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(初升高)高一数学衔接班第5讲——不等式


(初升高)高一数学衔接班第 5 讲——不等式
一、学习目标 1. 掌握一元二次不等式的解法,如不等式组法、图象法 2. 掌握简单分式不等式的解法 3. 会解简单的含字母系数的不等式,会求有关字母取值或取值范围的问题 二、学习重点 一元二次不等式的解法 三、课程精讲 1. 新知探秘 问题:如何解不等式 x ? x ? 6 ? 0 .
2

路导航:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得 负”的原则,将其转化为一元一次不等式组. 解:方法一:原不等式可以化为: ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ? x ? ?3 ?? 或? ? x ? ?3或x ? 2 或? ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?x ? 2 所以,原不等式的解是 x ? ?3或x ? 2 .
于是: ? 点津:当把一元二次不等式化为 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式后,只要等式左边可以
2

分解为两个一次因式,即可运用本题的解法。 形如 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (其中a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式.
2

知识点一:一元二次不等式的解法——不等式组法 例 1. 解下列不等式: (1) ( x ? 2)( x ? 3) ? 6 (2) ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)(2 x ? 1) 思路导航:要先将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式,通常使二次项系数为
2

正数. 解:(1)原不等式可化为: x ? x ? 12 ? 0 ,即 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0
2

于是: ?

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 或? ? ?3 ? x ? 4 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
2

所以原不等式的解是 ?3 ? x ? 4 . (2)原不等式可化为: ? x ? 4 x ? 0 ,即 x 2 ? 4 x ? 0 ? x( x ? 4) ? 0 于是: ?

?x ? 0 ?x ? 0 或? ?0? x?4 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
2

所以原不等式的解是 0 ? x ? 4 . 点津:在将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式时,通常把二次项系数化正, 还要注意进行正确的分解因式 知识点二:一元二次不等式的解法——图象法

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专心

问题:对于如何解不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,还有其他的解法吗? 解:方法二:二次函数 y ? x ? x ? 6
2

(1)作出图象(如图所示);

(2)根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3,0),(2,0) ,即当 x ? ?3或x= 2 时,

y ? 0 .就是说对应的一元二次方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的两个实数根是 x ? ?3或x= 2 .
(3) 当 x ? ?3或x ? 2 时,y ? 0 , 对应图像位于 x 轴的上方. 就是说 x ? x ? 6 ? 0 的
2

解是 x ? ?3或x ? 2 . 当 ?3 ? x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的下方.就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解是
2

?3 ? x ? 2 .
一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1)求相应一元二次方程的根; (2)观察相应的二次函数的图象。 ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,此时对应的一元二次方程有两个不相等 的实数根 x1 , x2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。

②如果图象与 x 轴只有一个交点 (? 数根 x1 ? x2 ? ?

b , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个相等的实 2a

b (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断) . 2a

③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别
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式 ? ? 0 来判断)。

简单的说,求解一元二次不等式的步骤为: (1)求根 (2)画图 (3)写出解集 例 2. 解下列不等式: (1) x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0
2

思路导航:按着图象法的解题步骤进行 解:(1)不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ∴一元二次方程的两根为-2、4 ∴由图象知,不等式的解是 ?2 ? x ? 4 2 (2) 不等式可化为 ( x ? 2) ? 0 ∴由图象知不等式的解是 x ? 2 仿练: x ? x ? 2 ? 0
2

解:不等式对应的一元二次方程 x ? x ? 2 ? 0 无解
2

由 y ? x ? x ? 2 的函数图像可知,原不等式无解
2

点津:实际上,“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”之间存在某种内在 联系,简称为“三个二次的关系”; “三个二次的关系”完全可以统一到函数的图像中去,即 一元二次方程的根是一元二次函数图像与 x 轴交点的横坐标, 也是一元二次不等式解的端点 值,当然,这部分内容到高中还会学习到。 知识点三:简单分式不等式的解法 例 3. 解下列不等式: (1)

2x ? 3 ?0 x ?1

(2)

x?3 ?0 x ? x ?1
2

思维导航:(1)类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一 次不等式组再进行处理;或者因为两个数(式)相除为异号,那么这两个数(式)相乘也为 异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解. (2)注意到经过配方后,分母实际上是一个正数 解:(1)法一: 原不等式可化为:

3 3 ? ? ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 3 ?x ? 或? ?? 2 或? 2 ? ?1 ? x ? ? 2 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? ? x ? ?1
法二: 原不等式可化为: (2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ?
用心 爱心 专心

3 . 2

1 3 ?0 2 4 原不等式可化为: x ? 3 ? 0 ? x ? ?3
(2)∵ x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? 点津:分式不等式可以通过转化成一元一次不等式组来求解,当然,还有其他的方法,

