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选修4-4《坐标系与参数方程》复习学案


选修 4-4《坐标系与参数方程》复习学案
一、基础知识归纳总结:
1.伸缩变换:设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ?

点 P(x,y)对应到点 P ?( x ?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下

, ?y? ? ? ? y, (? ? 0).

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一 个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点O与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的∠XOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记 为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称, 即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极 坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 5.极坐标与直角坐标的互化:

6。圆的极坐标方程:在极坐标系中,以极点为圆心,r 为半径的圆的极坐标方程是 在极坐标系中,以 C(a ,0) (a>0)为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 在极坐标系中,以 C(a ,

; ; ;

?
2

) (a>0)为圆心,a 为半径的圆的极坐标方程是

? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直线. 7.在极坐标系中,
在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数

?x ? f ( t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么这个 ? ?y ? g( t ),
方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。相对于参数方程 而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9.圆 (x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的参数方程可表示为
2 2 2

. .

椭圆

x y ? 2 ? 1 (a>b>0)的参数方程可表示为 2 a b

2

2

经过点 M O (x o , y o ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为



10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x,y 的取值范围保持一致.

三、基础训练:

?x ? ? 2x, 2 2 1.在平面直角坐标系中, 方程 x ? y ? 1 所对应的图形经过伸缩变换 ? 后的图形所对应的方程 ?y? ? 3y
是_________________.
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2. 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ? 的方程是_________________.

?x ? ? 3x, 后,曲线 C 变为曲线 x ? 2 ? 9y? 2 ? 9 ,则曲线 C ? y ? y ?

x 2 y2 3. 直角坐标方程 ? ? 1 化为极坐标方程是_________________________. 16 16

? ? 4sin? 化为直角坐标方程是_______________________. 4. 极坐标方程 ? ? 2cos
5. 在极坐标系中,极点到直线 ?sin (? ?

?
4

)?

2 的距离是____________. 2

6.极坐标系内,曲线 ? ? 2cos? 上的动点 P 与定点 Q(1,

?
2

) 的最近距离等于____________.

7.参数方程 ?

?x ? cos? , (?为参数) 化为普通方程是_________________________. ?y ? 1 ? cos2? .

8.椭圆 ?

?x ? 5cos? , (?为参数) 的焦点坐标是_________________________. ?y ? 3sin? .

9. 已知 4x2 ? 9y2 ? 36 ,则 2x ? 3y 的最小值是_________________.

10.点 M(x,y)在椭圆

x 2 y2 ? ? 1 上,则点 M 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的最大距离为________, 12 4

此时,点 M 的坐标是_____________.

11.在直角坐标系 xoy 中,过点 P(1, ?2) 的直线 l 的斜率为 1,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 2cos? ,直线 l 和曲线 C 的交点为 A, B . (1)求直线 l 的参数方程; (2)求 | PA || PB |

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12.已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos? , (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? sin ?
4? ). 3

极坐标系, A, B 的极坐标分别为 A( 2, ? ), B ( 2, (Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程;

(Ⅱ)设 M 为曲线 C 上的点,求点 M 到直线 AB 距离的最大值.

? 2 t ?x ? m ? ? 2 13.已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 2 ? y? t ? ? 2

极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos
2

2

? ? 3? 2 sin 2 ? ? 12 ,且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上.

(1)若直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,求 | FA | ? | FB | 的值; (2)求曲线 C 的内接矩形周长的最大值.

第3页

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?x=3+tcos α , 14.设直线 l 的参数方程为? (t 为参数,α 为倾斜角),圆 C 的参数方程为 ?y=4+tsin α ?x=1+2cos θ , ? (θ 为参数). ?y=-1+2sin θ (1)若直线 l 经过圆 C 的圆心,求直线 l 的斜率. (2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点,求直线 l 的斜率的取值范围. .

15.已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1、F2 为其左,右焦点,直线 l 的 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 参数方程为 ? (t 为参数,t∈R). ?y ? 2 t ? 2 ?

(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.

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