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湖南省师大附中2012届高三第五次月考(数学理)word版


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湖南师大附中 2012 届高三月考试卷(五)

数 学 试 题(理)
考试范围:高中文科数学全部内容 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知 sin θ =

4 且 sin θ ? cos θ > 1 ,则 sin 2θ = 5
( ) B. ?

A. ?

24 25

12 25

C. ?

4 5

D.

24 25

2 . 已 知 直 线 l ⊥ 平 面 α , 直 线 m ? 平 面 β , 则 “ α / /β ” 是 “ l ⊥ m ” 的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. A( a,1), B (2, b), C (4,5) 为坐标平面内三点,O 为坐标原点,若 OA与OB在OC 方向上的投 影相同 ,则 a、b 满足的关系式为 ( ) B. 5a ? 4b = 3 C. 4a + 5b = 14 D. 5a + 4b = 14 A. 4a ? 5b = 3 4.某单位为了了解用电量 y(单位:度)与气温 x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天的气温,并制作了对照表如下:

uuu uuu uuur r r

? ? ?, 由表中数据得线性回归方程 y = bx + a 求得b = ?2 ,现预测当气温为-4℃时,用电量约
()度。 A.34 5.设双曲线 M : B.40 C.68 D.74

x2 ? y 2 = 1, 点C (0,1), 若直线x ? y + 1 = 0 交双曲线的两渐近线于点 A、B, a2

且 BC = 2 AC ,则双曲线的离心率为 ( A. )

uuu r

uuur

5 2

B.

10 3

C. 5

D. 10

2 2 2 6.记圆 O: x + y = π 内的正弦曲线 y = sin x与x 轴围成的区域为 D,随机往圆 O 内投一

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个点 A,则点 A 落在区域 D 内的概率是 ( ) A.

4

π

2

B.

4

π

3

C.

2

π

2

D.

2

π3

?x ≥ 1 ? 表示的平面区域内的一个动点,且目标函数 7.已知点 ( x, y )是不等式组 ? x + y ≤ 4 ?ax + by + c ≥ 0 ?
z = 2 x + y 的最大值为 7,最小值为 1,则
( A.2 8 . 若 f ( x) + 1 = B. )

a+b+c 的值为 a
C.-2 D.-1

1 2

1 , 当 x ∈ [0,1] 时 , f ( x) = x , 若 在 区 间 ( ?1,1] 内 , f ( x + 1)

g ( x) = f ( x) ? mx ? m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是
( A. ? 0, )

? 1? ? ? 2?

B. ? , +∞ ?

?1 ?2

? ?

C. ? 0, ?

? 1? ? 3?

D. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡 中对应题号后的横线上。 (一)选做题(从下列三题中任意选做两题,若三题全做,则只按前两题记分) 9.设 x > 0, y > 0, A =

x+ y x y ,B = + ,则 A,B 的大小关系是 1+ x + y 1+ x 1+ y



10.在极坐标系中,定点 A(1,

π
2

) ,动点 B 在曲线 ρ = 2 cos θ 上移动,当线段 AB 最短时,点

B 的极径为 。 11.如图,⊙O 与⊙P 相交于 A,B 两点,点 P 在⊙O 上,⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B,CP 及其延长线交⊙P 于 D,E 两点,过点 E 作 EF⊥CE 交 CB 的延长线于点 F,若 CD=2,CB= 2 2 ,则 EF 的长等于 (二)必做题(12~16 题) 12.i 是虚数单位,若 。

3+i = a + bi (a, b ∈ R ) ,则乘积 ab 的值是 1+ i



13.函数 f ( x) = x 3 ? x 2 + x + 1 在点(1,2)处的切线与函数 g ( x) = x 2 围成的图形的面积等 于 。

14.二项式 (1 + sin x) n 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值为

5 , 2

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则 x在[0, 2π ] 内的值为 15 .

。 数 列

{an }满足a1 = 1, an +1 ?
*

1 m 2 2 + 4 = 1(n ∈ N * ), 记Sn = a12 + a2 + L + an , 若S2 n +1 ? Sn ≤ 2 30 an


对任意的 n ∈ N 恒成立,则正整数 m 的最小值为

16.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x + 4) = ? f ( x ), f ( x ) 在[0,2]上是增函数, 则下列结论:

其中正确的命题的序号是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 角 B、 b、 设向量 m = ( a, cos B ), n = (b, cos A) 在 ?ABC 中, A、 C 的对边分别为 a、 c, 且 m / / n, m ≠ n. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A + sin B 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试,经过申请——资格认定——初选, 已确定甲班有 3 名同学入围,还有包括乙班在内的四个班各有 2 名同学入围,若要从这 些入围的同学中随机选出 5 名同学参加该校的自主招生考试。 (1)求在已知甲班恰有 2 名同学入选的条件下乙班有同学入选的概率; (2)求甲班入选人数 X 的期望; (3)求有且仅有一个班的入选人数超过 1 人的概率。

19. (本小题满分 12 分) 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 的动点。 (1)当 E 恰为棱 CC1 的中点时,试证明:平面 A1BD⊥平面 EBD; (2)在棱 CC1 上是否存在一个点 E,可以使二面角 A1—BD—E 的大小为 45°?如果存在,
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试确定点 E 在棱 CC1 上的位置;如果不存在,请说明理由。

20. (本小题满分 13 分) 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和 台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、 审批一站式服务,某台商在第一年初到大陆创办一座 120 万元的蔬菜加工厂 M,M 的价 值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元; 从第七年开始,每年初 M 的价值为年初的 75%。 (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An =

a1 + a2 + L + an , 若An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 n

M 更新,证明:必须在第九年初对 M 更新。

21. (本小题满分 13 分) 已 知 椭 圆

x2 y2 + = 1(a > 0, b > 0) 的 左 顶 点 是 a2 b2

A , 过 焦 点

F (c, 0)(c > 0, 为椭圆的半焦距) 作倾斜角为θ的直线(非 x 轴)交椭圆于 M,N 两点,
直线 AM,AN 分别交直线 x =
o

a2 (称为椭圆的右准线)于 P,Q 两点。 c

(1)若当 θ = 30 时有MF = 3FN ,求椭圆的离心率; (2)若离心率 e =

uuur

uuur

uuu uuu r r 2 , 求证 : FP ? FQ 为定值。 2

22. (本小题满分 13 分)
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f ( x) = ( x 2 ? 3 x + 3) ? e x , 其定义域为[?2, t ], 其中t > ?2, 设f (?2) = m, f (t ) = n.
(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x)在[ ?2, t ] 上单调函数; (2)试判断 m,n 的大小,并说明理由; (3)求证:对于任意的 t > ?2, 总存在x0 ∈ ( ?2, t ), 满足 的 x0 的个数.

f ′( x0 ) 2 = (t ? 1) 2 ,并确定这样 e′ 3

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