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高中数学常用公式及结论


高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系 x ∈ A ? x ? CU A , x ∈ CU A ? x ? A . ? ? A ? A ≠ ? 元素与集合的关系:
n n n 2 集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 ? 1 个;非空子集有 2 ? 1 个;非

空的真子集有 2 ? 2 个

. 二次函数的解析式的三种形式: 3 二次函数的解析式的三种形式: 2 (1) 一般式 f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0) ;
n

(2) 顶点式 f ( x ) = a ( x ? h) 2 + k ( a ≠ 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为此 式) (3) 零 点 式 f ( x ) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )( a ≠ 0) ; 当 已 知 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 (

( x1 , 0), ( x2 , 0) 时,设为此式) 设为此式)
切线式: (当已知抛物线与 (4) ) 切线式: f ( x ) = a ( x ? x0 ) + ( kx + d ), ( a ≠ 0) 。 当已知抛物线与直线 y = kx + d 相 (当已知抛物线与直线
2

设为此式) 切且切点的横坐标为 x0 时,设为此式) 真值表: 同真且真, 4 真值表: 同真且真,同假或假 常见结论的否定形式; 5 常见结论的否定形式; 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x ,成立 存在某 x ,不成立

对任何 x ,不成立 存在某 x ,成立 四种命题的相互关系( ):( 6 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q p 且q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( 至多有( n ? 1 )个 至少有( 至少有( n + 1 )个 ?p 且 ?q ?p 或 ?q

充要条件 (1)、 充要条件: (1) p ? q ,则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件; 、 (2) p ? q ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件; (3)、p ≠> p ,且 q ? p ,则 P 是 q 的必要不充分条件; (3) 4、p ≠> p ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 函数单调性 单调性: 7 函数单调性: 增函数:(1) (1)、文字描述是:y 随 x 的增大而增大。 (1) 、 设f 在 若对任意的 (2) 数学符号表述是: (x) x ∈ D 上有定义, 都有

x1 , x2 ∈ D, 且x1 < x2



f ( x1 ) < f ( x2 )

成立,则就叫 f(x)在 x ∈ D 上是增函数。D 则就是 f(x)的递

增区间。 减函数:(1) (1)、文字描述是:y 随 x 的增大而减小。 (1) 、 设f 在 若对任意的 (2)数学符号表述是: (x) x ∈ D 上有定义, 都有

x1 , x2 ∈ D, 且x1 < x2



f ( x1 ) > f ( x2 )

成立,则就叫 f(x)在 x ∈ D 上是减函数。D 则就是 f(x)的递

减区间。 单调性性质:(1) (1)、增函数+增函数=增函数; 2) (1) ( 、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4) (4)、减函数-增函数=减函数; (3) (4) 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性: 函数 内层函数 外层函数 单调 单调性 ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓

复合函数 ↑ 等价关系: 等价关系: (1)设 (1)设 x1 , x2 ∈ [ a, b ] , x1 ≠ x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b]上是增函数; 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] < 0 ? < 0 ? f ( x)在[a, b ] 上是减函数. 上是减函数. x1 ? x2

( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] > 0 ?

(2) 设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导 , 如果 f ′( x ) > 0 , 则 f (x ) 为增函数 ; 如果

f ′( x) < 0 ,则 f (x) 为减函数. 为减函数.
函数的奇偶性 ( 8 函数的奇偶性: 注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数: 奇函数: 定义: 定义:在前提条件下,若有 f ( ? x) = ? f ( x)或f ( ? x) + f ( x) = 0 , 则 f(x)就是奇函数。 性质: 、奇函数的图象关于原点对称; 性质 (1) (2) 、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3) 、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 . 偶函数: 偶函数: 定义: 定义:在前提条件下,若有 f ( ? x ) = f ( x ) ,则 f(x)就是偶函数。 性质: 、偶函数的图象关于 y 轴对称; 性质 (1) (2) 、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系: 奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2) 、奇函数·奇函数=偶函数; (1) (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4) (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数 (3)

