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定积分与微积分基本定理


高二数学迎期中专题复习

定积分与微积分基本定理

1.定积分 (1)定积分的相关概念: b 在∫af(x)dx 中,∫叫作积分号,a 叫作积分的下限,b 叫作积分的上限,f(x)叫作被积 函数. (2)定积分的性质: b ①∫a1dx=b-a;

? ②? ?akf(x)dx=k?af(x)dx(k 为常数); ? ?

③? ? [f(x)±g(x)]dx=? f(x)dx±? g(x)dx;
a a a b b b

b

b

? ? ④? ?af(x)dx=?af(x)dx+?cf(x)dx.
(3)定积分的几何意义:
b ①当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫af(x)dx 的几何意义是由直线 x=a,x =b,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).

b

c

b

b ②一般情况下,定积分∫af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x=a、x= b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示),其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积 分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. 2.微积分基本定理 b 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数,即 f(x)=F′(x),则有∫a f(x)dx=F(b)-

F(a).这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式.通常称 F(x)是 f(x)的一个原函数. b b 为了方便,常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|a,即∫af(x)dx= F(x)|b a=F(b)-F(a).

1.

?

b

a

f ( x)dx 与 ? f (t )dt 相等吗?
a

b

提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都 相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可, 并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.

-1-

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3.定积分

? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

(f(x)>g(x))的几何意义是什么?

提示:由直线 x=a,x=b 和曲线 y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.

1.(2013?江西高考)若 S1= 关系为( )

?

2

1

x 2 dx ,S2= ?

2

1

2 1 dx ,S3= ? e x dx ,则 S1,S2,S3 的大小 1 x

A.S1<S2<S3

B.S2<S1<S3

C.S2<S3<S1

D.S3<S2<S1 )

2.已知质点的速度 v=10t,则从 t=0 到 t=t0 质点所经过的路程是( A.10t0
2

B.5t0
2

2

10 2 C. t0 3 ,则

5 2 D. t0 3

? ?x 3.设 f(x)=? x ?2 ?

x x
B.

?

1

?1

f ( x)dx 的值是(

)

A.

?

1

?1

x2 dx

?

1

?1

2x dx

C.

?
2

0

?1

x2 dx + ? 2 x dx
0

1

D.

?

0

?1

2 x dx+ ? x 2 dx
0

1

4.直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x 所围成的曲边梯形的面积为________. 5.(2013?湖南高考)若

?

T

0

x 2 dx =9,则常数 T 的值为________.

考点一 [例 1] 求下列定积分: (1) (3)

定积分的计算

? (? x
0

1

2

? 2 x)dx ;

(2) (4)

?
?

?

0
2

(sin x ? cos x)dx ;
x ? 1 dx .

?

2

1

1 (e 2 x ? ) dx ; x

0

【互动探究】 若将本例(1)中的“-x +2x”改为“ -x +2x”,如何求解?
2 2

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【方法规律】 定积分的求法 (1)用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数.此外,如果被积函数 是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分解,代 入相应的解析式,分别求出积分值相加. (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. (3)若 y=f(x)为奇函数,则

?

a

?a

f ( x)dx =0.

1.

?

?

2 0

1 ? sin 2 xdx =________.
?
2 0

2.若 3.

? ? sin x ? a cos x ? dx =2,则实数 a=________.
9 ? x 2 dx =________.
考点二 定积分物理意义的应用

?

3

0

[例 2] (1)(2013?湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车, 25 以速度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行 1+t 驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln 5 ) 11 B.8+25ln 3 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2

? ?10 (2)一物体在力 F(x)=? ?3x+4 ?

x x

(单位:N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向

运动了 4 米,力 F(x)做功为( A.44 J 【方法规律】 B.46 J

) C.48 J D.50 J

利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速直线运动 的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积 分基本定理计算即得所求.

1 一物体做变速直线运动,其 v ?t 曲线如图所示,则该物体在 s~6 s 间的运动路程为 2 ________.

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高频考点

考点三

利用定积分求平面图形的面积

1 .利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容,多以选择题、填空题的形式考 查,难度偏小,属中低档题. 2.高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度: (1)知图形求曲线围成图形的面积; (2)知函数解析式求曲线围成图形的面积; (3)知曲线围成图形的面积求参数的值. [例 3] (1)(2012?湖北高考)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围 )

图形的面积为(

A.

