tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

(初升高)高一数学衔接班第5讲——不等式


(初升高)高一数学衔接班第 5 讲——不等式
一、学习目标 1. 掌握一元二次不等式的解法,如不等式组法、图象法 2. 掌握简单分式不等式的解法 3. 会解简单的含字母系数的不等式,会求有关字母取值或取值范围的问题 二、学习重点 一元二次不等式的解法 三、课程精讲 1. 新知探秘 问题:如何解不等式 x ? x ? 6 ? 0 .
2

路导航:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得 负”的原则,将其转化为一元一次不等式组. 解:方法一:原不等式可以化为: ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ? x ? ?3 ?? 或? ? x ? ?3或x ? 2 或? ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?x ? 2 所以,原不等式的解是 x ? ?3或x ? 2 .
于是: ? 点津:当把一元二次不等式化为 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式后,只要等式左边可以
2

分解为两个一次因式,即可运用本题的解法。 形如 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (其中a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式.
2

知识点一:一元二次不等式的解法——不等式组法 例 1. 解下列不等式: (1) ( x ? 2)( x ? 3) ? 6 (2) ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)(2 x ? 1) 思路导航:要先将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式,通常使二次项系数为
2

正数. 解:(1)原不等式可化为: x ? x ? 12 ? 0 ,即 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0
2

于是: ?

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 或? ? ?3 ? x ? 4 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
2

所以原不等式的解是 ?3 ? x ? 4 . (2)原不等式可化为: ? x ? 4 x ? 0 ,即 x 2 ? 4 x ? 0 ? x( x ? 4) ? 0 于是: ?

?x ? 0 ?x ? 0 或? ?0? x?4 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
2

所以原不等式的解是 0 ? x ? 4 . 点津:在将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式时,通常把二次项系数化正, 还要注意进行正确的分解因式 知识点二:一元二次不等式的解法——图象法

用心

爱心

专心

问题:对于如何解不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,还有其他的解法吗? 解:方法二:二次函数 y ? x ? x ? 6
2

(1)作出图象(如图所示);

(2)根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3,0),(2,0) ,即当 x ? ?3或x= 2 时,

y ? 0 .就是说对应的一元二次方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的两个实数根是 x ? ?3或x= 2 .
(3) 当 x ? ?3或x ? 2 时,y ? 0 , 对应图像位于 x 轴的上方. 就是说 x ? x ? 6 ? 0 的
2

解是 x ? ?3或x ? 2 . 当 ?3 ? x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的下方.就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解是
2

?3 ? x ? 2 .
一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1)求相应一元二次方程的根; (2)观察相应的二次函数的图象。 ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,此时对应的一元二次方程有两个不相等 的实数根 x1 , x2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。

②如果图象与 x 轴只有一个交点 (? 数根 x1 ? x2 ? ?

b , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个相等的实 2a

b (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断) . 2a

③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别
用心 爱心 专心

式 ? ? 0 来判断)。

简单的说,求解一元二次不等式的步骤为: (1)求根 (2)画图 (3)写出解集 例 2. 解下列不等式: (1) x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0
2

思路导航:按着图象法的解题步骤进行 解:(1)不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ∴一元二次方程的两根为-2、4 ∴由图象知,不等式的解是 ?2 ? x ? 4 2 (2) 不等式可化为 ( x ? 2) ? 0 ∴由图象知不等式的解是 x ? 2 仿练: x ? x ? 2 ? 0
2

解:不等式对应的一元二次方程 x ? x ? 2 ? 0 无解
2

由 y ? x ? x ? 2 的函数图像可知,原不等式无解
2

点津:实际上,“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”之间存在某种内在 联系,简称为“三个二次的关系”; “三个二次的关系”完全可以统一到函数的图像中去,即 一元二次方程的根是一元二次函数图像与 x 轴交点的横坐标, 也是一元二次不等式解的端点 值,当然,这部分内容到高中还会学习到。 知识点三:简单分式不等式的解法 例 3. 解下列不等式: (1)

2x ? 3 ?0 x ?1

(2)

x?3 ?0 x ? x ?1
2

思维导航:(1)类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一 次不等式组再进行处理;或者因为两个数(式)相除为异号,那么这两个数(式)相乘也为 异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解. (2)注意到经过配方后,分母实际上是一个正数 解:(1)法一: 原不等式可化为:

3 3 ? ? ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 3 ?x ? 或? ?? 2 或? 2 ? ?1 ? x ? ? 2 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? ? x ? ?1
法二: 原不等式可化为: (2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ?
用心