的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 (5) (6) 奇函数的图象关于原点对称 对称, 轴对称;反过来, 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关 于原点对称,那么这个函数是奇函数; 轴对称, 于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数 是偶函数. 是偶函数. 9 函数的周期性: 函数的周期性: ,则就叫 f(x)是周期函数,其 定义: ,若存在 T ≠ 0,使得 f(x+T)=f(x) 定义:对函数 f(x) 中,T 是 f(x)的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: 周期函数几种常见的表述形式: (1)、f(x+T)= - f(x) ,此时周期为 2T ; (1) 、 ,此时周期为 2 m ? n ; (2) f(x+m)=f(x+n) (3)、 (3) f ( x + m) = ? 常见函数的图像: 10 常见函数的图像:
y
y
y
y

1 ,此时周期为 2m 。 f ( x)

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1 a>1
o

y=logax
0<a<1 1 a>1
x

a>0

x o y=ax2+bx+c 11 对于函数 y = f (x ) ( x ∈ R ), f ( x + a ) = f (b ? x) 恒成立 , 则 函数 f ( x ) 的对称轴是

y=kx+b

x=

a+b b?a 对称. ;两个函数 y = f ( x + a ) 与 y = f (b ? x ) 的图象关于直线 x = 对称. 2 2
m n

分数指数幂与根式的性质: 12 分数指数幂与根式的性质: (1) a n = ( 2) a
? m n

a m ( a > 0, m, n ∈ N ? ,且 n > 1 ).

=

1
m n

=

1
n

a n n ( 3) ( a ) = a .

a

m

( a > 0, m, n ∈ N ? ,且 n > 1 ).

为奇数时, 为偶数时, (4)当 n 为奇数时, a = a ;当 n 为偶数时, a =| a |= ?
n n
n n

?a, a ≥ 0 . ?? a, a < 0

指数式与对数式的互化式: 13 指数式与对数式的互化式: log a N = b ? a b = N ( a > 0, a ≠ 1, N > 0) . 指数性质: 指数性质: (1)1、 a (1)
?p

=

1 ap



m n 、 (3)、 mn (2) a = 1 ( a ≠ 0 ) ; (3) a = ( a )
0

r+s (4)、 r s (4) a ? a = a ( a > 0, r , s ∈ Q )

; (5) a n = (5)、

m

n

am



指数函数: 指数函数: (1)、 y = a x ( a > 1) 在定义域内是单调递增函数; (1)
x 注 指数 (2) y = a (0 < a < 1) 在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点 、

(0,1) 对数性质: 对数性质: (1)、 log a M + log a N = log a ( MN ) ; 2) log a M ? log a N = log a ( 、 (1) (3)、 log a b = m ? log a b (3)
m

M ; N

;(4) (4)、 log am b = (4)
n

n ? log a b ; (5) log a 1 = 0 (5)、 m

(6)、 log a a = 1 (6) 对数函数: 对数函数:



(7)、 (7)

a loga b = b

(1)、 y = log a x ( a > 1) 在定义域内是单调递增函数; (1) 、 对数函数图象都恒过 (2) y = log a x(0 < a < 1) 在定义域内是单调递减函数;注: 对数 注 点(1,0) (3)、 (3)

log a x > 0 ? a, x ∈ (0,1)或a, x ∈ (1, +∞)

(4)、 (4) log a x < 0 ? a ∈ (0,1)则x ∈ (1, +∞ ) 或 a ∈ (1, +∞)则x ∈ (0,1) 14 对数的换底公式 : log a N = 对数恒等式: 对数恒等式: a
n
log a N

log m N ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). log m a

= N ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , N > 0 ).

推论 log am b =

n log a b ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , N > 0 ). m
(2) log a (4) log am

对数的四则运算法则: 15 对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ; (3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) ;
n

平均增长率的问题( 16 平均增长率的问题(负增长时 p < 0 ) : 如 果 原来 产值 的 基础 数为 N , 平 均 增长 率为 p , 则 对 于时 间 x 的 总 产值 y , 有

M = log a M ? log a N ; N n N n = log a N (n, m ∈ R ) 。 m

y = N (1 + p ) x .
等差数列: 17 等差数列: 通项公式: 通项公式: (1) an = a1 + ( n ? 1) d ,其中 a1 为首项,d 为公差,n 为项数, an 为末 项。 (2)推广: an = ak + ( n ? k ) d (3) an = S n ? S n ?1 ( n ≥ 2) 项和: 前 n 项和: (1) S n = (注:该公式对任意数列都适用) 注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用)

n(a1 + an ) ;其中 a1 为首项,n 为项数, an 为末项。 2 n(n ? 1) (2) S n = na1 + d 2

(3) S n = S n ?1 + an ( n ≥ 2) (4) S n = a1 + a2 + ? + an

(注:该公式对任意数列都适用) 注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用) 注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用)

