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必修2红对勾第四章 单元评估题(二)


第四章

单元评估题(二)

时限:120分钟 满分:150分
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.圆(x+2)2+y2=5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为( A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 解析: ∵圆 (x + 2)2 +

y2 = 5 的圆心 ( - 2,0) 关于原点对称的点为 (2,0), ∴圆(x+2)2+y2=5 关于原点对称的圆为(x-2)2+y2=5. 答案:A 2.圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是 ( ) A.相离 C.外切 B.相交 D.内切 )

解析:圆 O1:x2+y2-2x=0?(x-1)2+y2=1, 故圆心为(1,0),半径为 1. 圆 O2:x2+y2-4y=0?x2+(y-2)2=4, 故圆心为(0,2),半径为 2. 则圆心距 d= ?1-0?2+?0-2?2= 5. 而 2-1< 5<1+2,即两圆相交. 答案:B

3.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大 距离与最小距离的差为( A.36 C.6 2 ) B.18 D.5 2

解析:x2+y2-4x-4y-10=0?(x-2)2+(y-2)2=18, 圆心(2,2),半径 r= 18=3 2, 圆心到直线 x+y-14=0 的距离为 |2+2-14| =5 2. 2 答案:C 4. 过定点(1,2)可作两直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2-15=0 相切, 则 k 的取值范围是( A.k>2 B.-3<k<2 C.- 8 3 8 3 <k<-3 或 2<k< 3 3 )

D.以上皆不对 答案:C 5. 若直线 Ax+By+C=0(A、 B≠0)和圆 x2+y2=1 相切, 则以|A|、 |B|、|C|为三边长的三角形一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案:B 6.过定点 A(0,a)在 x 轴上截得弦长为 2a 的动圆圆心的轨迹方 程是( ) B.y2=2ax ) B.直角三角形 D.任意三角形

A.x2+(y-a)2=a2

C.(x-a)2+y2=a2 答案:D

D.x2=2ay

7.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( 7 A.(x-3)2+(y- )2=1 3 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 3 D.(x- )2+(y-1)2=1 2 解析:设圆心 C(a,b),由条件可得 b=1, 1 =2 或 a=- (舍). 2 ∴a=2. 答案:B 8.已知两圆相交于 A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线 x -y+c=0 上,则 m+2c 的值为( A.-1 C.3 ) B.1 D.0 |4a-3b| =1,解得 a 5 )

解析:由题意知:直线 x-y+c=0 为线段 AB 的垂直平分线,且 1+m AB 的中点( ,1)在直线 x-y+c=0 上, 2 所以 1+m -1+c=0,即 m+2c=1. 2

答案:B

9.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是( A.(4,6) C.(4,6] 答案:A 10.如图 1,正方体的棱长为 1,M 是所在棱的中点,N 是所在 棱的四等分点,则 M、N 之间的距离为( ) )

B.[4,6) D.[4,6]

图1 A. C. 21 4 21 2 B. D. 29 4 29 2

答案:B 11.若集合 A= {(x, y)|x2+y2≤16},B= {(x, y)|x2+(y-2)2≤a -1},且 A∩B=B,则 a 的取值范围是( A.a≤1 C.1≤a≤5 )

B.a≥5 D.a≤5

图2 解析:A∩B=B 等价于 B?A.当 a≥1 时,集合 A 和 B 中的点的 集合分别代表圆 x2+y2=16 和圆 x2+(y-2)2=a-1 的内部,如图 2, 容易看出当 B 对应的圆的半径小于 2 时符合题意.由 0≤a-1≤4, 得 1≤a≤5;当 a<1 时,集合 B 为空集,也满足 B?A,所以当 a≤5 时符合题意. 答案:D 12.已知半圆 x2+y2=4(y<0)上任一点 P(t,h),过点 P 作切线, 切线斜率为 k,则函数 k=f(t)的单调性为( A.增函数 C.先增后减 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.到两定点 A(1,2,3),B(3,7,-1)距离相等的点的坐标 P(x,y, z)满足的关系式为________. 解析:由题意知|PA|=|PB|, ∴ ?x-1?2+?y-2?2+?z-3?2 = ?x-3?2+?y-7?2+?z+1?2. )

B.减函数 D.先减后增

整理得:4x+10y-8z-45=0. 答案:4x+10y-8z-45=0 14.点 P 在圆 x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 x2+y2+4x +2y-1=0 上,则|PQ|的最小值是________. 答案:3 5-3- 6 15 . 圆 (x - a)2 + (y + 3a)2 = 1 的 圆 心 轨 迹 方 程 是 ______________________. 答案:3x+y=0 16.若点 M(x,y)是圆 x2+y2=2y 上的动点,则 2x+y 的取值范 围是________. 答案:[1- 5,1+ 5] 三、解答题(共 70 分) 17.(本小题 10 分)设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),求直线 AB 的方程. 解:解法一:已知圆的方程为(x-2)2+y2=9.可知圆心 C 的坐标 是(2,0),又知 AB 弦的中点是 P(3,1),所以 kCP= 1-0 =1.而 AB⊥CP, 3-2

所以 kAB=-1.故直线 AB 的方程是 x+y-4=0. 解法二:设所求直线方程为 y-1=k(x-3).代入圆的方程,得关 于 x 的二次方程(1+k2)x2-(6k2-2k+4)x+9k2-6k-4=0,由韦达定 6k2-2k+4 理 x1+x2= =6, 1+k2 解得 k=-1. 故直线 AB 的方程为 x+y-4=0. 解法三:设所求直线与圆交于 A、B 两点,其坐标分别为 A(x1, y1)、B(x2,y2),则有

2 2 ? ??x1-2? +y1=9, ? 2 2 ??x2-2? +y2=9, ?

