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定积分与微积分基本定理


高二数学迎期中专题复习

定积分与微积分基本定理

1.定积分 (1)定积分的相关概念: b 在∫af(x)dx 中,∫叫作积分号,a 叫作积分的下限,b 叫作积分的上限,f(x)叫作被积 函数. (2)定积分的性质: b ①∫a1dx=b-a;

? ②? ?akf(x)dx=k?af(x)dx(k 为常数); ? ?

③? ? [f(x)±g(x)]dx=? f(x)dx±? g(x)dx;
a a a b b b

b

b

? ? ④? ?af(x)dx=?af(x)dx+?cf(x)dx.
(3)定积分的几何意义:
b ①当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫af(x)dx 的几何意义是由直线 x=a,x =b,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).

b

c

b

b ②一般情况下,定积分∫af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x=a、x= b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示),其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积 分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. 2.微积分基本定理 b 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数,即 f(x)=F′(x),则有∫a f(x)dx=F(b)-

F(a).这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式.通常称 F(x)是 f(x)的一个原函数. b b 为了方便,常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|a,即∫af(x)dx= F(x)|b a=F(b)-F(a).

1.

?

b

a

f ( x)dx 与 ? f (t )dt 相等吗?
a

b

提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都 相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可, 并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.

-1-

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3.定积分

? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

(f(x)>g(x))的几何意义是什么?

提示:由直线 x=a,x=b 和曲线 y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.

1.(2013?江西高考)若 S1= 关系为( )

?

2

1

x 2 dx ,S2= ?

2

1

2 1 dx ,S3= ? e x dx ,则 S1,S2,S3 的大小 1 x

A.S1<S2<S3

B.S2<S1<S3

C.S2<S3<S1

D.S3<S2<S1 )

2.已知质点的速度 v=10t,则从 t=0 到 t=t0 质点所经过的路程是( A.10t0
2

B.5t0
2

2

10 2 C. t0 3 ,则

5 2 D. t0 3

? ?x 3.设 f(x)=? x ?2 ?

x x
B.

?

1

?1

f ( x)dx 的值是(

)

A.

?

1

?1

x2 dx

?

1

?1

2x dx

C.

?
2

0

?1

x2 dx + ? 2 x dx
0

1

D.

?

0

?1

2 x dx+ ? x 2 dx
0

1

4.直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x 所围成的曲边梯形的面积为________. 5.(2013?湖南高考)若

?

T

0

x 2 dx =9,则常数 T 的值为________.

考点一 [例 1] 求下列定积分: (1) (3)

定积分的计算

? (? x
0

1

2

? 2 x)dx ;

(2) (4)

?
?

?

0
2

(sin x ? cos x)dx ;
x ? 1 dx .

?

2

1

1 (e 2 x ? ) dx ; x

0

【互动探究】 若将本例(1)中的“-x +2x”改为“ -x +2x”,如何求解?
2 2

-2-

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【方法规律】 定积分的求法 (1)用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数.此外,如果被积函数 是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分解,代 入相应的解析式,分别求出积分值相加. (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. (3)若 y=f(x)为奇函数,则

?

a

?a

f ( x)dx =0.

1.

?

?

2 0

1 ? sin 2 xdx =________.
?
2 0

2.若 3.

? ? sin x ? a cos x ? dx =2,则实数 a=________.
9 ? x 2 dx =________.
考点二 定积分物理意义的应用

?

3

0

[例 2] (1)(2013?湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车, 25 以速度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行 1+t 驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln 5 ) 11 B.8+25ln 3 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2

? ?10 (2)一物体在力 F(x)=? ?3x+4 ?

x x

(单位:N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向

运动了 4 米,力 F(x)做功为( A.44 J 【方法规律】 B.46 J

) C.48 J D.50 J

利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速直线运动 的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积 分基本定理计算即得所求.

1 一物体做变速直线运动,其 v ?t 曲线如图所示,则该物体在 s~6 s 间的运动路程为 2 ________.

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高频考点

考点三

利用定积分求平面图形的面积

1 .利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容,多以选择题、填空题的形式考 查,难度偏小,属中低档题. 2.高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度: (1)知图形求曲线围成图形的面积; (2)知函数解析式求曲线围成图形的面积; (3)知曲线围成图形的面积求参数的值. [例 3] (1)(2012?湖北高考)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围 )

图形的面积为(

A.