常用性质: (1) 常用性质: 、若 m+n=p+q ,则有 am + an = a p + aq ; 注:若 am是an , a p 的等差中项,则有 2 am = an + a p ? n、m、p 成等差。 (2) 、若 {an } 、 {bn } 为等差数列,则 {an ± bn } 为等差数列。 (3) {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,则 S m , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m 也成等 、 差数列。 (4) a p = q, aq = p, 则a p + q = 0 ; 、 (5) 1+2+3+…+n= 等比数列: 等比数列: 通项公式: (1) an = a1q n ?1 = 通项公式:

n(n + 1) 2 a1 n ? q (n ∈ N * ) ,其中 a1 为首项,n 为项数,q 为公比。 q
n? k

(2)推广: an = ak ? q

(3) an = S n ? S n ?1 ( n ≥ 2) 项和: (1) S n = S n ?1 + an ( n ≥ 2) 前 n 项和: (2) S n = a1 + a2 + ? + an

(注:该公式对任意数列都适用) 注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用) 注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用) 注 该公式对任意数列都适用) 该公式对任意数列都适用

? na1 ? (3) S n = ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q = 1) (q ≠ 1)

常用性质: (1) 常用性质: 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an = a p ? aq ; 注:若 am是an , a p 的等比中项,则有 am = an ? a p ? n、m、p 成
2

等比。 (2) 、若 {an } 、 {bn } 为等比数列,则 {an ? bn } 为等比数列。 18 分期付款 按揭贷款 :每次还款 x = 分期付款(按揭贷款 按揭贷款) 19 三角不等式: 三角不等式:

ab(1 + b)n 次还清,每期利率为 元(贷款 a 元, n 次还清 每期利率为 b ). 贷款 (1 + b)n ? 1

(1)若 x ∈ (0, ) (2) 若 x ∈ (0,

π
2

) ,则 sin x < x < tan x .

) ,则 1 < sin x + cos x ≤ 2 . 2 (3) | sin x | + | cos x |≥ 1 .
2 2

π

20 同角三角函数的基本关系式 : sin θ + cos θ = 1 , tan θ =

sin θ , cosθ

正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 22 和角与差角公式 sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β ? sin α sin β ;

tan(α ± β ) =

tan α ± tan β . 1 ? tan α tan β b ). a

a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? )
所在象限由点 的象限决定, (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? = 23 二倍角公式及降幂公式

sin 2α = sin α cos α =

1 ? tan 2 α . 1 + tan 2 α 2 tan α sin 2α 1 ? cos 2α tan α = = tan 2α = . 2 1 ? tan α 1 + cos 2α sin 2α 1 ? cos 2α 1 + cos 2α sin 2 α = , cos 2 α = 2 2 cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α =
24 三角函数的周期公式 R(A 为常数, 函数 y = sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0) 的周期 T =

2 tan α . 1 + tan 2 α

2π π 为常数, ;函数 y = tan(ω x + ? ) , x ≠ kπ + , k ∈ Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠ |ω | 2

0)的周期 0)的周期 T =

π . |ω |

三角函数的图像: 三角函数的图像: y

y=sinx


1

-π/2 -2π -3π/2

3π/2

o
-1

π/2

π



x

y=cosx
-2π -3π/2 -π -π/2

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2



x

25 正弦定理 :

a b c = = = 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). 外接圆的半径) sin A sin B sin C ? a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C ? a : b : c = sin A : sin B : sin C

余弦定理: 26 余弦定理:

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
面积定理: 27 面积定理:

1 1 1 aha = bhb = chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 边上的高) 2 2 2 1 1 1 (2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 . (3) S ?OAB = 2 a + b-c斜边 2S? r?内切圆 = , r直角?内切圆 = a+b+c 2
( 1) S = 28 三角形内角和定理 : 在△ABC 中,有 A + B + C = π ? C = π ? ( A + B )

?

