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100测评网高一数学复习第十节三角恒等变换与求值


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第十节
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三角恒等变换与求值

(4)cos2 ? ?

1?cos 2? ; sin 2 ? ? 1 ? cos 2? .(降幂公式) 2 2 2
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三角函数式的恒等变换与求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化 简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题 效果,做到事半功倍
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【基础知识】
1.任意角的三角函数:设 ? 是一个任意角, ? 的终边上任意一点 P(x,y)与原点的距离是 r (r= x 2 ? y 2 >0) ,则 sin ? = 改变而改变. 2.同角三角函数关系式:sin2 ? +cos2 ? =1; 3.诱导公式: ? +2kπ(k∈ Z) 、- ? 、π± ? 加上一个把 ?

7 求值问题的基本类型 ① 给角求值,② 给值求值,③ 给式求值,④ 求函数式的最值或值域,⑤ 化简求值 8 技巧与方法 ① 要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式 ② 注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③ 对于条件求值问题, 要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法 ④ 求最值 问题,常用配方法、换元法来解决
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y y x ,cos ? = ,tan ? = .上述三个比值不随点 P 在终边上的位置 r r x sin ? =tan ? ;tan ? cot ? =1. cos ? 、2π- ? 的三角函数值,等于 α 的同名函数值,前面

【课前训练】
? 3 ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于( ) 5 2 4 1 1 A. B.7 C.- D.-7 7 7 2 2. (2006 年湖北卷)若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ,则 sin A ? cos A ? ( 3
1. (2006 年福建卷)已知 ? ∈ ( A.

π 看成锐角时原函数值的符号. 即“函数名不变,符号看象限!”另外再加上:sin( 2



π k - ? )=sin ? .所以诱导公式即 ?t ? ? 与 α 之间函数值关系(k∈ Z) ,其 2 2 规律是“奇变偶不变,符号看象限”。 4.两角和与差的三角函数
- ? )=cos ? ,cos(

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3

3.(2006 年陕西卷)"等式 sin(α+γ)=sin2β 成立"是"α、β、γ 成等差数列"的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4. (2006 年重庆卷)已知 sin ? ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

① ③

?? ? ? ? ? s i n s in ?c o? s ?c o? s s in ?
c o ?s ? ? ??? c o? sco? s ?s in ?s in ?

② ④

cos?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
5.倍角公式

2 5 ? , ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2 5



. (1)sin2? ? 2sin? cos? ,(2)cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?1? 2sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1,(3)tan2? ? 2tan? 2 1? tan ? 6.几个常用的派生公式

5. (2006 年上海卷)如果 cos? =

1 ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos( ? ? ) = 5 2

【试题精析】
【例 1】 (2006 年江苏卷)

?? ?? ? ? (1)sin ? ± cos ? = 2 sin ?? ? ? = 2 cos ?? ? ? 4? 4? ? ?
b (2)asin ? +bcos ? = a2 ? b2 sin( ? +φ) (其中 tan ? ? ) a
(3)asin ? +bcos ? == a2 ? b2 cos( ? -φ1) (其中 tan ?1 ?

cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? = tan 20?

【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,

b ) (辅助角公式) a

把角尽量向特殊角或可计算角转化,(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称,例 如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式子是否满足三

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角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 【例 2】 (2006 年安徽卷)已知 0 ? ? ? (Ⅰ )求 【例 5】 (2007 年青岛模拟试题)已知 a=(cos

?
2

,sin ? ?

4 5

3 3 x x π x,sin x) ,b=(cos ,-sin ) ,x∈ [0, ]. 2 2 2 2 2 3 ,求 λ 的值. 2

(1)求 a· b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是-

sin 2 ? ? sin 2? 5? ) 的值。 的值; (Ⅱ )求 tan(? ? 2 4 cos ? ? cos 2?

【例 3】 (2006 年天津卷)已知 tan ? ? cot ? ?

5 π ?π π? ,? ? ? , ? .求 cos2 ? 和 sin(2? ? ) 的值. 2 4 ?4 2?
【例 6】 (2005 年山东卷) 已知向量 m ? (cos?, sin ?)和n ? ( 2 ? sin ?, cos?), ? ? (?,2?),且 m ? n ? 8 2 , 5 求 cos(

【分析】本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识,考查基本运算能力。

? ? ? ) 的值. 2 8

【例 4】.(2006 年广东卷)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

), x ? R . 3 ,求 sin 2? 的值. 4

(I)求 f ( x) 的最小正周期;(II)求 f ( x) 的的最大值和最小值;(III)若 f (? ) ?

