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甘肃省兰州实验中学2014届高三上学期期中考试试题数学理科


甘肃省兰州实验中学 2014 届高三上学期期中考试试题 数学理科 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M={x|(x+3)(x-1)<0},N={x

|x≤-3},则CR(M∪N)=( A.{x|x≤1} 【答案】B B. {x|x≥1} C. {x|x>1} )

D. {x|x<1}

1 3 2 2.若复数 z ? ? ? ) i ,则 z =( 2 2 1 3 1 3 A. ? ? B. ? ? i i 2 2 2 2
【答案】B

C.

3 1 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

3.已知向量 a ? ? 2 , 1? , b ? ? x, ? 2? ,若 a ∥ b ,则 a + b 等于( A. ? ?2, ?1? B. ? 2,1? ) C. ? 3, ?1?

) D. ? ?3,1?

【答案】A 4. 条件甲“a>1”是条件乙“a> a”成立的 ( A.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 【答案】B 5. 函数 f ( x) ? log 2 x 与 g ( x) ? ( )

B.充要条件 D.必要不充分条件

1 2

x ?1

在同一直角坐标系中的图象是(

)

【答案】D 6.某校高三一班有学生 54 人,二班有学生 42 人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16 人参加一项活动,则一班和二班分别被抽取的人数是 ( A C 8,8 10,6 B 9,7 D 12,4 )

【答案】B
1

7.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 | ? |?

?
2

)的图象如图

所示,为了得到 y ? sin ?x 的图象,只需把 y ? f ( x) 的图象上所有点 ( A. 向左平移 C. 向左平移 【答案】D 8. 函 数 f ( x) 在 定 义 域 R 上 不 是常 数 函 数, 且 f ( x) 满 足 条 件: 对 任 意 x ? R , 都 有 ) B. 向右平移 D. 向右平移

? 个单位长度 12
? 个单位长度 6

? 个单位长度 12

? 个单位长度 6

f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (1 ? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是(
A. 奇函数但非偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 【答案】B

) B. 偶函数但非奇函数 D. 是非奇非偶函数

9.如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲,乙两名选手打出的分数的 茎叶图(其中 M 为数字 0—9 中的一个) ,去掉一个最高分和一 个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数依次为 a1 , a2 ,则一 定有 ( ) B. a2 ? a1 D. a1 , a2 的大小不确定
1 2

A. a1 ? a2 C. a1 ? a2 【答案】B 10.设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 A. a ? b ? c 【答案】C
?

,则 (

) C. c ? a ? b D. c ? b ? a

B. b ? c ? a

11. 设 f ( x) ?

2x 2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) ,若对于任意 x1 ? [0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] , x ?1
) C. [ , 4 ]

使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围是 ( A. [4,??) 【答案】C
2

B. (0, ]

5 2

5 2

D. [ ,?? )

5 2

? 3 ? 12. 设 ? 是锐角,若 tan(? ? ) ? ,则 sin(2? ? ) 的值为 ( 6 4 12 31 2 17 2 17 2 A. B. C. 25 50 25 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知函数 f ? x ? ? ? 【答案】

) D.
31 2 50

?log 2 x, x ? 0 ? ? 1 ?? , 则 f ? f ? ?? ? ____ x ? ? 8 ?? ? 3 ,x?0

____.

1 27
? ?

14.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 在区间 [? , ] 上的最大值是_______________. 6 3 答案:2 15.若 a, b, c 均为正数, 且 3a ? 4b ? 6c , 则 【答案】2 16.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ?
2c c ? 的值是_______________. a b

?a, a ? b ? 1, .设函数 ?b, a ? b ? 1.

f ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? 1? ,x ? R .若函数 y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,
则实数 c 的取值范围是 【答案】 ? ?2, ?1? ? ?1,2 ? . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 A,B,C 为 ?ABC 三内角,其对边分别为 a、b、c,若 .

cos B cos C ? sin Bsin C ?
(Ⅰ)求 A;

1 . 2

(Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 解: (Ⅰ)?cos B cos C ? sin B sin C ?

