 ? ? | p ? 2 | ? 2 0

x 0 ? ? || ? 1 . m i n m i n 2

?

2012 年广东高考文科卷
21.(本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 (1)求集合 D(用区间表示)

(2)求函数

在 D 内的极值点。

21. (1)记 h ? x ? ? 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? a ? 1?
? ? 9 ?1 ? a ? ? 48a ? ? 3a ? 1?? 3a ? 9 ?
2

1 ① 当 ? ? 0 ,即 ? a ? 1 , D ? ? 0, ?? ? 3 1 ② 当0 ? a ? , 3

? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? D ? ? 0, , ?? ? ? ?? ? ? ? ? 4 4 ? ? ? ? ? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ③ 当a ? 0,D ?? , ?? ? ? ? 4 ? ?
(2)由 f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0得x =1,a 得
1 ①当 ? a ? 1 , f ? x ? 在D内有一个极大值点a,有一个极小值点1 3 1 ② 当 0 ? a ? ,∵ h ?1? ? 2 ? 3 ?1 ? a ? ? 6a =3a ? 1 ? 0 3

h ? a ? ? 2a 2 ? 3 ?1 ? a ? a ? 6a =3a ? a 2 ? 0

∴ 1? D, a ? D ∴ f ? x ? 在D内有一个极大值点a ③ 当 a ? 0 ,则 a ? D 又∵ h ?1? ? 2 ? 3 ?1 ? a ? ? 6a =3a ? 1 ? 0 ∴ f ? x ? 在D内有无极值点

2013 年广东高考文科卷

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? kx (k ? R) .
x 2

(1)当k=1时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当k∈ ( , 1? 时,求函数 f ( x) 在[0,k]上的最大值M. 21. (1)k=1 时 f ( x) ? ( x ? 1)e ? x
x x x 2 x

1 2

∴ f ?( x) ? e ? ( x ? 1)e ? 2 x ? x(e ? 2) 当 x<0 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递增;
x

0<x<ln2 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递减;
x

x>ln2 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递增; 综上, f ( x) 的单调增区间为 (??,0) 和 (ln 2,??) ,单调减区间为 (0, ln 2) .
x x x x (2) f ?( x) ? e ? ( x ? 1)e ? 2kx ? x(e ? 2k )

1 ? k ? 1 ,∴ 1 ? 2k ? 2 2 由(1)可知 f ( x) 的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,+∞)上单调递增 1 设 g ( x) ? x ? ln 2 x, ( ? x ? 1) 2 2 1 则 g ?( x) ? 1 ? ? 1? 2x x 1 1 1 ∵ ? x ? 1 ,∴ 1 ? ? 2 ,∴ ? 1 ? 1 ? ? 0 2 x x ?1 ? ∴ g ( x) ? x ? ln 2 x 在 ? , 1? 上单调递减. ?2 ? 1 ∵ ? k ? 1 ,∴ g (k ) ? g (1) ? 1 ? ln 2 ? 0 2 ∴ k ? ln 2k ? 0 即 k ? ln 2k ∴ f ( x) 的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,k)上单调递增. ∴ f ( x) 的在[0,k]上的最大值应在端点处取得. k 3 而 f (0) ? ?1 , f (k ) ? (k ? 1)e ? 2k ? f (1) ? ?1 ∴当 x=0 时 f ( x) 取最大值 ? 1 .



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