C π A+ B = ? ? 2C = 2π ? 2( A + B ) . 2 2 2

实数与向量的积的运算律: 为实数,那么: 29 实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么: 结合律: =(λμ λμ) (1) 结合律:λ(μ a )=(λμ) a ; (2)第一分配律 第一分配律: (2)第一分配律:(λ+μ) a =λ a +μ a ; (3)第二分配律: )=λ (3)第二分配律:λ( a + b )=λ a +λ b . 第二分配律 数量积(或内积) 30 a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | cos θ 。 31 平面向量的坐标运算: 平面向量的坐标运算: (1)设 (1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . (2)设 (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3) (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 (4)设 a = ( x, y ), λ ∈ R ,则 λ a = (λ x, λ y ) . (5)设 (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 + y1 y2 ) . 两向量的夹角公式: 32 两向量的夹角公式:

cos θ =

a ?b = | a |?| b |

x1 x2 + y1 y2
2 2 x + y12 ? x2 + y2 2 1

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

平面两点间的距离公式: 33 平面两点间的距离公式:

d A, B = | AB |= AB ? AB = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
34 向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0 ,则:

a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 .(交叉相乘差为零) 交叉相乘差为零) a ⊥ b ( a ≠ 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 .(对应相乘和为零) 对应相乘和为零)
的分点, 是实数, 35 线段的定比分公式 :设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P P2 的分点, λ 是实数, 1 1

? x1 + λx2 ?x = 1+ λ OP + λOP2 ? ? OP = 1 且 P P = λ PP2 ,则 ? 1 1+ λ ?y = y1 + λy2 ? 1+ λ ?
1 ). 1+ λ 三角形的重心坐标公式 形的重心坐标公式: B(x C(x 36 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 2 ,y2 )、 3 ,y3 ), x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ). 则△ABC 的重心的坐标是 G ( 1 3 3 ? OP = tOP + (1 ? t )OP2 ( t = 1

三角形五“ 向量形式的充要条件: 37 三角形五“心”向量形式的充要条件: 所在平面上一点, 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA = OB = OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA + bOB + cOC = 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ∠A 的旁心 ? aOA = bOB + cOC . 常用不等式: 38 常用不等式: 时取“=” “=”号 (1) a, b ∈ R ? a + b ≥ 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

2

2

2

( 2) a , b ∈ R ?

a+b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 时取“=” “=”号 2 3 3 3 (3) a + b + c ≥ 3abc ( a > 0, b > 0, c > 0).
+

( 4) a ? b ≤ a + b ≤ a + b .

2ab a+b a 2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ 时取“=” “=”号 ( 5) (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 a+b 2 2 极值定理: 都是正数, 39 极值定理:已知 x, y 都是正数,则有
(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ; (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值
+ (3)已知 a, b, x, y ∈ R ,若 ax + by = 1 则有

1 2 s . 4

1 1 1 1 by ax + = (ax + by )( + ) = a + b + + ≥ a + b + 2 ab = ( a + b ) 2 。 x y x y x y a b + (4)已知 a, b, x, y ∈ R ,若 + = 1 则有 x y a b ay bx x + y = ( x + y )( + ) = a + b + + ≥ a + b + 2 ab = ( a + b ) 2 x y x y 2 2 40 一 元 二 次 不 等 式 ax + bx + c > 0(或 < 0) ( a ≠ 0, ? = b ? 4ac > 0) , 如 果 a 与

ax 2 + bx + c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 + bx + c 异号,则其解集在两 同号,则其解集在两根之外; 异号,
根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. 根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.即: x1 < x < x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) < 0( x1 < x2 ) ;

x < x1 , 或x > x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0( x1 < x2 ) .
41 含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有 x < a ? x 2 < a 2 ? ?a < x < a .

