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第二章 圆锥曲线与方程单元检测(人教A选修2-1)


第二章

圆锥曲线与方程单元检测(人教 A 选修 2-1)
x2 y 2 3a 上一点, ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x ? 2 a b 2
). C.

(时间: 45 分钟,满分:100 分) 一、选择题(每小题 6 分,共 48 分) 1.设 F1,F2 是椭圆 E:

△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A.

1 2

B.

2 3

3 4

D.

4 5
).

2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( A.y2=-8x B.y2=8x 2 C.y =-4x D.y2=4x 3.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 =1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点 4 b
).

到其渐近线的距离等于( A. 5 C.3 B. 4 2 D.5

4. 设 F1, F2 是双曲线 x ?
2

y2 P 是双曲线上的一点, 且 3|PF1|=4|PF2|, ? 1 的两个焦点, 24

则△PF1F2 的面积等于(

).

A. 4 2 B. 8 3 C.24 D.48 2 5.过抛物线 y =4x 的顶点 O 作互相垂直的两弦 OM,ON,则 M 的横坐标 x1 与 N 的横 坐标 x2 之积为( ). A.64 B.32 C.16 D.4 6.以椭圆

x2 y 2 ? =1 内的点 M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为( 16 4
B.x-4y+3=0 D.x+4y-5=0

).

A.4x-y-3=0 C.4x+y-5=0 7.已知双曲线
2 2

x2 y 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相 2 a b
).

切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为(

x y ? =1 5 4 2 x y2 ? =1 C. 3 6
A. 8.若 F1,F2 是椭圆

x y ? =1 4 5 2 x y2 ? =1 D. 6 3
B.

2

2

???? ???? ? x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则| PF1 ? PF2 |的最 4

大值是( ). A.4 B.5 C.2 D.1 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 9.△ABC 的两个顶点 A,B 的坐标分别是(-6,0),(6,0),边 AC,BC 所在直线的斜率 之积等于 ?

4 ,则顶点 C 的轨迹方程是____________________. 9

10. 抛物线 y2=4x 的弦 AB⊥x 轴, 若|AB|= 4 3 , 则焦点 F 到直线 AB 的距离为______. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 为

2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 2

__________. 三、解答题(共 3 小题,共 34 分) 12.(10 分)已知直线 y=x-4 被抛物线 y2=2mx(m≠0)截得的弦长为 6 2 ,求抛物线的 标准方程.

x2 y 2 13.(10 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点 F 及点 A(0,b),原点 O 到直 a b 2 线 FA 的距离为 b. 2
(1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O:x2+y2=4 上,求椭圆 C 的方程及 点 P 的坐标.

x2 y 2 14.(14 分)设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且 a b
异于 A,B 两点,O 为坐标原点.

1 ,求椭圆的离心率; 2 (2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k |? 3 .
(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

参考答案
3a 与 x 轴交于点 M,则∠PF2M=60° ,在 Rt△PF2M 中, 2 3 a?c F2 M 2 1 3a PF2=F1F2=2c,F2M= = ? ? , ? c ,故 cos 60° PF2 2c 2 2 3 c 3 解得 ? ,故离心率 e ? . 4 a 4
1 答案:C 解析:设直线 x ? 2 答案:B 解析:∵抛物线的准线方程为 x=-2, ∴抛物线的开口向右. 设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0), 则其准线方程为 x ? ? ∴?

p , 2

∴抛物线的标准方程为 y2=8x. 3 答案:A 解析:由双曲线的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,知 c ? =9=4+b2,于是 b2=5, b ? 5 .

p ? ?2 ,解得 p=4. 2

p ? 3 ,c2 2

5 x ,即 5 x ? 2 y ? 0 . 2 |3 5 | ? 5. 故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 d ? 5?4
因此该双曲线的渐近线的方程为 y ? ? 4 答案:C 解析:由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|=4|PF2|可知,|PF1|-|PF2|=2,解 得|PF1|=8,|PF2|=6,又|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2 为直角三角形,所以△PF1F2 的面积 S=

1 ×6×8=24,故选 C. 2
5 答案:C 解析:由已知设 OM 的斜率为 k,则 ON 的斜率为 从而 OM 的方程为 y=kx,联立方程 ?