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【针对练习】
1. (2006 年全国 II)函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是( (A)2π (B)4π π (C) 4 ) π (D) 2

?? ? sin ? ? ? ? 5 4? ? 9.(2006 年上海卷)已知 ? 是第一象限的角,且 cos ? ? ,求 的值。 13 cos ? 2? ? 4? ?

2.若 f(tanx)=sin2x,则 f(-1)的值是 A.-sin2 B.-1 C.

10. (2005 年天津卷)已知 sin(? ?

1 2

? 7 2 7 ? )? , cos2? ? , 求 sin ?及 tan(? ? ) . 4 10 25 3

D.1

3.已知 f(x)= 1 ? x ,当 θ∈ ( A.2sinθ

5π 3π , )时,f(sin2θ)-f(-sin2θ)可化简为 4 2 B.-2cosθ C.-2sinθ D.2cosθ

4. (2006 年浙江卷)函数 y=

1 2 sin2+4sin x,x ? R 的值域是( 2
(C) [?



(A) [-

1 3 , ] 2 2

(B) [-

3 1 , ] 2 2

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

(D) [?

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

5. (2006 年重庆卷)若 ? , ? ? (0, ) , cos(? ? ) ? (A) ?

? 2

? 2

? 1 3 , sin( ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? ? ) 的值等于 2 2 2
3 2
第十节参考答案 【课前训练】 1.答案:A 解析:由 ? ? ( 2 .答案: A

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 ? ? 12 ? 3? ? ? 6 . (2006 年 重 庆 卷 ) 已 知 ? , ? ? ? , ? ? , sin( ? ? ? )= - , sin ? ? ? ? ? , 则 5 4 ? 13 ? 4 ? ?
cos ?? ?

?

? ?

??

3 3 ? 1 ? tan ? 1 , ? ),sin ? ? , 则 tan ? ? ? , tan(? ? ) = ? ,选 A. 2 5 4 4 1 ? tan ? 7

? =________. 4?

解析:由 sin2A = 2sinAcosA?0 ,可知 A 这锐角,所以 sinA + cosA?0 ,又

7.(2006 年上海卷)函数 y ? sin x cos x 的最小正周期是_________。
sin( ? 2? ) 2 ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), 则 θ= 8. (2006 年湖南卷)已知 3 sin? ? cos(? ? ? )

5 2 (sin A ? cosA ) ? 1 ? sin 2 A ? ,故选 A 3
3.答案:A 解析:若等式 sin(α+γ)=sin2β 成立,则 α+γ=kπ+(-1)k·2β,此时 α、β、γ 不一定 成等差数列, 若 α、 β、 γ 成等差数列, 则 2β=α+γ, 等式 sin(α+γ)=sin2β 成立, 所以“等式 sin(α+γ)=sin2β 成立”是“α、β、γ 成等差数列”的.必要而不充分条件。选 A. 4.答案:-2 解析:由 sin ? ?

?

.

2 5 ? 5 , ? ? ? ? ?cos?=- ,所以 tan ? ? -2. 2 5 5

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5.答案: 2 6

5

解析:已知 ? cos(? ? ? ) ? ?sin? ? ?(? 1? cos 2 ? ) ? 2 6 .

2

5

(Ⅰ ) f ( x) 的最小正周期为 T ?

2? ? 2? ; 1

【试题精析】 【例 1】 【解】 原式 ?

(Ⅱ ) f ( x) 的最大值为 2 和最小值 ?

2;

cos20 cos10 3sin10 sin 70 cos20 cos10 ? 3sin10 cos 20 ? ? 2cos400 ? ? 2cos400 0 0 0 sin 20 cos70 sin 20
0 0 0 0 0 0 0 0

(Ⅲ )因为 f (? ) ?