2π 5

4 B. 3

3 C. 2

π D. 2

(2)(2011?新课标全国卷)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 A. 10 3 B.4 C. 16 3 D.6

(3)(2012?山东高考)设 a>0.若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为

a2,则 a=________.

利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 (1)知图形求面积.首先,依据函数的图象求出解析式;其次,确立被积函数;最后, 利用定积分求面积. (2)知函数解析式求面积.解决此类问题应分四步:①画图;②确定积分上、下限,即 求出曲线的交点坐标;③确定被积函数;④由定积分求出面积. (3)知图形的面积求参数.求解此类题的突破口:画图,一般是先画出它的草图;确定 积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再由已知条件可找到关于参数的方
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程,从而可求出参数的值.

1.曲线 y=x 和曲线 y =x 围成的图形的面积是( A. 1 3 2 B. 3
2

2

2

)

C.1

4 D. 3

2.由抛物线 y=x -1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图形面积为________.

————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 个定理——微积分基本定理 利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分互 为逆运算. 条结论——定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分 的值为负;当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值 为零.(2)加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是路程. 条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外;(2)和差的积分等于积分的和差; (3) 积 分 可 分 段 进 行 ; (4)f(x) 在 区 间 [ - a , a] 上 连 续 , 若 f(x) 为 偶 函 数 , 则
a ?a

?

a

?a

f ( x)dx =2

?

a

0

f ( x)dx ;若 f(x)为奇函数,则 ? f ( x)dx =0.

易误警示(四) 利用定积分求平面图形面积的易错点 [ 典例 ] 1 ?2 (2012?上海高考 ) 已知函数 y = f(x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A(0,0) ,

? ? B? ,5?,C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为________. ?
[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误.

2.本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力 不够致错.
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3.解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两个问题: (1)熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形; (2)准确确定被积函数和积分变量.

曲线 y=x +2 与直线 5x-y-4=0 所围成的图形的面积等于________.

2

[解题指导] 根据已知条件,求出 f(x)的解析式,然后利用定积分求解.

[全盘巩固] 1.已知 f(x)是偶函数,且 A.0 B.4

?

6

0

f ( x)dx =8,则 ? f ( x)dx =(
?6

6

)

C.6

D.16 )

π π 2.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 A. 1 2 B.1 C. 3 2 D. 3 ) 9 D. 2
2

3.已知 f(x)=2-|x|,则 A.3 B.4

?

2

?1

f ( x)dx =(

7 C. 2

4.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度 v=40-10t ,则此物体达到最 高时的高度为( A. 160 m 3 ) 80 B. m 3 40 C. m 3
2 3

20 D. m 3 )
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5.(2014?德州模拟)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形的面积为(

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A.

1 12

1 B. 4

1 C. 3

D.

7 12

6.如图,由曲线 y=x 和直线 y=t (0<t<1),x=1,x=0 所围成的图形(阴影部分)的面 积的最小值是( A. 1 4 ) 1 B. 2 C.1 D.2

2

2

7.(2014?西安模拟)若
2

?

a

1

1 (2 x ? )dx =3+ln 2,则 a 的值是________. x
(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) , 则

x ,x∈[0,1], ? ? 8 . 设 f(x) = ?1 ,x∈ ,e] ? ?x
________. 9.曲线 y= e
1 x 2

?

e

0

f ( x)dx 的 值 为

在点(4,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________.
2 2

2

10.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,直线 l1:x=2,直线 l2:y=-t +8t(其中 0≤t≤2,

t 为常数),若直线 l1,l2 与函数 f(x)的图象以及 l1、l2、y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封
闭图形(阴影部分)如图所示.

(1)求 a,b,c 的值; (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式.

11.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.