2x ? 3 ? 0 与一元二次不等式 x ?1 2x ? 3 3 (2 x ? 3 ( )x ? 1 ) ? 0 是否同解。事实上,它们的解并不相同, ? 0 的解为 ?1 ? x ? , x ?1 2 3 而 (2 x ? 3 ( )x ? 1 ) ? 0 的解为 ?1 ? x ? 。 2
那就是可以转化成一元二次不等式来求解,但请注意不等式 例 4. 解不等式

1 ?3 x?2

思路导航:分母当中含有未知量 x,而不等式的右端并不为 0,此题能直接去分母吗? 显然,因为分母 x ? 2 的符号不能确定,所以此题不能直接去分母,可以通过移项,把不等 式的一端化为 0。 解:原不等式可化为:

?(3x ? 5)( x ? 2) ? 0 1 ?3x ? 5 3x ? 5 5 ?3? 0? ?0? ?0?? ? x ? ?2或x ? ? x?2 x?2 x?2 3 ?x ? 2 ? 0
点津:(1)转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0. (2)本例若采取直接去分母的方法,则需要讨论分母的符号:

? x ? ?2 ? x ? ?2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 1 5 ? ? ?3? ? 或? ?? 5 或? 5 ? x ? ? 或x ? ?2 x?2 3 x?? ?3( x ? 2) ? 1 ?3( x ? 2) ? 1 ? x ? ? 3 ? 3 ? ?
【直击高中】 在高中,经常会遇到含有字母系数的不等式,这样的字母我们称为参数,在含有参数 的不等式中, 由于参数取值的不同, 会导致不等式解的不确定, 换句话说, 参数取值的不同, 导致不等式解的结果不同, 所以往往需要对参数的取值范围分情况讨论, 从而讨论不等式的 解,这种思想就是分类讨论的思想。 例如:对于初中很熟悉的不等式 ax ? b ? 0 最终可以化为 ax ? ?b 的形式.

b ; a b (2)当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? ? ; a (3)当 a ? 0 时,不等式化为: 0 ? x ? ?b ; ①若 b ? 0 ,则不等式的解是全体实数;② 若 b ? 0 ,则不等式无解.
(1)当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? ? 例 5. 求关于 x 的不等式 m x ? 2 ? 2mx ? m 的解.
2

思路导航:通过移项、整理,原不等式可变形为一元一次不等式的形式
2 2 (m ? 2m) x ? m ? 2 , 显然不等式的解的情况取决于 m ? 2m 的符号, 所以需要对 m ? 2m
2

的符号进行讨论。
用心 爱心 专心

解:原不等式可化为: m(m ? 2) x ? m ? 2 (1)当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时, mx ? 1,不等式的解为 x ? (2)当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时, mx ? 1 . ①当 0 ? m ? 2 时,不等式的解为 x ? ②当 m ? 0 时,不等式的解为 x ?

1 ; m

1 ; m

1 ; m

③当 m ? 0 时,不等式的解为全体实数. (3)当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时,不等式无解. 综上所述:当 m ? 0 或 m ? 2 时,不等式的解为 x ? 为x?

1 ;当 0 ? m ? 2 时,不等式的解 m

1 ;当 m ? 0 时,不等式的解为全体实数;当 m ? 2 时,不等式无解。 m 1 2 仿练:已知关于 x 的不等式 k ? kx ? x ? 2 的解为 x ? ? ,求实数 k 的值. 2
思路导航:将不等式整理成 ax ? b 的形式,可以考虑只有当 a ? 0 时,才有形如 x ?

b a

的解,从而令

b 1 ?? . a 2
2

解:原不等式可化为: (?k ? 1) x ? ?k ? 2 .

??k ? 1 ? 0 ?k ? ?1 3 ? 2 ? 所以依题意: ? ? k ? 2 3?k?? . 1?? 2 ?? ? ?k ? 1或 ? 2 ? 2 ? ?k ? 1
点津: 对于含有参数的不等式往往都需要对参数进行分情况讨论, 所以要特别注意运用 分类讨论的数学思想。 例 6. 已知对于任意实数 x , kx ? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围.
2

思路导航: kx ? 2 x ? k 恒为正数,即不等式 kx ? 2 x ? k ? 0 恒成立,无法直接解此
2 2

不等式,所以需把问题进行转化,考虑“三个二次”的关系,利用二次函数的图像帮助求解。 解:显然 k ? 0 不合题意,于是:

?k ? 0 ?k ? 0 ?k ? 0 ? ? ? k ?1 ? ? ? 2 2 2 ?(?2) ? 4k ? 0 ?k ? 1 ? 0 ?k ? ?1或k ? 1
点津:“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”有着密切的联系,解任何一 方面的问题, 都可以借助其他方面加深对问题的理解从而解决问题, 这里面体现着高中数学 的又一个重要的数学思想----函数与方程的思想。 例 7. 已知关于 x 的不等式 kx ? (k ? 1) x ? 3 ? 0 的解为 ? 1 ? x ? 3 ,求 k 的值.
2 2