3 3 7 7 ,即 sin ? ? cos ? ? ? 2sin ? cos ? ? ? ,即 sin 2? ? ? 4 4 16 16
3 x 3 x xcos -sin xsin =cos2x. 2 2 2 2

cos 200 (cos100 ? 3 sin100 ) 2 cos 200 (cos100 sin 300 ? sin100 cos 300 ) 0 ? ? 2 cos 40 ? ? 2 cos 400 sin 200 sin 200 2 cos 200 sin 400 ? 2sin 200 cos 400 ? ? 2. sin 200
【例 2】 【解】(Ⅰ )由 0 ? ? ?
2

【例 5】 【解】 (1)a· b=cos

|a+b|= (cos

3 x 2 3 x 2 π x ? cos ) ? (sin x ? sin ) =2 cos2 x =2cosx(∵ x∈ [0, ] ). 2 2 2 2 2

?
2

,sin ? ?

sin 2 ? ? sin 2? 4 3 ,得 cos ? ? ,所以 = 5 5 cos 2 ? ? cos 2?

(2)f(x)=cos2x-4λcosx=2(cosx-λ)2-1-2λ2.∵ x∈ [0, ① 当 λ<0,cosx=0 时,f(x)min=-1,矛盾. ② 当 0≤λ≤1,cosx=λ 时,f(x)min=-1-2λ2,由-1-2λ2=- ③ 当 λ>1,cosx=1 时,f(x)min=1-4λ, 由 1-4λ=- 综上,λ=

π ] ,∴ cosx∈ [0,1]. 2

sin ? ? 2sin ? cos ? ? 20 . 3cos 2 ? ? 1 sin ? 4 5? tan ? ? 1 1 ? ,∴tan(? ? ) ? ? . (Ⅱ )∵tan ? ? cos ? 3 4 1 ? tan ? 7 5 sin ? cos ? 5 2 5 4 ? ? ,则 ? ,sin 2? ? . 【例 3】 【解】解法一:由 tan ? ? cot ? ? , 得 2 cos ? sin ? 2 sin ? 2 5 ? ? ? 3 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? , 因为 ? ? ( , ), 所以 2? ? ( , ? ), 4 2 2 5
4 2 3 2 2 sin(2? ? ) ? sin 2? .cos ? cos 2? .sin ? ? ? ? ? . 4 4 4 5 2 5 2 10
解 法 二 : 由 tan ? ? cot ? ?

3 1 ,得 λ= . 2 2

3 5 ,得 λ= <1,矛盾. 2 8

1 为所求. 2

?

?

?

【例 6】解法一: m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2, cos? ? sin ?)

?

?

5 1 5 1 ? ? 2或 tan ? ? . 由 已 知 , 得 tan ? ? ? , 解得 tan 2 tan ? 2 2

? ? m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2 ) 2 ? (cos? ? sin ?) 2 ? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ?)

? ? 1 ? ? ( , ), 故舍去 tan ? ? , 得
4 2 2
2 2

tan ? ? 2. 因此, sin ? ?

2 5 5 ,cos ? ? . 5 5

? ? ? 4 ? 4 cos(? ? ) ? 2 1 ? cos(? ? ) 4 4
由已知 m ? n ?
2 所以 cos ( ?

3 4 那么 cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? , 且 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , 5 5
故 sin(2? ?

? 7 ? ? 8 2 2 ? ,得 cos( ? ? ) ? ,又 cos( ? ? ) ? 2 cos ( ? ) ? 1 4 25 4 2 8 5

?
4

) ? sin 2? .cos

?
4

? cos 2? .sin

?

4 2 3 2 2 ? ? ? ? ? . 4 5 2 5 2 10

【例 4】 【解】 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
4

)

? ? 16 5? ? ? 9? ? ? )? ? ? ? ? cos( ? ) ? 0 .? ? ? ? ? 2?,? 2 8 25 8 2 8 8 2 8 ? ? 4 ? cos( ? ) ? ? 2 8 5 ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? 2 ?2 ? ? 解法二: m ? n ? (m ? n ) ? m ? 2m ? n ? n ? m ? n ? 2m ? n

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2 2 2 2 ? ( cos ??sin ?)2 ? ( ( 2 ? s i n ?) 2 ? c o s ? ) 2 ? 2[ c o ? s( 2 ? s i n ?) ? s i n ?c o s ?]

? ? ? ? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ?) ? 4[1 ? cos( ? ? )] ? 8 cos 2 ( ? ) 4 2 8
由已知 m ? n ?

? ? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ( ? ? )] = cos(? ? ? ) cos( ? ? ) ? sin(? ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 4 5 3 12 56 ?? = ? (? ) ? (? ) ? 5 13 5 13 65
则 cos(? ?

?

