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高三数学复习之30分钟小练习(37)


高三数学复习之 30 分钟小练习(37)
1. 在△ABC 中,∠C=90° AB ? (k ,1), AC ? (2,3), 则 k 的值是 , A 5 B -5 C
3 2

D

?

3 2

2.已知 a 、 b 均为单位何量,它们的夹角为 60° ,那么| a + 3 b | = A

?

?

7

B

10

C

13

D 4

3. 已知点 A( 3 ,1) ,B(0,0)C( 3 ,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E, 那么有 BC ? ?CE, 其中? 等于 A 2 B

1 2

C

-3

D



1 3

4. 已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则 A

? ?

?

?

?

?

?

? ? a ⊥e
??? ?

B

? ? ? a ⊥( a - e ) C
??? ? ??? ?

? ? ? e ⊥( a - e )

D

( a + e )⊥( a - e )

?

?

?

?

5.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k=___ 6..已知向量 a 与 b 的夹角为 120° a |=2, | b |=5,则(2 a - b )· = ,且| a 7..已知向量 a ? (2 cos

?

?

?

?

.

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

) 是否存在实数 x ? [0, ? ], 使f ( x) ? f ?( x) ? 0(其中f ?( x)是f ( x)的导函数 ? 若存在, 则求出
x 的值;若不存在,则证明之.

8.如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 θ 取何值时, PQ · 的值最大?并求出这个最大值. BC C a

A

B

参考答案
1.A [解析]: ∠C=90° AB ? (k ,1), AC ? (2,3), 则 BC ? (2 ? k ,2) , ∴ AC ? BC ? 0 ? 2(2 ? k ) ? 6 ? 0 ? k ? 5 2.C [解析]:已知 a 、 b 均为单位何量,它们的夹角为 60° ,那么 a ? b = ∴| a + 3 b |2= a ? 6a ? b ? 9b ? 13 3.C [解析]:设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E, 那么 ∵∠C=90°

?

?

1 2

?

2

2

BE AB AB ? AC 2 ? 1 ? ?? ? ? ?3 EC AC AC 1 ? ? ? ? ? ? ? 4.C[解析]:已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |
即 | a -t e |2≥| a - e |2

?

?

?

?

∴ t ? 2a ? et ? 2a ? e ? 1 ? 0
2

即 ? ? (2a ? e) 2 ? 4(2a ? e ? 1) ? 0 即( ? e ? 1 2 ? 0 ? a ? e ? 1 ? 0 a )

a ? e ? e ? 0 ? e(a ? e) 0 ? ?
5. ?

2

??? ? ??? ? ??? ? 2 [解析]:向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) , 3
∴ AB ? (4 ? k ,?7), AC ? (?2k ,?2) 故(4-k,- 7)= ? (- 2k,- 2) 又 A、B、C 三点共线 ∴k= ?
2

6 13 [解析]: 7. 已知向量 a ? (2 cos

(2 a - b )· =2 a 2- a · =2 ? 2 ? 2 ? 5 ? (? ) ? 13 a b

?

?

?

?

2 3
1 2

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), . 2 2 4 2 4 2 4

x x x ? f ( x) ? a ? b ? 2 cos (sin ? cos ) ? 1, 2 2 2 x x x x x x ? f | ( x) ? ? sin (sin ? cos ) ? cos (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2
当 f ( x) ? f ?( x) ? 0 则 2cosx=0 8.解法一:∵ AB ⊥ AC ,∴ AB · =0. AC ∵ AP = - AQ , BP = AP - AB , CQ = AQ - AC , ∴ BP · =( AP - AB )· AQ - AC ) ( CQ 答: x ?

?
2

时, f ( x) ? f ?( x) ? 0 .

= AP · - AP · - AB · + AB · AC AC AQ AQ = -a2- AP · + AB · AP AC = -a2- AP · AB - AC ) ( = -a2+

1 BC = -a2+ a2cosθ. PQ · 2

故当 cosθ=1,即 θ=0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP · 最大,最大值为 0. CQ 解法二:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角 坐标系. 设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0),B(0,0),C(0,0). 且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点 P 的坐标为(x,y),则 Q(-x, -y), ∴ BP =(x-c, y), CQ =( -x, -y- b). A B x y C Q

BC =(-c, b), PQ =(-2x, -2y).
BP · =( x-c)(-x)+ y(-y- b)= - (x2+y2)+ c x- b y . CQ
∵cosθ= P

PQ ? BC PQ BC

?

cx ? by , a2

∴c x- b y= a2 cosθ. ∴ BP · = -a2+ a2cosθ. CQ 故当 cosθ=1,即 θ=0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP · 最大,最大值为 0. CQ
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