① ②

②-①,得(x2+x1-4)(x2-x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0. 又 AB 的中点坐标为(3,1), ∴x1+x2=6,y1+y2=2. y2-y1 ∴ =-1,即 AB 的斜率为-1. x2-x1 故所求方程为 x+y-4=0.

图3 18.(本小题 12 分)设有长方体 ABCD—A′B′C′D′,长、宽、 高分别为|AB|=4 cm,|AD|=3 cm,|AA′|=5 cm,N 是线段 CC′的 中点,分别以 AB,AD,AA′所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,以 1 cm 为单位长,建立如图 3 所示的空间直角坐标系. (1)求 A、B、C、D,A′、B′、C′、D′的坐标; (2)求 N 点坐标; (3)求 AC′的长. 解:(1)显然 A(0,0,0). 由 B、D、A′分别在 x、y、z 轴上, ∴B(4,0,0),D(0,3,0)A′(0,0,5),

C、B′、D′分别在 xOy、xOz,yOz 平面内, ∴C(4,3,0),B′(4,0,5),D′(0,3,5), C′在 xOy 平面内射影为 C,且|CC′|=5, ∴C′(4,3,5). 5 (2)N 在 xOy 平面内的射影为 C,且|CN|= , 2 5 ∴N(4,3, ). 2 (3)由两点间的距离公式可得: |AC′|= ?4-0?2+?3-0?2+?5-0?2 =5 2. 19.(本小题 12 分)已知曲线 C:x= 4-y2(-2≤y≤2)和直线 y =k(x-1)+3 只有一个交点,求实数 k 的取值范围.

图4 解:如图 4,曲线 C 表示以(0,0)为圆心,2 为半径的右半圆,直 线过(1,3)点. 1 5 由图 2 可得 kAM= =1,kBM= =5, 1 1

∴1≤k<5.又

|-k+3| 2 2 =2,3k +6k-5=0, 1+k

2 6 解得 k=-1± (舍正).∴k 取值的集合为{k|1≤k<5 或 k=-1 3 2 6 - }. 3 20.(本小题 12 分)设有半径为 3 km 的圆形村落,A、B 两人同时 从村落的中心出发,A 向正东而 B 向正北前进,A 出村后不久,改变 了前进方向,沿着与村落边界相切的方向直线前进,后来恰好与 B 相 遇,设 A、B 两人的速度之比为 3∶1,问 A、B 两人会在何处相遇?

图5 解:如图 5 所示,以村落的中心为原点,以正东方向为 x 轴建立 直角坐标系. 设 A、B 两人的速度分别为 3v 和 v,A 出发后 x0h,在点 P 处改 变方向. 又经 y0h,在点 Q 处与 B 相遇,则 P(3vx0,0),Q(0,vx0+vy0). 由于 A 从 P 到 Q 行走的时间为 y0h,于是由勾股定理,得 |OP|2+|OQ|2=|PQ|2,

即(3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2, 化简得(x0+y0)(5x0-4y0)=0. 5 又∵x0+y0>0.∴5x0=4y0,即 y0= x0.① 4 又∵kPQ= 0-v?x0+y0? x0+y0 =- ,② 3x0 3vx0-0

3 将①代入②,得 kPQ=- , 4 3 ∴设直线 PQ 的方程为 y=- x+b(b>0), 4 即 3x+4y-4b=0. ∵直线 PQ 与村落边界相切, ∴ |4b| 15 2 2=3,解得 b= 4 ,即 A 和 B 相遇的地点是在离村落中 3 +4

15 心正北 km 处. 4 21.(本小题 12 分)已知圆 C:x2+y2+Dx+Ey+3=0 关于直线 x +y-1=0 对称,圆心在第二象限,半径为 2. (1)求圆 C 的方程; (2)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距 相等,求直线 l 的方程.

?- 2 - 2 -1=0, 解:(1)由题意,得? D +E -4×3 = ? 2
2 2

D E

2,

? ?D=2, 解得? 或 ?E=-4 ?

? ?D=-4, ? (舍). ?E=2 ?

∴圆 C 的方程为 x2+y2+2x-4y+3=0.

(2)圆 C:(x+1)2+(y-2)2=2, ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设切线 l:x+y=m, -1+2-m ∴圆心 C(-1, 2)到切线的距离等于半径 2, 即| |= 2, 2 ∴m=-1 或 m=3. 所求切线方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. 22. (本小题 12 分)已知坐标平面上点 M(x, y)与两个定点 M1(26,1), M2(2,1)的距离之比等于 5. (1)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (2)记(1)中的轨迹为 C, 过点 M(-2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段 的长为 8,求直线 l 的方程. 解:(1)由题意,得 |M1M| =5. |M2M|

?x-26?2+?y-1?2 =5, ?x-2?2+?y-1?2 化简,得 x2+y2-2x-2y-23=0. 即(x-1)2+(y-1)2=25. ∴点 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25, 轨迹是以(1,1)为圆心,以 5 为半径的圆. (2)当直线 l 的斜率不存在时,l:x=-2, 此时所截得的线段的长为 2 52-32=8, ∴l:x=-2 符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0, 圆心到 l 的距离 d= |3k+2| , k2+1

由题意,得( 解得 k= 5 . 12

|3k+2| 2 2 ) +4 =52, 2 k +1

∴ 直线 l 的方程为

5 23 x-y+ =0, 12 6

即 5x-12y+46=0. 综上,直线 l 的方程为 x=-2,或 5x-12y+46=0.


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