2π 5

4 B. 3

3 C. 2

π D. 2

(2)(2011?新课标全国卷)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 A. 10 3 B.4 C. 16 3 D.6

(3)(2012?山东高考)设 a>0.若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为

a2,则 a=________.

利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 (1)知图形求面积.首先,依据函数的图象求出解析式;其次,确立被积函数;最后, 利用定积分求面积. (2)知函数解析式求面积.解决此类问题应分四步:①画图;②确定积分上、下限,即 求出曲线的交点坐标;③确定被积函数;④由定积分求出面积. (3)知图形的面积求参数.求解此类题的突破口:画图,一般是先画出它的草图;确定 积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再由已知条件可找到关于参数的方
-4-

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程,从而可求出参数的值.

1.曲线 y=x 和曲线 y =x 围成的图形的面积是( A. 1 3 2 B. 3
2

2

2

)

C.1

4 D. 3

2.由抛物线 y=x -1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图形面积为________.

————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 个定理——微积分基本定理 利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分互 为逆运算. 条结论——定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分 的值为负;当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值 为零.(2)加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是路程. 条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外;(2)和差的积分等于积分的和差; (3) 积 分 可 分 段 进 行 ; (4)f(x) 在 区 间 [ - a , a] 上 连 续 , 若 f(x) 为 偶 函 数 , 则
a ?a

?

a

?a

f ( x)dx =2

?

a

0

f ( x)dx ;若 f(x)为奇函数,则 ? f ( x)dx =0.

易误警示(四) 利用定积分求平面图形面积的易错点 [ 典例 ] 1 ?2 (2012?上海高考 ) 已知函数 y = f(x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A(0,0) ,

? ? B? ,5?,C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为________. ?
[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误.

2.本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力 不够致错.
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3.解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两个问题: (1)熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形; (2)准确确定被积函数和积分变量.

曲线 y=x +2 与直线 5x-y-4=0 所围成的图形的面积等于________.

2

[解题指导] 根据已知条件,求出 f(x)的解析式,然后利用定积分求解.

[全盘巩固] 1.已知 f(x)是偶函数,且 A.0 B.4

?

6

0

f ( x)dx =8,则 ? f ( x)dx =(
?6

6

)

C.6

D.16 )

π π 2.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 A. 1 2 B.1 C. 3 2 D. 3 ) 9 D. 2
2

3.已知 f(x)=2-|x|,则 A.3 B.4

?

2

?1

f ( x)dx =(

7 C. 2

4.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度 v=40-10t ,则此物体达到最 高时的高度为( A. 160 m 3 ) 80 B. m 3 40 C. m 3
2 3

20 D. m 3 )
-6-

5.(2014?德州模拟)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形的面积为(

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A.

1 12

1 B. 4

1 C. 3

D.

7 12

6.如图,由曲线 y=x 和直线 y=t (0<t<1),x=1,x=0 所围成的图形(阴影部分)的面 积的最小值是( A. 1 4 ) 1 B. 2 C.1 D.2

2

2

7.(2014?西安模拟)若
2

?

a

1

1 (2 x ? )dx =3+ln 2,则 a 的值是________. x
(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) , 则

x ,x∈[0,1], ? ? 8 . 设 f(x) = ?1 ,x∈ ,e] ? ?x
________. 9.曲线 y= e
1 x 2

?

e

0

f ( x)dx 的 值 为

在点(4,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________.
2 2

2

10.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,直线 l1:x=2,直线 l2:y=-t +8t(其中 0≤t≤2,

t 为常数),若直线 l1,l2 与函数 f(x)的图象以及 l1、l2、y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封
闭图形(阴影部分)如图所示.

(1)求 a,b,c 的值; (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式.

11.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.