思路导航: 对应的一元二次方程的根是 ?1 和 3 , 且对应的二次函数的图象开口向上. 根 据一元二次方程根与系数的关系可以求解。

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? ?k ? 0 ? k2 ?1 ? 解:由题意得: ? ?1 ? 3 ? ? k ?1 k ? 3 ? (?1) ? 3 ? ? ? k ? 点津: 本例也可以根据方程有两根 ?1 和 3 , 用代入法得: k (?1)2 ? (k 2 ? 1)(?1) ? 3 ? 0 , k ? 32 ? 3(k 2 ? 1) ? 3 ? 0 ,且 k ? 0 ,从而解得 k ? 1 .
四、知识提炼 解 方程或不等式 ax2+bx+c=0 ( a>0) ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 △ >0 解 的 情 况 △ <0

△ =0

x=x1 或 x=x2

b? ? ?x 1 ? x 2 ? ? ? 2a ? ?

无实数解

{x|x<x1 或 x>x2} {x| x1<x<x2}

b? ? ?x | x ? ? 2a ? ?
无解

R 无解

五、目标期望 一元二次不等式是不等式的一种重要形式,学好一元二次不等式不仅可以解分式不等 式,而且对于处理二次函数,一元二次方程的有关问题都会起到重要的促进作用,希望通过 本节课的学习, 使同学们能够熟练的求解一元二次不等式及分式不等式, 并能运用相关知识 处理一些简单的含有参数的不等式问题。 六、下讲预告 二次函数是初中的主要内容,也是高中学习的重要基础。在初中阶段,我们已经学习过 如何求二次函数的最值, 下节课我们将在此基础上继续学习当自变量在某个范围时, 函数的 最值问题。 【同步练习】 (答题时间:30 分钟) 1. 关于 x 的不等式 x ? x ? 5 ? 3x 的解是
2

A. x ? 5 或 x ? ?1
2

B. x ? 5 或 x ? ?1

C. ?1 ? x ? 5

D. ?1 ? x ? 5

2. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 A. x ? 3或x ? ?1 C. x ? 1或x ? ?3
2

B. ?1 ? x ? 3 D. ?3 ? x ? 1 B. a ? 0, ? ? 0 D. a ? 0, ? ? 0
用心 爱心 专心

3. 不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么 A. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0

4. 若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解是 ?
2

B. ?14 5. 不等式 x ? 1 ? 2 x 的解是 A. ?10
2

1 1 ? x ? ,则 a ? b 的值是( 2 3 C. 10 D. 14
.



x ?1 6. 不等式 ? 0 的解是___________ x ?1 2x ?1 7. 不等式 ? 2 的解是______________ 2x ?1 1 1 2 8. 若不等式 ax ? x ? b ? 0 的解为 ? ? x ? , 求 a 和 b 的值。 3 2
9. 解不等式: (1)x2+2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x <0. 10. 解关于 x 的不等式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0
2

(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

2

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【试题答案】 1. B. 2. C 5. x ? 1 6. x ? ?1或x ? 1 7. x ?

3. A

4. A

1 或x ? 3 2
2

8. 解:由题意知 ax ? x ? b ? 0 有解 x1 ? ? , x2 ?

1 3

1 2 ,结合函数图象 y ? ax ? x ? b , 2

1 1 ? 1 ? ?? ? ? ? a 3 2 可知 a ? 0 ,由韦达定理, ? ,解得 a ? ?6 , b ? 1 ? b ? (? 1 ) ? 1 ? 3 2 ?a
9. 解: (1)∵Δ>0,方程 x2+2x-3=0 的解是 x1=-3,x2=1. ∴不等式的解为 -3≤x≤1. (2)整理,得 x2-x-6>0. ∵Δ>0,方程 x2-x-6=0 的解为 x1=-2,x2=3. ∴所以,原不等式的解为 x<-2,或 x>3. (3)整理,得(2x+1)2≥0. 由于上式对任意实数 x 都成立, ∴原不等式的解为一切实数. (4)整理,得(x-3)2≤0. 由于当 x=3 时,(x-3)2=0 成立;而对任意的实数 x,(x-3)2<0 都不成立, ∴原不等式的解为 x=3. (5)整理,得 x2-x+4>0. Δ<0,所以,原不等式的解为一切实数. 10. 解: x ? (a ? 1) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a) ? 0
2

(1)当 a ? 1 时, x ? (a ? 1) x ? a ? 0 的解为 1 ? x ? a
2

(2)当 a ? 1 时, x ? (a ? 1) x ? a ? 0 无解
2 2

(3)当 a ? 1 时, x ? (a ? 1) x ? a ? 0 的解为 a ? x ? 1

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