?1 . k
4 .同理可得 N k2

? y 2 ? 4 x, ? y ? kx,

解得 M 的横坐标 x1 ?

的横坐标 x2=4k ,可得 x1x2=16.

2

? x12 y12 ? ? 1, ? ? 16 4 6 答案:D 解析:设弦的两端点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2),则有 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1. ? 4 ? 16 ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) 两式相减得 , ?? 16 4 y ? y1 4( x2 ? x1 ) ?? 即 2 . x2 ? x1 16( y2 ? y1 )
而 AB 的中点为 M(1,1), 所以 x1+x2=2,y1+y2=2, 又 kAB=

y2 ? y1 4? 2 1 ,所以 kAB= ? ?? , x2 ? x1 16 ? 2 4

于是弦 AB 所在直线的方程为 y-1=- 7 答案: A 解析: 由题意得

1 (x-1),即 x+4y-5=0. 4

x2 y 2 b b>0)的两条渐近线的方程为 y ? ? x , ? 2 =1 (a>0, 2 a b a

即 bx±ay=0. 又圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4,半径为 2,圆心坐标为(3,0),

=2 ,解得 a2=5,b2=4. a 2 ? b2 x2 y 2 ∴该双曲线的方程为 ? =1 . 5 4 8 答案:C 解析:依题意 a2=4,b2=1, c ? 3 ,
∴a2+b2=32=9,且 则 F1( ? 3 ,0),F2( 3 ,0). 设 P(x,y),

| 3b |

则 PF1 =( ? 3 ? x ,-y), PF2 =( 3 ? x ,-y).

????

???? ?

???? ???? ? 1 3 PF1 ? PF2 =x2-3+y2=x2-3+1- x2= x 2 ? 2 , 4 4
因为点 P 在椭圆上, 所以-2≤x≤2,故-2≤ 故 PF1 ? PF2 =

???? ???? ? ???? ???? ?

3 2 x -2≤1, 4

3 2 x ? 2 ∈[0,2], 4

即 PF1 ? PF2 的最大值是 2. 9 答案:

整理得 4x2+9y2=144(x≠±6,y≠0).

x2 y 2 y y 4 ? =1 (x≠±6, y≠0) 解析: 设 C(x, y), 则 kAC· kBC= ? ?? , 36 16 x?6 x?6 9

10 答案:2 解析:由抛物线的方程可知 F(1,0),由|AB|= 4 3 且 AB⊥x 轴,得

y A ? (2 3) 2 ? 12 ,
2

∴ xA ?

y A2 ? 3 ,∴点 F 到直线 x=3 的距离为 2. 4 x2 y 2 ? =1 解析:由椭圆的第一定义可知△ABF2 的周长为 4a=16,得 a 11 答案: 16 8

=4,

2 c 2 ,即 ? , 2 a 2 所以 c ? 2 2 ,故 a2=16,b2=a2-c2=16-8=8, x2 y 2 ? =1 . 则椭圆 C 的方程为 16 8
又离心率为 12 答案:解:设直线与抛物线的交点为(x1,y1), (x2,y2).

? y 2 ? 2mx, 由? 得 x2-2(4+m)x+16=0, y ? x ? 4, ?
所以 x1+x2=2(4+m),x1x2=16,

所以弦长= (1 ? k )( x1 ? x2 )
2

2

2 2 = 2[4(4 ? m) ? 4 ?16] ? 2 2( m ? 8m) . 2 由 2 2( m ? 8m) =6 2 ,解得 m=1 或 m=-9.