2

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1 12.求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3

[冲击名校] 1.一物体在变力 F(x)=5-x (x 的单位:m,F 的单位:N)的作用下,沿着与 F(x)成 30° 角的方向做直线运动,则从 x=1 处运动到 x=2 处时变力 F(x)所做的功为( A. 2 3 J 3 B. 3 J 4 3 C. 3 J
2 2

)

D.2 3 J
2

2.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x 向点 A(2,4)移动,直线 OP 与曲线 y=x 围成图形的 面积为 S1,直线 OP 与曲线 y=x 及直线 x=2 围成图形的面积为 S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标 为________.
2

[高频滚动] 已知函数 f(x)=ax -bln x 在点(1,f(1))处的切线方程为 y=3x-1. (1)若 f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,求实数 k 的取值范 1 3 c +1 2 1 围;(2)若对任意 x∈(0,+∞),均存在 t∈[1,3],使得 t - t +ct+ln 2+ ≤f(x), 3 2 6 试求实数 c 的取值范围.
2

-8-

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积分与微积分基本定理答案
1. 解析:选 B
2

S1 =

2 2 1 32 8 1 7 x = - = , S2 = ln x = ln 2<ln e = 1 , S3 = e x = e2 - 1 1 3 1 3 3 3

e≈2.7 -2.7=4.59,所以 S2<S1<S3. 2. 解析:选 B
1

S=

?

t0

0

10tdt = 5t 2

t0 0

= 5t 0 .3. 解析:选 D

2

?

1

?1

f ( x)dx = ? 2 x dx +
?1

0

?

2 T 8 1 2 8 1 T 1 x 2 dx.4.解析: ? x 2 dx = x3 = .答案: 5.解析: ? x 2 dx = x3 = T3 =9,解 3 0 0 0 3 0 3 3 0 3

得 T=3.答案:3 例 1.[自主解答] 1 2 +1= .(2) 3 3 (3)
?

(1)

? (? x
0

1

2

1 1 1 1 1 ? 2 x)dx = ? (? x 2 )dx + ? 2 xdx = ? x3 + x 2 =- 0 0 0 3 0

?

0

(sin x ? cos x)dx = ? sin xdx - ? cos xdx = (? cos x)
0 0

?

?

?
0

- sin x

?
0

=2.

?

2

1

21 2 2 2 1 1 1 1 (e 2 x ? ) dx = ? e2 x dx + ? dx = e 2 x + ln x = e4- e2+ln 2-ln 1 1 x 2 1 x 1 1 2 2

?1-x ? 1 4 1 2 = e - e +ln 2.(4)|x-1|=? 2 2 ? ?x-

x x

, ,



? (1 ? x)dx = ? (1 ? x)dx +
0 0

1

1

?

2

1

? ?2 1 1 x2 ? 1 ? x2 ( x ? 1)dx = ? x ? ? + ? ? x ? = + =1. 2 2 2 ?0 ? 2 ? ?1
【互动探究】 解:
1

?

0

? x 2 ? 2 xdx 表示 y= -x2+2x与 x=0,x=1 及 y=0 所围成的图形的面积.
2 2 2

由 y= -x +2x,得(x-1) + y =1(y≥0),故 1 的面积的 ,即 4 解析:

?

1

0

? x 2 ? 2 xdx 表示圆(x-1)2+ y2=1

?

1

0

? x 2 ? 2 xdx = π .
?
?

1 4

?

?

2 0

1 ? sin 2 xdx = ? 2 sin x ? cos x dx = ? 4 ? cos x ? sin x ? dx +
0 0

?? ?sin x ? cos x ? dx = ? sin x ? cos x ? 4 + ? ? cos x ? sin x ? ?
2 4

?

?

?
2 4

0

= 2-1+(-1+ 2)=2 2-2.答案:2 2-2

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2.解析:∵(asin x-cos x)′=sin x+acos x,∴

?3 2 ?4 6 (3 x ? 4)d x x ? 4 x ? ? 2 ?1 v(t )dt ?2 ?2 ? 2
4

π ? = ( a sin x ? cos x) 2 =?asin - 2

?

0

?

π cos ? ?-(asin 0-cos 0)=a+1=2,∴a=1. 2?

3.解析:由定积分的几何意义知, 0 围成的封闭图形的面积,故

?

3

0

9 ? x 2 dx 是由曲线 y= 9-x2,直线 x=0,x=3,y=
π ?3 9π 9π = .答案: 4 4 4 8 15 ? ? =0,可得 t=4?t=- 舍去?,因此汽车 3 1+t ? ?
4 4 2

?

3

0

9 ? x 2 dx =

[例 2] [自主解答] (1)由 v(t)=7-3t+

? 从刹车到停止一共行驶了 4 s,此期间行驶的距离为? ?0v(t)dt=?0?7-3t+
3 3 ? =?7t- t + 2 ? (2)力 F(x)做功为
2

? ?