1 1 ,?cos( B ? C ) ? ………………………3 分 2 2 ? 2? 又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ? . ? A ? B ? C ? ? ,? A ? .……………6 分 3 3 2? ,………………………………8 分 3
………………………………10 分 ………………………………12 分
3

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , 得 (2 3)2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? cos

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) , ? bc ? 4 .

1 2

1 1 3 ? S?ABC ? bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

18. (本小题共 12 分)已知向量 OA ? (1,7) ,OB ? (5,1) ,OP ? (2,1) ,点 Q 为直线 OP 上 一动点. (Ⅰ)当 QA ? OP 时,求 OQ 的坐标; (Ⅱ)当 QA ? QB 取最小值时,求 OQ 的坐标.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

????

18 9 , ). …………………..6 分 5 5 ??? ? ??? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 QA ? QB ? 5t 2 ? 20t ? 12 ? 5(t ? 2)2 ? 8 , …………..9 分 ??? ? ??? ? ? t ? R, ?当 t ? 2 时, QA ? QB 取得最小值. ???? 此时 OQ 的坐标是(4, 2) . …………… …..12 分
所以 OQ 的坐标是 ( 19. (本题满分 12 分) 为迎接我校建校 110 周年,某班开展 了一次“校史知识”竞赛活动,竞赛分初赛 和决赛两个阶段进行,在初赛后,把成绩 (满分为 100 分,分数为均匀整数)进行 统计,制成如右图的频率分布表: (Ⅰ)求 a, b, c, d 的值;
序号 1 2 3 4 合 分组(分数段) [0, 60) [60, 75) [75, 90) [90, 100) 计 频数(人数) a 15 20 c 50 频率 0.1 b 0.4 d 1

????

(Ⅱ)决赛规则如下:为每位参加决赛的选手准备四道题目,选手对其依次作答,答对两道 就终止答题,并获得一等奖,若题目答完仍然只答对一道,则获得二等奖. 某同学进入决赛,每道题答对的概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 90 分的频率的 值相同.设该同学决赛中答题个数为 X,求 X 的分布列以及 X 的数学期望.

15 ? 0.3, c ? 10, d ? 0.2 50 (Ⅱ)X 的可能取值为 2,3,4.
解:(Ⅰ) a ? 50 ? 0.1 ? 5, b ?

……………………4 分

1 P( X ? 2) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04, P( X ? 3) ? C2 0.2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.064,

1 P( X ? 4) ? C3 0.2 ? 0.82 ? 0.83 ? 0.896

所以分布列为:
X P 2 0.04 3 0.064 4 0.896

…………………10 分 E ( X ) ? 2 ? 0.04 ? 3 ? 0.064 ? 4 ? 0.896 ? 3.856 20. (本小题满分 14 分) 已知 f (x) = x+a sin x .

………………12 分

4

(Ⅰ) 若 a =2 ,求 f (x) 在 ?0 , ? ? 上的单调递减区间; (Ⅱ)当常数 a ? 0 时,设 g ( x) ?
f ( x) ? ? 5? ,求 g ( x) 在 ? , x ?6 6

? 上的最大值. ? ?

f ( x) a sin x a( x cos x ? sin x) ? 1? , ∴ g ?( x) ? ,…6 分 x x x2 记 h( x) ? x cos x ? sin x,x ? (0,? ) , 则 h?( x) ? ? x sin x ? 0 对 x ? (0,? ) 恒成立, ∴ h ( x ) 在 x ? (0,? ) 上是减函数, ∴ h( x) ? h(0) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , …………………8 分
(Ⅱ) g ( x) ?

f ( x) ? ? 5? ? 在 ? 0,? ? 上是减函数,得 g ( x) 在 ? , ? 上为减函数. x ?6 6 ? ? 3a ∴当 x ? 时, g ( x) 取得最大值 1 ? . ……13 分 6 ? f ( x) ? ? 5? ? ② 当 a <0 时, g ( x) ? 在 ? 0,? ? 上是增函数,得 g ( x) 在 ? , ? 上为增函数. x ?6 6 ? ? 3a ∴当 x ? 时, g ( x) 取得最大值 1 ? . ………………12 分 6 5? a 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ? ln x ? 1 (a 是常数, e ? 2.71828 ). x
① 当 a ? 0 时, g ( x) ? (Ⅰ)若 x ? 2 是函数 f ( x ) 的极值点,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程;
?1 ? (Ⅱ)当 a ? 1 时,方程 f ( x) ? m 在 x ? ? , e2 ? 上有两解,求实数 m 的取值范围; ?e ?

n 1 ? (n ? 1 ,且 n ? N * ) . n ?1 n x?a 解: (Ⅰ) f ?( x) ? . x2
(Ⅲ)求证: ln 切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ………….4 分

1 ? lg x ? 1, x

f ?( x) ?

x ?1 ?1 ? ,其中 x ? ? , e2 ? , 2 x ?e ?