x > a ? x2 > a2 ? x > a 或 x < ? a .
42 斜率公式 :

k=

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). 1 x2 ? x1

43 直线的五种方程: 直线的五种方程: (1)点斜式 y ? y1 = k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). ) . 1 轴上的截距) (2)斜截式 y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 = ( y1 ≠ y2 )( P ( x1 , y1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 )). 1 y2 ? y1 x2 ? x1 两点式的推广 的推广: 无任何限制条件! 两点式的推广: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) = 0 (无任何限制条件! ) x y + = 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a ≠ 0、b ≠ 0 ) 分别为直线的横、纵截距, (4)截距式 (4)截距式 a b (5)一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0). 其中 、
两点式 ( 3) 的法向量: 方向向量: 直线 Ax + By + C = 0 的法向量: l ′ = ( A, B ) ,方向向量: l = ( B, ? A) 44 夹角公式: 夹角公式: (1) tan α =|

k2 ? k1 | . ( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 , k1k2 ≠ ?1 ) 1 + k2 k1 A B ? A2 B1 (2) tan α =| 1 2 | .( l1 : Ax + B1 y +C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 , A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ). 1 A1 A2 + B1 B2
直线 l1 ⊥ l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是

π

2

.

45 l1 到 l2 的角公式: 的角公式: (1) tan α = (2)

k2 ? k1 .( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 , k1k2 ≠ ?1 ) 1 + k2 k1 A B ? A2 B1 tan α = 1 2 .( l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 A1 A2 + B1 B2 A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ).
直线 l1 ⊥ l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

,

π
2

.

46 点到直线的距离 : d =

| Ax0 + By0 + C |
A2 + B 2

(点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ). 点 直线

47 圆的四种方程: 圆的四种方程: 四种方程 2 2 2 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) + ( y ? b) = r .
2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E ? 4 F >0).

? x = a + r cos θ . ? y = b + r sin θ 直径式方程 ( 4 ) 圆 的 直径式 方程 (x ? x1)(x ? x2) +( y ? y1)( y ? y2 ) = 0 ( 圆的直径的端点是 A(x1, y1) 、 B(x2, y2)).
(3)圆的参数方程 ? 圆的参数方程
2 2 2 点与圆的位置关系: 的位置关系有三种: 48 点与圆的位置关系:点 P ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a ) + ( y ? b) = r 的位置关系有三种:

(a ? x0 ) 2 + (b ? y0 ) 2 ,则 d > r ? 点 P 在圆外; 在圆外; d = r ? 点 P 在圆上; 在圆上; d < r ? 点 P 在圆内. 在圆内. 2 2 2 直线与圆的位置关系: 49 直线与圆的位置关系: 直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x ? a ) + ( y ? b) = r 的位置关系有 Aa + Bb + C 三种( 三种( d = ): A2 + B 2 d > r ? 相离 ? ? < 0 ; d = r ? 相切 ? ? = 0 ; d < r ? 相交 ? ? > 0 .
两圆位置关系的判定方法: 50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 = d , 则:

若d =

d > r1 + r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d = r1 + r2 ? 外切 ? 3条公切线 ;
r1 ? r2 < d < r1 + r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d = r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 < d < r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .
51 椭 圆
内内 内外 r2-r1 相相 外外 相相 r1+r2

o

d

d

d

d

? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的 参 数 方 程 是 ? . 2 a b ? y = b sin θ

离 心 率

e=

c b2 = 1? 2 , a a

a2 b2 焦点到对应准线的距离(焦准距) ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p = 。 c c b2 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2i . 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: a 2 2 x y 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 52 椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a b a2 a2 PF1 = e( x + ) = a + ex PF2 = e( ? x) = a ? ex , c c ∠F PF S ?F1PF2 = c | yP |= b 2 tan 1 。 2
准线到中心的距离为 椭圆的的内外部 的内外部: 53 椭圆的的内外部:



x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? a b
(1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 椭圆的切线方程 方程: 54 椭圆的切线方程: (1) 椭圆

2 2 x0 y0 + 2 <1. a2 b 2 2 x0 y0 + > 1. a2 b2

xx y y x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 + 2 =1外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 x y ( 3 ) 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 A a + B b = c2 .
x2 y2 c b2 a2 55 双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的离心率 e = = 1 + 2 ,准线到中心的距离为 , a b a a c b2 焦点到对应准线的距离(焦准距) 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经, 其长度为: 焦点到对应准线的距离(焦准距) p = 。 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经, 其长度为: c b2 2i . a a2 a2 焦半径公式 PF1 =| e( x + ) |=| a + ex | , PF2 =| e( ? x ) |=| a ? ex | , c c

