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2005年8月长春全国女子数学奥林匹克试题和详细答案


2005 女子数学奥林匹克
第一天
2005 年 8 月 12 日上午 8∶00~12∶00 长春

我们进行数学竞赛的目的,不仅仅是为了数学而数学,其着眼点还是因为它是一切科 学的得力助手,因而提高数学,也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图,设点 P 在△ABC 的外接圆上,直线 CP 和 AC 相交于 点 E,直线 BP

和 AC 相交于点 F,边 AC 的垂直平分线交边 AB 于点 J,边 AB 的垂直平分线交边 AC 于点 K,求证:
CE BF
2 2

=

AJ · JE AK · F K

.

2.求方程组
? ? ? 1? 1 ? 5 ? x ? ? ? 12 ? y ? ? x? y ? ? ? ? ? xy ? yz ? zx ? 1 ? 1 ? ? ? 13 ? z ? ? z ? ? ? ?, ?

的所有实数解.

3.是否存在这样的凸多面体,它共有 8 个顶点,12 条棱和 6 个面,并且其中有 4 个面,每两个面都有公共棱? 4.求出所有的正实数 a ,使得存在正整数 n 及 n 个互不相交的无限集合 A1 , A 2 ,?, A n 满 足 A1 ∪ A 2 ∪?∪ A n =Z,而且对于每个 A i 中的任意两数 b > c ,都有 b - c ≥ a .
i

1

2005 女子数学奥林匹克
第二天
2005 年 8 月 13 日上午 8∶00~12∶00 长春 数学竞赛,它对牢固基础知识、发展智力,培养拔尖人才,是一件具有战略意义的活 动。 ——华罗庚 5.设正实数 x,y 满足 x + y =x-y,求证:
3

3

x ? 4 y <1 .
2 2

? 6.设正整数 n≥3,如果在平面上有 n 个格点 P1, P2, ,Pn 满足:当 Pi P j 为有理数时,存

在 Pk , 使得 Pi Pk 和 P j Pk 均为无理数;当 Pi P j 为无理数时, 存在 Pk ,使得 Pi Pk 和 P j Pk 均为有理数,那么称 n 是“好数”. (1)求最小的好数; (2)问:2005 是否为好数? 7.设 m,n 是整数,m>n≥2,S={1,2,?,m},T={ a 1 , a 2 ?, a n }是 S 的一个子集.已知 T 中的任 两个数都不能同时整除 S 中的任何一个数,求证:
1 a1 ? 1 a2 ??? 1 an < m ?n m .

8.给定实数 a,b,a>b>0,将长为 a 宽为 b 的矩形放入一个正方形内(包含边界),问正方形的 边至少为多长?

2

【题 1】证:如图,连接 BK,CJ. ∠E=∠ABP—∠BPE, 而由 A,B,P,C 四点共圆,知∠BPE=∠A, 故 ∠E=ABP—∠A, 又由 KA=KB,知∠A=∠ABK, 故 ∠E=∠ABP—∠ABK=∠KBF. ① 同理 ∠F=∠JCE. ② 由①,②得 △JEC∽△KBF. 由此,
CE BF CE BF ? ? JE KB JC KF ? ? JE AK AJ KF , .

③ ④

将③,④两式的左端和右端分别相乘即得结论.

【题 2】解法一: ①式可化为

51? x

?

x
2

?

?

12 1 ? y

?

y
2

?

?

13 1 ? z

?

z
2

?

.



显然 x,y,z 同号.首先求正数解. 存在α ,β ,γ ∈(0,π ),使得 x=tan
2x 1? x
2

?
2

,y=tan

?
2

,z=tan

γ 2

,则

sinα = ③即

,

sinβ =

2y 1? y
2

,

sinγ =

2z 1? z
2

,

sin α 5

?

sin ? 12

?

sin ? 13

.



②式可化为
1 z ? x? y 1 ? xy

,



cot

?
2

? tan

? ??
2

.

注意 z≠0,xy≠1,因为α ,β ,γ ∈(0,π ),所以
α ? β 2 ? π 2 ? γ 2

,

即 α +β +γ =π . 从而α ,β ,γ 是某个三角形 ABC 的三个内角. 由 ④ 和 正 弦 定 理 知 , α , β , γ 所 对 的 边 a , b , c 的 比 是 5 ∶ 12 ∶ 13 , 所 以 ,
sin α ? 5 13 , β ? sin 12 13 , γ ?1. sin

3

从而 x=tan

?
2

=

1 5

或 5, y=tan

?
2

?

2 3



3 2

, z=tan
?1 2 ?5 3 ? ?

γ 2

? 1.

1 将 z=1 代入②式,易知 x 和 y 均小于 1.所以 ? , ,? 是唯一正数解.

1 故原方程组有两组解: ? , ,? 和 ? ? ?5 3 ? ?

?1 2

?

?

1 5

, ?

? , 1? . ? 3 ? 2

解法二:显然 x,y,z 同号. 由②得 x=
1 ? yz y? z

,代入①得
? ?1 ? yz ? ? ? y ? z ? ? ? 5. ? ? y ? z ??1 ? yz ? ?
2

? y2 ?1? ? 1 ? yz y? z ? ? 5? 12 ? ? ? ? ? y ? 1 ? yz ? y? z ?

2

? 5

?y

2

?1 z

??

2

?1 yz

?

? y ? z ??1 ?

?



