山东省2013年12月普通高中学业水平考试数学试题

1

2

3

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机密★启用并使用完毕前 山东省 2013 年 12 月普通高中学业水平考试 数学试题参考答案及评分标准 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（本大题共 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分） 题号 答案 题号 答案 1 D 11 A 2 B 12 C 3 B 13 A 4 A 14 D 5 D 15 D 6 B 16 A 7 C 17 C 8 B 18 A 9 B 19 B 10 C 20 C

第Ⅱ卷（共 40 分） 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）

21.

1 2

22.

3 2
? 9

23. 3

24. 2

25. cos

三、解答题（本大题共 3 个小题，共 25 分） 本大题的每小题给出一种（两种）解法，考生的其他解法，只要步骤合理，解答正确，均应参照下述评分 说明，给予相应的分数． 26. 解： （1）由 3 ? 2 ,得 f (3) ? 2 ? 3 ? 6 .
2 由 ? 2 ? 2 ,得 f (?2) ? (?2) ? 4 .

…………………………1 分 …………………………2 分 …………………………4 分 ………………………… 6 分

所以 f [ f (?2)] ＝ f (4) ? 2 ? 4 ? 8 . （2）当 a ? 2 时， a ? 16 ，得 a ＝ ?4 或 a ＝ 4 （舍） ；
2

当 a ≥ 2 时， 2a ? 16 ，得 a ＝ 8 ； 所以， a ＝ ?4 或 a ＝ 8 . 27. 证明：因为四边形 ABB1 A 1 为圆柱的轴截面， 所以 BB1 ? 底面 ABC . 因为 AC ? 底面 ABC , 所以 BB1 ? AC. 因为 AB 为底面圆的直径,

…………………………8 分

A1

B1

A C

B

…………………………3 分

5

所以 ?ACB ? 90? . 所以 BC ? AC. 又因为 BB1

…………………………6 分

BC ? B,BB1 ? 平面 BB1C , BC ? 平面 BB1C ,
…………………………8 分 …………………………1 分

所以 AC ? 平面 BB1C . 28. 解： （1）数列 ?an ? 不成等差数列. 当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 1 .

? ? n ? 1?2 ? ? n ? 1? ? n ? 1 n2 ? n ?1? ? ? 1? ? 当 n ≥ 2 时， an ? Sn ? Sn ?1 ? . ? ? 2k 2 k k ? ?
所以 an ? ? n ? 1

?1, ?

n ? 1, , n≥ 2.
…………………………3 分

? ? k

当 n ≥ 2 时， an?1 ? an ?

n n ?1 1 1 1 ? ? . 又 a2 ? a1 ? ? 1 ? , k k k k k
…………………………4 分

所以，数列 ?an ? 不成等差数列. （2）由题意可得 T1 ?

1 ?k， a1a2 ? 1 an an?1

当 n ≥ 2 时， Tn ?

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?k?

k2 k2 k2 ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 ? n ?1? ? n

1 1 1 1 1 ? k ? k 2 (1 ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 2 3 n ?1 n 1 ? k ? k 2 (1 ? ) . n
2

…………………………6 分

? 要使 Tn ? 2 对所有的 n ? N 都成立，即 k ? k (1 ? ) ? 2 .

1 n

（*）
?

解法一：整理（*）式,得 (k ? k ? 2)n ? k ? 0 ，对所有的 n ? N 都成立.
2 2

只需 k ? k ? 2 ≤ 0(k ? 0) .
2

…………………………8 分

解得

?2 ≤ k≤ 1, k ? 0 .
数学试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 7 页

因此存在实数 k，使得 Tn ? 2 对所有的 n ? N 都成立， 其取值范围是 [?2,0) 分
? 解法二：因为 k ? k (1 ? ) ? k ? k （ n ? N ） ，
2 2

?

(0,1] .
1 n

…………………………9

如果 k 2 ? k ≤ 2(k ? 0) ，
? 则 k ? k (1 ? ) ? 2 （ n ? N ）.
2

1 n

………………………8 分

以下同解法一.