15 ? dt 1+t? ?

4 +t ? ? =4+25ln 5.
? 0
4

? 10dx + ?
0

2

(3x ? 4)dx =10x

2 ?3 2 ?4 + ? x ? 4 x ? =20+26=46. 0 ?2 ?2

[答案] (1)C (2)B 2t,0≤t<1, ? ?2,1≤t<3, 解析:由图象可知,v(t)=? 1 ? ?3t+1,3≤t≤6,

所以

1 s~6 s 间的运动路程 s= 2

2?

1? k

0

? 3 ? ?2 3 10 1 ? 3 ?? 2 2 ? ( x ? x 2 ? kx)dx x 3 x ? x , 则 x 2 ? x2 ? ? ? ? ?? 3 ? 3 6 ? ?3 ? ?? 3
3

?

? 1 x? 2? 2 ? 2 ? x 2 ? kx ?dx ? e ? ? = x ? ?x ? ? ?

?

1

1 2

2tdt + ?

1

1 3 1 2 ? 6 49 49 ?1 ? 2 2dt + ? ? t ? 1?dt =t 1 +2t +? ?6t +t? = 4 .答案: 4 3 3 ? ? 1 3 ? ? 2
6
2

[例 3] [自主解答] (1)由题意知二次函数 f(x)=-x +1,它与 x 轴所围图形的面积为

?

1

?1

f ( x)dx = 2? f ( x)dx =2
0

1

? (? x
0

1

2

1 3? 1 ? 1? 4 ? 1)dx =2? ?x-3x ? =2?1-3?=3. ? ? 0 ? ?

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(2)作出曲线 y= x,直线 y=x-2 的草图(如图所示),所求面积为阴影部分的面积. 由?
4

?y= x, ?y=x-2

得交点 A(4,2).因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为

?

0

? x ? ( x ? 2) ?dx = ? ? ? 0

4

?

?2 3 ?4 2 1 1 x ? x ? 2 dx = ? x 2 ? x2 ? 2 x ? = ?8- ?16+2?4 3 2 2 ?3 ?0

?

16 = .(3)由题意知 3

?

a

0

? 2 3 ?? 2 3 4 2 3 a xdx =a2.又 ? x 2 ? ? x , 则 x 2 =a2.即 a =a2,所以 a= . 3 2 9 0 3 ?3 ?

4 [答案] (1)B (2)C (3) 9 1. 解 析 : 选 A
?y=x , ? 解方程组? 2 ?y =x, ?
2

得 两 曲 线 的 交 点 为 (0,0) , (1,1) . 所 以

??
1 0

?2 3 1 1 ?1 1 x ? x d x= ? x 2 ? x3 ? = ,即曲线 y=x2 和曲线 y2=x 围成的图形的面积是 . 3 3 3 ?0 ?3
2

?

2.解析:如图所示,由 y=x -1=0,得抛物线与 x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0). 所以 S=

2

?

2

0

x ? 1dx = ? ?1 ? x ?dx + ? ? x ? 1?dx =
2 1 2 2 2 0 1

?x-x ?? + ? 3 ?? ? ??0

3

1

?x -x?? ? 3 ?? ? ??1

3

2

?1 ?? ? 1? ?8 =?1- ?+? -2-? -1??=2.答案:2 3 ?3 ?? ? ? ?3
1 ? ?10x,0≤x≤2, f(x) = ? 1 ?10-10x,2<x≤1, ?

[解析]

由题意可得

所 以 y = xf(x) =

1 ? ?10x ,0≤x≤2, ? 1 ?10x-10x ,2<x≤1 ?
2 2

与 x 轴围成图形的面积为

?