8 2 ? ? 4 ,得 cos( ? ) ? , 5 2 8 5
5? ? ? 9? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? cos( ? ) ? 0 ? cos( ? ) ? ? 8 2 8 8 2 8 2 8 5
【针对练习】

7.答案:π 8.答案: ? ? 解得 sin? ?

解析:函数 y ? sin x cos x =

1 sin2x,它的最小正周期是 π. 2
? cos?

? ? ? ? ? 2?,?

?
3

或? ?

2? 解析: 3

由已知条件得 3 sin? ? cos 2? ? cos? ? 1 .即 3 sin? ? 2 sin2 ? ? 0 .

3 3 ? 2? ,从而 ? ? 或? ? . 或 sin? ? 0 .由 0<θ<π 知 sin? ? 2 2 3 3

1.答案:D 2.答案:B

解析: y ? sin 2 x cos 2 x ?

1 2? ? sin 4 x 所以最小正周期为 T ? ? ,故选 D 2 4 2

π π 解析:f(-1)=f[tan(- ) ]=-sin =-1. 4 2

2 2 ) (cos? ? sin ? ) (cos? ? sin ? ) 2 1 4 2 2 9.解: = ? ? ? 2 2 cos( 2? ? 4? ) cos 2? 2 cos? ? sin ? cos ? ? sin ?

sin(? ?

?

3.答案:D 解析:f(sin2θ)-f(-sin2θ)= 1 ? sin 2? - 1 ? sin 2?
2 5π 3π =|sinθ-cosθ|-|sinθ+cosθ|.∵ θ∈ ( , ) ,∴ -1<sinθ<- <cosθ<0. 2 4 2 ∴ cosθ-sinθ>0,cosθ+sinθ<0.∴ 原式=cosθ-sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ.

由已知可得 sin ? ?

2 1 13 2 12 ? ?? , ∴ 原式= . 5 12 13 2 14 ? 13 13
7 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos?) 10 4 2

4.答案 C

解析: y ?

1 1 1 1 2 ? ?? 1 sin 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? ? sin? 2 x ? ? ? , 2 2 2 2 2 4? 2 ?

10.解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得 即 sin ? ? cos ? ?

故选择 C。 【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法,即将函数化为 y ? A sin ??x ? ? ? ? b 或

y ? A cos??x ? ? ? ? b 的模式。 ? ? ? ? ? ? ? (- , ) (- , ) 5.解:由 ? , ? ? (0, ) ,则 ?- ? , -? ? ,又 2 2 4 2 2 2 4
cos(? ?

7 5



由题设条件,应用二倍角余弦公式得

?
2

)?

? 1 ? ? ? ? 3 , sin( ? ? ) ? ? ,所以 ?- = ? , -?=- 2 2 2 6 2 6 2
,所以 cos(? ? ? ) = ?

解得 ?=?= 6.答案: ?

?
3

1 ,故选 B 2

7 7 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ?)(cos ? ? sin ?) ? ? (cos ? ? sin ?) 25 5 1 故 cos ? ? sin ? ? ? ② 5 3 4 3 由①式和②式得 sin ? ? , cos ? ? ? .因此, tan ? ? ? ,由两角和的正切公式 5 5 4

56 65

3? ? 12 3? ? 3 解析: ? , ? ? ? ? , ? ? ,sin ?? ? ? ? ? ? , sin( ? ? 4 ) ? 13 ,? ? ? ? ( 2 , 2? ) , 5 ? 4 ?

??

?

? 3? 4 ? 5 ? ( , ) ,∴ cos(? ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? , 4 2 4 5 4 13

3 ? tan? ? 3 4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 3 . tan(? ? ) ? ? 4 1 ? 3 tan? 11 3 3 4?3 3 1? 4 3?

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解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得

7 ? cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? 25

2 解得 sin ? ?

9 3 ? 7 2 7 , 即 sin ? ? ? ,由 sin(? ? ) ? , 可得sin ? ? cos? ? 25 5 4 10 5

7 7 3 ? cos ? ? 0, 且 cos ? ? sin ? ? ? 0 ,故 ? 在第二象限,于是 sin ? ? . 5 5 5 7 4 从而 cos ? ? sin ? ? ? ? 5 5
由于 sin ? ? 以下同解法一. =========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版, 外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小 五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在线学 习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育, 中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育, 初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线 辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题, 专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料, 中考学 习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中 试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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