当 x ? ? ,1? 时, f ?( x) ? 0 ; x ? 1, e2 ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,
?1 ? ∴ x ? 1 是 f ( x) 在 ? , e 2 ? 上唯一的极小值点, ?e ?

?1 ? ?e ?

?



? f ( x)?min ?

f (1) ? 0 .
5

又 f ( ) ? e ? 2, f (e ) ?
2

1 e

1 1 ? lg e 2 ? 1 ? 2 ? 1, 2 e e

1 ?1? f ? ? ? f (e2 ) ? e ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 , e ?e?
综上,所求实数 m 的取值范围为 {m | 0 ? m ? e ? 2} .…………8 分 (Ⅲ)若 a ? 1 时,由(2)知 f ( x) ? 当 n ? 1 时,令 x ?

1? x ? ln x 在 ?1,??? 上为增函数, x

n ,则 x ? 1 ,故 f ( x) ? f (1) ? 0 , n ?1 n 1? ? n ? n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 ,∴ ln n ? 1 .…….12 分 即 f? ?? n ?1 n n n ?1 n n ?1 ? n ?1? n ?1

四.选考题:(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号;满分 10 分.) 22. (本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》

?C ? 90? , BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上,DE ? EB . 如图, 在 Rt△ABC 中,
(Ⅰ)求证:AC 是△BDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD ? 2 3 ,AE ? 6 ,求 EC 的长. 解: (Ⅰ)设线段 DB 的中点为 O ,连接 EO ,

? DE ? EB

?



O







, ……………..2 分

?OB ? OE, ??OEB ? ?OBE
又 BE 平分 ?ABC, 又? ?C ? 90? ,

??CBE ? ?OBE
??AEO ? 90? .

??OEB ? ?CBE, ?OE // BC .

? AC 是△ BDE 的外接圆的切线 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 AC 是圆 O 的切线,

……………..5 分

? AE 2 ? AD ? AB,

? AB ?

AE 2 62 ? ? 6 3, AD 2 3

? BD ? AB ? AD ? 6 3 ? 2 3 ? 4 3 , ?OB ? OD ? 2 3 .
又由(Ⅰ)知 OE // BC , ………………8 分

?

AE AO ? . EC OB
6

? EC ?

AE ? OB 6 ? 2 3 ? ?3. AO 4 3

………………10 分

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
2 C:?sin ? ? 2a c o ? s (a ? 0) , 已 知 过 点 P(?2,?4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 :

? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 , 2 t 2

直线错误!未找到引用源。与曲线错误!未找到引用源。分 别交于错误!未找到引用源。. (Ⅰ)写出曲线错误!未找到引用源。和直线错误!未找到 引用源。的普通方程; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。成等比数列 ,求错误!未找 解: (Ⅰ) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 . …………..5 分 到引用源。的值.

? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( 为参数), t 2 t 2
……………7 分

代入 y 2 ? 2ax , 得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 , 则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) .

因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 解得 a ? 1 . 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 ………………10 分

f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | .

(Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? , ?? ? x ? , ?x ? ? , 或? 2 或? 2 2 2 ? ? ? ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6. ? ? ?
解之得

3 1 3 1 ? x ? 2, 或 ? ? x ? ,或 ? 1 ? x ? ? . 2 2 2 2

7

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} .

………………5 分

(Ⅱ)? f ?x? ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? ?2x ? 1? ? ?2x ? 3? ? 4 .

? a ? 1 ? 4 ,解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 .

……………10 分

(本题利用图像法或几何意义法仍然可解,请酌情给分.)

8


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