1 2 0

10 x 2dx + ?1 ?10 x ? 10 x 2 ?dx =
1 2

1 1 10 3? 10 3 5 5 2 ? x 2 +?5x - 3 x ? 1 = .[答案] 4 4 ? ? 3 0 2
?y=x +2, ? 解析:由? ?5x-y-4=0, ?
2

消去 y,得 x -5x+6=0,解得 x1=2,x2=3.
2

2

如图所示,当 2<x<3 时,直线 5x-y-4=0 在曲线 y=x +2 的上方, 5 2 1 3 ?? ?? 5 x ? x ? 6 ??dx =? ? x - x - 6 x 5 x ? 4 ? ( x ? 2) d x 所以所求面积为 ? ? = ? ?? ? ? ? ? ? 3 2 ? 2 ? ?2 ??2
3 2
3 2
3

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1 ?5 2 1 3 ? ?5 2 1 3 ? ? 9? ? 14? 1 =? ?3 - ?3 -6?3?-? ?2 - ?2 -6?2?=?- ?-?- ?= .答案: 3 3 6 ?2 ? ?2 ? ? 2? ? 3 ? 6 1.解析:选 D 因为函数 f(x)是偶函数,所以函数 f(x)在 y 轴两侧的图象对称,所以

?

6

?6

f ( x)dx = ? f ( x)dx + ? f ( x)dx =2 ? f ( x)dx =16.
?6 0 0

0

6

6

? 3 2.解析:选 D 结合函数图象可得所求封闭图形的面积是 ? 3? cos xdx =sin x = 3. ? ? 3 ? 3
?

?2-x x ? 3.解析:选 C ∵f(x)=2-|x|=? ? ? 2 +x x

, ,



?

2

?1

f ( x)dx = ?

0

?1

? 2 ? x ?dx + ?0 ? 2 ? x ?dx =
2

2

?2x+x ?? + ? ? 2? ? ??-1

2

0

?2x-x ?? =3+2=7. ? ? 2? 2 ? ??0 2

2

2

4.解析:选 A 由 v=40-10t =0,得 t=2(t=-2 舍去),则此物体达到最高时的高度 为

?40t- t ? =40?2-10?8=160 (m). ? ? ? 40 ?10t ?dt =? 3 ?0 3 3 ?
2 2

10

3

2

0

5.解析:选 A
3 4 1

? ?y=x , 由? 3 ?y=x , ?

2

得 x=0 或 x=1,由图易知封闭图形的面积=

? (x
0

1

2

? x3 )dx



?x -x ?? =1-1= 1 . ? 3 4 ?? 3 4 12 ? ??0

6.解析:选 A 设图中阴影部分的面积为 S(t),则 S(t)=

? (t
0

t

2

? x 2 )dx + ? ( x 2 ? t 2 )dx
t

1

4 3 2 1 1 = t -t + ,由 S′(t)=2t(2t-1)=0,得 t= 为 S(t)在区间(0,1)上的最小值点,此时 3 3 2

S(t)min=S? ?= . 2
7.解析:由

?1? 1 ? ? 4

?

a

1

a 1 2 2 (2 x ? )dx =(x +ln x) =(a +ln a)-(12+ln 1)=a2+ln a-1=3 x 1
2

+ln 2(a>1),得 a +ln a=4+ln 2,所以 a=2.答案:2 8.解析:依题意得

?

e

0

f ( x)dx = ? x dx + ?
2 0

1

e

1

e 1 1 x3 1 4 4 dx = +ln x = +1= .答案: 3 3 3 3 x 0 1

- 12 -

高二数学迎期中专题复习

? x? 1 x 1 2 2 9.解析:由题意得 y′= ? e 2 ? = e 2 ,所以曲线在点 (4,e )处的切线斜率为 e ,因 2 2
1
1

?

?

?

1 2 2 2 此切线方程为 y-e = e ?(x-4),则切线与坐标轴的交点为 A(2,0),B(0,-e ), 2 1 2 2 2 所以 S△AOB= |-e |?2=e (O 为坐标原点).答案:e 2 10 解:(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且 f(x)的最大值为 16,则

c=0, ? ?a?8 +b?8+c=0, ?4ac-b ? ? 4a =16,
2 2

a=-1, ? ? 解得?b=8, ? ?c=0,

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=-x +8x.

2

?y=-t +8t, ? (2)由? 2 ?y=-x +8x, ?

2

得 x -8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t.
2

2

∵0≤t≤2,∴直线 l2 与 f(x)的图象的交点坐标为(t,-t +8t),由定积分的几何意义 知:

S(t)



2 2 ? ?0 ? ?? ?t ? 8t ? ? (? x ? 8x) ?dx t



?

2

t

?(? x2 ? 8x) ? ? ?t 2 ? 8t ??dx ? ?