两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F1PF2 = b cot
2

∠F1 PF 。 2

双曲线的方程与渐近线方程的关系 渐近线方程的关系: 56 双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1) (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y2 b ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . 渐近线方程: 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若 (2)若渐近线方程为 y = ± x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若 有公共渐近线, (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ a b a b 轴上, 轴上) ( λ > 0 ,焦点在 x 轴上, λ < 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。
(1)双曲线 1)双曲线

双曲线的切线方程 切线方程: 57 双曲线的切线方程:

xx y y x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2) 过 双 曲 线 2 ? 2 = 1 外 一 点 P ( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 a b x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b x2 y 2 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 = 1 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A a ? B b = c . a b 2 焦半径公式: 58 抛物线 y = 2 px 的焦半径公式: p 2 抛物线 y = 2 px ( p > 0) 焦半径 CF = x0 + . 2 p p 过焦点弦长 CD = x1 + + x 2 + = x1 + x 2 + p . 2 2 b 2 4ac ? b2 2 (a ≠ 0) 的图象是抛物线: 的图象是抛物线 抛物线: 59 二次函数 y = ax + bx + c = a( x + ) + 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + 1 , ) ; 2)焦点的坐标为 (? , (2 ); (1)顶点坐标为 ( ? ( 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y = . 4a
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = 或

( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2

AB = (1 + k 2 )[( x2 + x1 )2 ? 4 x2 ? x1 ] =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由方程 ?

? y = kx + b 2 消去 y 得到 ax + bx + c = 0 ?F( x , y) = 0

? > 0 , α 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率, | x1 ? x2 |= ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 . 的倾斜角, 为直线的斜率,
证明直线与平面的平行的思考途径: 61 证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; )转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; )转化为线线平行; (3)转化为面面平行 )转化为面面平行. 62 证明直线与平面垂直的思考途径: 证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; )转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; )转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; )转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 )转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63 证明平面与平面的垂直的思考途径: 证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; )转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; )转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。 转化为两平面的法向量平行。 向量的直角坐标运算: 64 向量的直角坐标运算: 设 a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则: (1) a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; (2) a - b = ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ λ∈R) R); (3)λ a = (λ a1 , λ a2 , λ a3 ) (λ∈R); (4) a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ; 夹角公式: 65 夹角公式: 设 a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos < a , b >= 66 异面直线间的距离 :

a1b1 + a2b2 + a3b3
2 2 2 a + a2 + a3 b12 + b2 + b32 2 1

.

d=

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 是两异面直线, 上任一点, |n|

间的距离). 间的距离 67 点 B 到平面 α 的距离: 的距离:

| AB ? n | 的法向量, 的一条斜线段) ( n 为平面 α 的法向量, A ∈ α , AB 是 α 的一条斜线段). |n| 4 3 2 68 球的半径是 R,则其体积 V = π R ,其表面积 S = 4π R . 3
d=
球的组合体: 69 球的组合体: (1)球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 球与长方体的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 球与正方体的组合体: (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的 直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

6 a 12 6 1 6 6 3 (正四面体高 a 的 ),外接球的半径为 ),外接球的半径为 a (正四面体高 a 的 ). 3 4 4 3 4 70 分类计数原理(加法原理) N = m1 + m2 + ? + mn . 分类计数原理(加法原理) :
(3)球与正四面体的组合体: (3)球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 球与正四面体的组合体 分步计数原理(乘法原理) : 分步计数原理(乘法原理) N = m1 × m2 × ? × mn . 71 排列数公式 :An = n(n ? 1)?(n ? m + 1) =
m

n! * .( n ,m ∈N , m ≤ n ). 定 0! = 1 . 且 规 (n ? m)!

组合数公式: 72 组合数公式:C n =

m

Anm n(n ?1)?(n ? m + 1) n! * = = ( n ∈N ,m ∈ N , m ≤ n ). 且 m Am 1× 2 ×?× m m!(n ? m) ? !
m n?m 1

组合数的两个性质: 组合数的两个性质:(1) C n = C n
n 0 n

;(2 ;(2) C n + C n
n ?1

m

m ?1

= C n +1 .规定 C n = 1 .
m 0

73 二项式定理 ( a + b) = C n a + C n a

2 r n b + C n a n? 2 b 2 + ? + C n a n?r b r + ? + C n b n ;