经检验,m=1 或 m=-9 均符合题意. 所以所求抛物线的标准方程为 y2=2x 或 y2=-18x. 13 答案:解:由点 F(-ae,0),点 A(0,b),及 b ? 1 ? e a 得直线 FA 的方程为
2

x y ? =1 , ?ae 1 ? e2 a
即 1 ? e x ? ey ? ae 1 ? e ? 0 .
2 2

2 b ? ae 1 ? e 2 , 2 2 2 1 ? e2 ? a ? ae 1 ? e2 .解得 e ? ∴ . 2 2 ? ? 2 a , 0 答案:解:设椭圆 C 的左焦点 F ? ? ? ? 2 ? 关于直线 l:2x+y=0 的对称点为 P(x0, ? ?
∵原点 O 到直线 FA 的距离为 y0),

y0 1 ? ? , ? 2 ? x0 ? 2 a ? 2 则有 ? 2 ? ? x0 ? 2 a y0 ? ? 0, ?2 ? ? 2 2 3 2 2 2 a. a , y0 ? 解得 x0 ? 5 10

?3 2 ? ?2 2 ? ∵P 在圆 x +y =4 上,∴ ? . ? 10 a ? ? +? ? 5 a? ? =4 ? ? ? ?
2 2

2

2

∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ?6 8? ? =1 ,点 P 的坐标为 ? , ? . 8 4 ?5 5?
? ? ? ? 2 a, 0 ? ? 关于直线 l:2x+y=0 的对称点为 P(x0, 2 ?

14 答案:解:设椭圆 C 的左焦点 F ? ? y0),

y0 1 ? ? , ? 2 ? x0 ? 2 a ? 2 则有 ? 2 ? x ? a 0 ? y 2 ? 0 ? 0, ?2 ? ? 2 2

解得 x0 ?

3 2 2 2 a. a , y0 ? 5 10
2 2
2 2

?3 2 ? ?2 2 ? ∵P 在圆 x +y =4 上,∴ ? . ? 10 a ? ? +? ? 5 a? ? =4 ? ? ? ?
∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ?6 8? ? =1 ,点 P 的坐标为 ? , ? . 8 4 ?5 5?

设点 P 的坐标为(x0,y0). 由题意,有

x0 2 y0 2 ? =1 .① a 2 b2
y0 y0 , k BP ? . x0 ? a x0 ? a

由 A(-a,0),B(a,0),得 k AP ? 由 kAP· kBP= ?

1 ,可得 x02=a2-2y02,代入①并整理得(a2-2b2)y02=0. 2 a 2 ? b2 1 2 由于 y0≠0,故 a2=2b2.于是 e ? ? , a2 2 2 所以椭圆的离心率 e ? . 2
答案:解:证明:(方法一)

? y0 ? kx0 , ? 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为(x0,y0).由条件得 ? x 2 y 2 0 0 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a 2 2 ab 2 消去 y0 并整理得 x0 ? 2 2 .② k a ? b2
由|AP|=|OA|,A(-a,0)及 y0=kx0, 得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得 (1+k2)x02+2ax0=0.而 x0≠0, 于是 x0 ?

?2a ,代入②,整理得 1? k 2 2 2?a? 2 2 (1+k ) = 4k ? ? ? 4 . ?b?
由 a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4, 即 k2+1>4,因此 k2>3.所以 |k | > 3 . (方法二) 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,可设点 P 的坐标为(x0,kx0),由点 P 在椭圆上,有

x0 2 k 2 x0 2 ? 2 =1 . a2 b
因为 a>b>0,kx0≠0, 所以

x0 2 k 2 x0 2 ? 2 <1 ,即(1+k2)x02<a2.③ a2 a

由|AP|=|OA|,A(-a,0), 得(x0+a)2+k2x02=a2,

整理得(1+k2)x02+2ax0=0,于是 x0= 代入③,得(1+k2) 所以 |k |?

?2a . 1? k 2

4a 2 <a2,解得 k2>3, 2 2 (1 ? k )

3.



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