2

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1 12.求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3

[冲击名校] 1.一物体在变力 F(x)=5-x (x 的单位:m,F 的单位:N)的作用下,沿着与 F(x)成 30° 角的方向做直线运动,则从 x=1 处运动到 x=2 处时变力 F(x)所做的功为( A. 2 3 J 3 B. 3 J 4 3 C. 3 J
2 2

)

D.2 3 J
2

2.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x 向点 A(2,4)移动,直线 OP 与曲线 y=x 围成图形的 面积为 S1,直线 OP 与曲线 y=x 及直线 x=2 围成图形的面积为 S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标 为________.
2

[高频滚动] 已知函数 f(x)=ax -bln x 在点(1,f(1))处的切线方程为 y=3x-1. (1)若 f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,求实数 k 的取值范 1 3 c +1 2 1 围;(2)若对任意 x∈(0,+∞),均存在 t∈[1,3],使得 t - t +ct+ln 2+ ≤f(x), 3 2 6 试求实数 c 的取值范围.
2

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积分与微积分基本定理答案
1. 解析:选 B
2

S1 =

2 2 1 32 8 1 7 x = - = , S2 = ln x = ln 2<ln e = 1 , S3 = e x = e2 - 1 1 3 1 3 3 3

e≈2.7 -2.7=4.59,所以 S2<S1<S3. 2. 解析:选 B
1

S=

?

t0

0

10tdt = 5t 2

t0 0

= 5t 0 .3. 解析:选 D

2

?

1

?1

f ( x)dx = ? 2 x dx +
?1

0

?

2 T 8 1 2 8 1 T 1 x 2 dx.4.解析: ? x 2 dx = x3 = .答案: 5.解析: ? x 2 dx = x3 = T3 =9,解 3 0 0 0 3 0 3 3 0 3

得 T=3.答案:3 例 1.[自主解答] 1 2 +1= .(2) 3 3 (3)
?

(1)

? (? x
0

1

2

1 1 1 1 1 ? 2 x)dx = ? (? x 2 )dx + ? 2 xdx = ? x3 + x 2 =- 0 0 0 3 0

?

0

(sin x ? cos x)dx = ? sin xdx - ? cos xdx = (? cos x)
0 0

?

?

?
0

- sin x

?
0

=2.

?

2

1

21 2 2 2 1 1 1 1 (e 2 x ? ) dx = ? e2 x dx + ? dx = e 2 x + ln x = e4- e2+ln 2-ln 1 1 x 2 1 x 1 1 2 2

?1-x ? 1 4 1 2 = e - e +ln 2.(4)|x-1|=? 2 2 ? ?x-

x x

, ,



? (1 ? x)dx = ? (1 ? x)dx +
0 0

1

1

?

2

1

? ?2 1 1 x2 ? 1 ? x2 ( x ? 1)dx = ? x ? ? + ? ? x ? = + =1. 2 2 2 ?0 ? 2 ? ?1
【互动探究】 解:
1

?

0

? x 2 ? 2 xdx 表示 y= -x2+2x与 x=0,x=1 及 y=0 所围成的图形的面积.
2 2 2

由 y= -x +2x,得(x-1) + y =1(y≥0),故 1 的面积的 ,即 4 解析:

?

1

0

? x 2 ? 2 xdx 表示圆(x-1)2+ y2=1

?

1

0

? x 2 ? 2 xdx = π .
?
?

1 4

?

?

2 0

1 ? sin 2 xdx = ? 2 sin x ? cos x dx = ? 4 ? cos x ? sin x ? dx +
0 0

?? ?sin x ? cos x ? dx = ? sin x ? cos x ? 4 + ? ? cos x ? sin x ? ?
2 4

?

?

?
2 4

0

= 2-1+(-1+ 2)=2 2-2.答案:2 2-2

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2.解析:∵(asin x-cos x)′=sin x+acos x,∴

?3 2 ?4 6 (3 x ? 4)d x x ? 4 x ? ? 2 ?1 v(t )dt ?2 ?2 ? 2
4

π ? = ( a sin x ? cos x) 2 =?asin - 2

?

0

?

π cos ? ?-(asin 0-cos 0)=a+1=2,∴a=1. 2?

3.解析:由定积分的几何意义知, 0 围成的封闭图形的面积,故

?

3

0

9 ? x 2 dx 是由曲线 y= 9-x2,直线 x=0,x=3,y=
π ?3 9π 9π = .答案: 4 4 4 8 15 ? ? =0,可得 t=4?t=- 舍去?,因此汽车 3 1+t ? ?
4 4 2

?

3

0