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山东省济南一中2013-2014学年高二数学下学期期中试题 理


山东省济南一中 2013-2014 学年高二数学下学期期中考试试题 理
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、单项选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、已知点 A(?3,1, ?4) , B(3, ?5,10) 则线段 AB 的中点 M 的坐标为 A. ( )

? 0, ?4,6?

B.

? 0, ?

2,3?

C.

?0,2,3?

D.

? 0, ?2,6?
( D. ?6 ) )

2 2、设函数 f ( x) ? x ? 6x ,则 f ( x) 在 x ? 0 处的切线斜率为

A. 0

B. ?1

C.3

→ 3、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算结果为向量AC1的是( → → → → → → ①(AB+BC)+CC1;②(AA1+A1D1)+D1C1; → → → → → → ③(AB+BB1)+B1C1;④(AA1+A1B1)+B1C1. A.①③
2

B.②④

C.③④

D.①②③④ )

4、方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为( A.一椭圆和一双曲线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率

B.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) ? ? 1(5 ? m ? 9) 8、 曲线 10 ? m 6 ? m 与曲线 5 ? m 9 ? m 的(
A.焦距相等 B. 离心率相等 C.焦点相同 D.以上答案都不对



1 1 1 13 ? ??? ? ( n ? 2) 2n 24 9、用数学归纳法证明不等式“ n ? 1 n ? 2 ”时的过程中,由 n ? k 到 n ? k ? 1 时,不等
式的左边( )

1

1 (A)增加了一项 2( k ? 1)

1 1 ? (B)增加了两项 2k ? 1 2(k ? 1)

1 1 1 ? 2 k ? 1 2 ( k ? 1 ) (C)增加了两项 ,又减少了 k ? 1 ; 1 1 (D)增加了一项 2( k ? 1) ,又减少了一项 k ? 1 ;
? ? 10、设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小值,则函数 y ? xf ( x) 的图象可能
是 ( )

11、已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数的取值范围是 (
3 2



A. (??,? 3 ] ? [ 3 ,??) B.

[? 3 , 3 ]

C. (??,? 3 ) ? ( 3 ,??) D. (? 3 , 3 )

x2 y 2 ? ?1 2 2 2 2 12 、 P 为双曲线 9 16 的右支上一点, M , N 分别是圆 ( x ? 5) ? y ? 4 和 ( x ? 5) ? y ? 1 上的点,则

PM ? PN
A. 6

的最大值为( B. 7

) C. 8 D. 9

第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分) 二、填空题题(每小题 5 分,共 25 分)

? ? a ? ( 4 , 2 , ? 4 ), b ? (6,?3,2) ,则 (2a ? 3b ) (a ? 2b ) ? __________________。 13 若向量
x2 y2 4 14、已知双曲线 - =1(a>0,b>0)一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率_________ a2 b2 3 → 15、已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,M、N 分别为 BC、PD 的中点,且满足 M N = → → → xAB+yAD+zAP则实数 x+y+z 的值为________.

2

1 16、曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形的面积为____________. x 17、观察下图: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ??则第________行的各数之和等于 2 0112 三、解答题(本大题共 3 小题,满分 35 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。 ) 18、 (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,

?DAB ? 90? , PA ?
P ?A A ?





A

B

C , D 且

1 D ? D C 2, AB ? 1 , M 是 PB 的中点。

(Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小余弦值。 19、(本小题共 12 分)

k 2 x 已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x + 2 ( k ≥0)。
(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线

y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程;

(Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。 20、 (本小题满分 11 分)

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 a 相交于 A、B 两点.

3 ①.若椭圆的离心率为 3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 1 2 e ?[ , ] 2 2 时,求椭圆的长轴长的 ②.若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率
最大值.

3

参考答案

几何法:在 MC 上取一点 N ( x, y, z ) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 1 4 AN ? MC , 只需 AN MC ? 0即x ? z ? 0, 解得? ? . 2 5



使

4 可知当? ? 时, N点坐标为 5 有B ? ?0 N

能使

( M

1 5

此时 A ? C


,

2 5

N

? 1

M

,

由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?A
所求二面角的平面角.

N

B

| AN |?

30 30 4 AN BN 2 ,| BN |? , AN BN ? ? ? cos( AN , BN ) ? ?? 5 5 5 3 | AN | ? | BN |
2

19、 解: (I) 当 k ? 2 时,f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , 以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

f '( x) ?

1 ?1 ? 2x 1? x

由于 f (1) ? ln 2 ,

f '(1) ?

3 2,



y ? ln 2 ?

3 ( x ? 1) 2



3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0

f '( x) ?
(II)

x(kx ? k ? 1) 1? x , x ? (?1, ??) . f '( x) ? ? x 1? x .

当 k ? 0 时,

所以,在区间 (?1, 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 .
4

故 f ( x ) 得单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) .

当 0 ? k ? 1 时,由

f '( x) ?

x(kx ? k ? 1) 1? k ?0 x2 ? ?0 x ?0, 1? x k ,得 1

1? k 1? k ( , ??) (0, ) k 上, f '( x) ? 0 所以,在区间 (?1, 0) 和 k 上, f '( x) ? 0 ;在区间
故 f ( x ) 得单调递增区间是 (?1, 0) 和

1? k 1? k ( , ??) (0, ) k k . ,单调递减区间是

x2 f '( x) ? 1? x 当 k ? 1 时,
当 k ? 1 时,

故 f ( x ) 得单调递增区间是 (?1, ??) .

f '( x) ?

x(kx ? k ? 1) 1? k ?0 x1 ? ? (?1, 0) x ? 0. 1? x k ,得 , 2

(?1,
所以没在区间

1? k 1? k ) ( , 0) k 和 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 k 上,

f '( x) ? 0
(?1, 1? k 1? k ) ( , 0) k 和 (0, ??) ,单调递减区间是 k

故 f ( x ) 得单调递增区间是

8 3 20 解析: (1) 5

? 0 得 出 : a 2 ? b2 ? 2a 2b2 , 变 形 为 : ( 2 ) 联 立 方 程 得 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 , 由 O A? O B
2 2 2 2 2 2 2

b2 ?

a2 1 ? a2 ? c2 ? 2 ? 1 ? e2 2 2a ? 1 2a ? 1 ,由 e 范围得出:

a ?[

42 6 , ] 6 2 ,则长轴长最大值为 6

5


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