3 3 ? -t2+8t x-?-x +4x2?? t +??-x +4x2?- -t2+8t x? 2 =-4t3+10t2-16t+40. ? ? 3 ?? ?? ? ? 3 3 ? ? ?? 0 ?? 3 ? ?t

11 解:抛物线 y=x-x 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积
?y=x-x , ?x 1 3? 1 1 ? S= ? ( x ? x )dx =? - x ? = .又? 2 3 0 ? ?0 6 ? ?y=kx,
1
2 2

2

2

由此可得,抛物线 y=x-x 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k,所以,

2

S
2



?

1? k

0

1-k 2 1 3? 1 ? k 1 3 = (1-k) . ( x ? x2 ? kx)dx dx=? ? 2 x -3x ? 6 ? ? 0

3 3 1 1 1 4 3 又知 S= ,所以(1-k) = ,于是 k=1- =1- . 6 2 2 2

?y= x, 12 解:由? ?y=2-x,
故所求面积 S=
1

y=2-x, ? ? 得交点 A(1,1);由? 1 y=- x, ? 3 ?

得交点 B(3,-1).

3? ?2 3 1 2? 3 1 ? 1 ? 1 2?1 ? ? 2 2 x - x + = + x ? x d x 2 ? x ? x d x x ? x ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? ?1 ? 3 ? ? ?1 3 ? 3 ? 0 3 6 ? ?

- 13 -

高二数学迎期中专题复习

2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6 1.解析:选 C 由已知条件可得,F(x)所做的功为 3 2

? ? 5 ? x ?dx =
2 2 1

4 3 J. 3

2.解析:设直线 OP 的方程为 y=kx,点 P 的坐标为(x,y), 则

? ? kx ? x ?dx = ? ? x
x 2 2 0 x

2

1 2 1 3? x ?1 3 1 2? 2 ? kx ?dx ,即? ?2kx -3x ? =?3x -2kx ? , ? ?0 ? ?x

1 2 1 3 8 ?1 3 1 2? 整理得 kx - x = -2k-? x - kx ?, 2 ? 2 3 3 ?3 4 4 ?4 16? ?4 16? 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为? , ?.答案:? , ? 3 9 3 3 ? ? ?3 9 ? 解:(1)f′(x)=2ax- ,由?

b x

? ?f ?f ?

=3, =2,

得?

? ?a=2, ?b=1, ?

f(x)=2x2-ln x,f′(x)

2 1 4x -1 1 ? 1? ?1 ? =4x- = ,令 f′(x)=0,得 x= ,则函数 f(x)在?0, ?上单调递减,在? ,+∞?上 x x 2 ? 2? ?2 ?

单调递增,

? 1 3 ? k-1< ,解得1≤k< . 2 2 所以? 1 ? ?k+1>2,
k-1≥0,

? 3? 故实数 k 的取值范围为?1, ?. ? 2?

1 3 c+1 2 1 (2)设 g(t)= t - t +ct+ln 2+ ,根据题意可知 g(t)min≤f(x)min, 3 2 6

?1? 1 2 由(1)知 f(x)min=f? ?= +ln 2,g′(t)=t -(c+1)t+c=(t-1)(t-c), ?2? 2
当 c≤1 时,g′(t)≥0,g(t)在 t∈[1,3]上单调递增,g(t)min=g(1)= +ln 2, 2 满足 g(t)min≤f(x)min.当 1<c<3 时,g(t)在 t∈[1,c]时单调递减,在 t∈[c,3]时单调递 增,

c

g(t)min=g(c)=- c3+ c2+ln 2+ ,由- c3+ c2+ln 2+ ≤ +ln 2,得 c3-3c2+2≥0,(c-1)(c2-2c-2)≥0,此时 1+ 3≤c<3.
3c 14 当 c≥3 时,g′(t)≤0,g(t)在 t∈[1,3]上单调递减,g(t)min=g(3)=- + +ln 2, 2 3 3c 14 3?3 14 1 g(3)=- + +ln 2≤- + +ln 2≤ +ln 2. 2 3 2 3 2 综上,c 的取值范围是(-∞,1]∪[1+ 3,+∞).
- 14 -

1 6

1 2

1 6

1 6

1 2

1 1 6 2


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