二项展开式的通项公式 Tr +1 = C n a
r

n?r

b r (r = 0,2 ?,n) . 1,

f ( x) = (ax + b) n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ? + an x n 的展开式的系数关系: 的展开式的系数关系: 关系

a0 + a1 + a2 + ? + an = f (1) ; a0 ? a1 + a2 + ? + (?1)n an = f (?1) ; a0 = f (0) 。
互斥事件 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 74 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). n 个互斥事件分别发生的概率的和 : P(A1 + A2 + … + An)=P(A1) + P(A2) + … + P(An). 同时发生的概率:P(A P(A) P(B). A)· 75 独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). 个独立事件同时发生的概率: n 个独立事件同时发生的概率:P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 次的概率: 76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: Pn ( k ) = Cn P (1 ? P )
k k n?k

.

数学期望: 77 数学期望: Eξ = x1 P + x2 P2 + ? + xn Pn + ? 1 数学期望的性质 (1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b . (2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np .
k ?1 服从几何分布, (3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q p ,则 Eξ =
2 2 2

1 . p

方差: 78 方差: Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + ? + ( xn ? Eξ ) ? pn + ? 标准差: 标准差: σξ = Dξ . 方差的性质: 方差的性质: 2 (1) D ( aξ + b ) = a Dξ ;

(2) (2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Dξ = np (1 ? p ) .
(3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ 服从几何分布,

= k ) = g (k , p ) = q k ?1 p ,则 Dξ =
2 2

q . p2

方差与期望的关系: 方差与期望的关系: Dξ = Eξ ? ( Eξ ) .
? 1 正态分布密度函数: e 79 正态分布密度函数: f ( x ) = 2π 6

( x ? ? )2
262

, x ∈ ( ?∞, +∞ ) ,
? x?? ? ?. ? σ ?

是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 式中的实数μ 式中的实数μ, σ ( σ >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
2 的概率: 对于 N ( ? , σ ) ,取值小于 x 的概率: F ( x ) = Φ ?

P ( x1 < x0 < x 2 ) = P ( x < x 2 ) ? P ( x < x1 )
处的导数(或变化率) 80 f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率) :

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x → 0 ?x ?x → 0 ?x ?s s (t + ?t ) ? s (t ) = lim 瞬时速度: 瞬时速度: υ = s′(t ) = lim . ?t → 0 ?t ?t → 0 ?t ?v v(t + ?t ) ? v(t ) 瞬时加速度: a = v′(t ) = lim 瞬时加速度: = lim . ?t →0 ?t ?t →0 ?t 81 函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数的几何意义: 处的导数的几何意义: 函 数 y = f (x ) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y = f (x ) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 f ′( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) . f ′( x0 ) = y′
x = x0

= lim

几种常见函数的导数: 82 几种常见函数的导数: n ?1 为常数) .(3 (1) C ′ = 0 (C 为常数).(2) ( x n )′ = nx ( n ∈ Q ) .(3) (sin x )′ = cos x .

(4) (cos x )′ = ? sin x . (5) (ln x)′ = 5)
x x x x (6) (e )′ = e ; (a )′ = a ln a . 导数的运算法则: 83 导数的运算法则:

1 1 ; (log a x )′ = log a e . x x

' ' ' ' ' ' (1) (u ± v) = u ± v .(2) (uv) = u v + uv .(3) ( ) = '

u v

u 'v ? uv ' (v ≠ 0) . v2

是极大( 值的方法: 84 判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法: 处连续时, 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时, 是极大值; (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x) > 0 ,右侧 f ′( x) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; 是极小值. (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x) < 0 ,右侧 f ′( x) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 复数的相等: 85 复数的相等: a + bi = c + di ? a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R ) 的模(或绝对值 86 复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a + b . 87 复平面上的两点间的距离公式: 复平面上的两点间的距离公式:
2 2

d =| z1 ? z2 |= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ).
88 实系数一元二次方程的解 2 实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 ,

?b ± b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? = b ? 4ac = 0 ,则 x1 = x2 = ? ; 2a 2 内没有实数根; ③若 ? = b ? 4ac < 0 , 它在实数集 R 内没有实数根; 在复数集 C 内有且仅有两个共轭
①若 ? = b ? 4ac > 0 ,则 x1,2 =
2

?b ± ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac < 0) . 复数根 x = 2a


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