即 同理 整理得

5(z +1)y=12(y+z)(1-yz), 2 5(y +1)z=13(y+z)(1-yz).
2 2

2

12y z+17yz =7y+12z, 2 2 18y z+13yz =13y+8z, 两式相加,得 30yz(y+z)=20(y+z), ∴ yz=
2 3 ,y ? 2 3z
2 ?1 2 ? ? 1 ? , ,1 ? 和 ? ? , ? , ? 1 ? . 3 ?5 3 ? ? 5 ?

,代入①解得 z=±1.

故原方程组有两组解: ?

【题 3】解:存在,如下图所示。

4

【题 4】解:

若 0<a<2,n 充分大时, 2
i ?1

n ?1

> a ,令

n

Ai ? {2
A n ? {2

m m 为奇数 }, i ? 1,2,?,n-1,

n ?1

的倍数},则该分拆满足要求。

n n?i 若 a≥2,设 A1 , A 2 ,? A n 满足要求, M={1, ?, }, 令 2, 2 下证 A i ? M ≤ 2 .设 A i ? M

={ x 1 , x 2 , ? , x m }, x 1< x 2 < ? < x m , 则
2 > x m ? x 1 ? ( x m ? x m ?1 ) ? ( x m ?1 ? x m ? 2 ) ? ? ? ( x 2 - x 1 ) ? ( m ? 1)2 .
n i

∴ m-1< 2

n?i

,即 m< 2

n?i

+1,故 m≤ 2

n?i

.

A i ? M , i ? 1,2,?,n 为 M 的一个分拆,故

2

n

? M ?

?

n

Ai ? M ?

i ?1

?2
i ?1

n

n?i

? 2 ? 1, 矛盾.
n

∴ 所求的 a 为所有小于 2 的正实数.

【题 5】证:由平均不等式
5y ? x y ? 2
3 2

5 x y > 4 xy ,
3

2

4

2

所以

?x

2

? 4y

2

?? x ? y ?< x
3 2

? y ,
3

从而

x ? 4y <
2

x ? y x? y

3

?1.

【题 6】解:我们断言最小的好数为 5,且 2005 是好数. 在三点组( Pi , P j , Pk )中,若 Pi P j 为有理数(或无理数), Pi Pk 和 P j Pk 为无理数(或有理 数),我们称( Pi , P j , Pk )为一个好组. (1)n=3 显然不是好数.

n=4 也不是好数.若不然, 假设 P1 , P2 , P3 , P4 满足条件, 不妨设 P1 P2 为有理数及( P1 , P2 , P3 )
为一好组,则( P2 , P3 , P4 )为一好组.显然( P2 , P4 , P1 )和( P2 , P4 , P3 )均不是好组.所以

5

P1 , P2 , P3 , P4 不能满足条件.矛盾!

n=5 是好数.以下五个格点满足条件:
A 5 ={(0,0),(1,0),(5,3),(8,7),(0,7)}.

(2)设 A={(1,0),(2,0),?,(669,0)}. B={(1,1),(2,1),?,(668,1)}. C={(1,2),(2,2),?,(668,2)}.
S 2005 ? A ? B ? C .

对任意正整数 n,易证 n ? 1 和 n ? 4 不是完全平方数.不难证明,对于集合 S 2005 中
2 2

任两点 Pi , P j , Pi P j 为有理数当且仅当 Pi P j 与某一坐标轴平行.所以,2005 是好数. 注:当 n=6 时,
A 6 ? A 5 ? {(-24 , ; 0)}

当 n=7 时,
A 7 ? A 6 ? {(-24 , . 7)}

则可验证 n=6 和 7 均为好数. 当 n≥8 时,可像 n=2005 那样排成三行,表明 n≥8 时,所有的 n 都是好数.

【题 7】证:构造 T i ? ?b ? S a i b ?, i ? 1, 2 ? , n . 则
?m ? Ti ? ? ? , ? ai ?

由于 T 中任意两个数都不能同时整除 S 中的一个数,所以当 i≠j 时,
Ti ? T j ? ? .

6



?

n

Ti ?

i ?1

?

n

i ?1

?m ? ? ? ≤m. ? ai ?

又因为

?m ? <? ? ? 1, ai ? ai ? m

所以

?

n

i ?1

n ?m ? < ? ( ? ? ? 1) ? ai i ?1 ? ai ?

m

?
n

n

i ?1

?m ? ? ?? ? ai ?

?1?
i ?1

n

m ?n,



m?

n

1 ai
n

?

i ?1

?

m ai

<m ? n ,

i ?1

所以

?

1 ai



m ? n m

.

i ?1

【题 8】解:设长方形为 ABCD,AB=a,BC=b,中心为 O. 以 O 为原点,建立直角坐标系,x 轴、y 轴分别与正方形的边平形. 情形 1:线段 BC 与坐标轴不相交.不妨设 BC 在第一象限内,∠BOX≤ 1).此时正方形的边长≥BDcos∠BOX≥BDcos
1 2 1 2

1 2

(90°-∠BOC)(图

90 ? ? ? BOC 2

=BDcos45°cos

∠BOC+BDsin45°sin

∠BOC=

2 2

(a+b).

所以此时所在正方形边长至少为

2 2

(a+b).

情形 2:线段 BC 与坐标轴相交.不妨设 BC 与 x 轴相交,不妨设∠COX≤ 此时正方形的边长≥ACcos∠COX≥ACcos 所以此时所在正方形边长至少为 a.
? COB 2

1 2

∠COB (图 2).

=a.

7

比较情形 1,2 中结论知: 若 a<( 2 ? 1) b ,则正方形的边长至少为 a.
2 2

若 a≥( 2 +1)b,则正方形的边长至少为

(a+b).

8


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