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重庆育才中学高 三 (2014级) 二轮(理数)复习专题2 第2讲 函数的图象与性质


重庆育才中学高 三 二轮(理数)复习专题 2

第2讲

函数的图象与性质

(高三数学理二轮)

第二讲

函数的图象与性质

考点整合
1.函数的单调性: 单调性是函数在其定义域上的局部性质。复合函数 y=f[g(x)]的单调性遵循“同 增异减”的

原则. (1)、单调性的定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b], 那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f(x)在[a,b]上是增函数; x1 ? x2 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f(x)在[a,b]上是减函数.
x1 ? x2

(2)、若函数 f(x)和 g(x)都是减函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是减函数;若函数 f(x)和 g(x)都 是增函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)也是增函数。 2.函数的奇偶性: 奇偶性是函数在定义域上的整体性质. (1)、f(x)为奇函数 ? f(-x)=-f(x) ? f (-x)+f(x)=0;?f(x)的图象关于原点对称. f(x)为偶函数 ? f(x)=f(-x)=f(|x|) ? f(x)-f (-x)=0. ?f(x)的图象关于 y 轴对称 前提:只有当定义域关于原点对称时,这个函数才能具有奇偶性. (2)、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性. (3)在 f(x),g(x)的公共定义域上:奇± 奇=奇,偶± 偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 3.函数的周期性: 周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数满足 f(a+x)=f(x)(a 不等于 0), 则其一个周期 T=|a|. 4. 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)、指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两 种情况,着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质. (2)、幂函数 y=xα 的图象和性质,分幂指数 α>0,α<0 两种情况. 5. 熟记对数式的五个运算公式 M loga(MN)=logaM+logaN; loga =logaM-logaN; logaMn=nlogaM; N logbN alogaN=N; logaN= (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0). logba 提醒:logaM-logaN≠loga(M-N), logaM+logaN≠loga(M+N).

2013 真题感悟
1. (江西)函数 y= xln(1-x)的定义域为 ( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 1 2. (山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)等于 ( x A.-2 B.0 C .1 D.2 3 x 3. (四川)函数 y= x 的图象大致是 ( ) 3 -1 4. (北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度, 所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)等于 ( ) 3 题图
x ?1 x ?1 ? x ?1 ? x ?1

)

A. e B. e C. e D. e 5. (江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的 解集用区间表示为________.

题型与方法
题型一 函数及其表示
专题一 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数 1

重庆育才中学高 三 二轮(理数)复习专题 2

第2讲

函数的图象与性质

(高三数学理二轮)

例1

f?2x? (1)、若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是 ln x A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

(

)

? ?2x+a,x<1, (2)、已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为______. ? ?-x-2a,x≥1. ?f?x?,f?x?≤M, ? (3)、设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于给定的正数 M,定义函数 fM(x)=? 则称函 ? ?M,f?x?>M,

数 fM(x)为 f(x)的“孪生函数”.若给定函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(fM(0))的值为________. 反思归纳 ①根据具体函数 y=f(x)求定义域时, 只要构建使解析式有意义的不等式(组), 求解即可; ②根据抽象函数求定义域时:a.若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f(g(x))的定义域由 不等式 a≤g(x)≤b 求出.b.若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,

b]时的值域.
变式训练 1 (1)、若将例 1(2)中“f(1-a)=f(1+a)”变为“f(1-a)≥f(1+a)”,则 a 的取值范围是________.
? ?g?x?+x+4,x<g?x?, (2)、设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=? 则 f(x)的值域是( ) ?g?x?-x,x≥g?x?, ? 9 9 9 A.[- ,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[- ,+∞) D.[- ,0]∪(2,+∞) 4 4 4
2 ? ?x +1, x≥0, ? (3)、已知函数 f(x)= 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取值范围是________. ? ?1, x<0,

题型二

函数的图象问题 b 例 2 、形如 y= (a>0,b>0)的函数,因其图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把它称为“囧 |x|-a 函数”.若当 a=1,b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|图象的交点个数为 n,则 n=________. 变式训练 2

??2 x , ?1 ? x ? 0 已知 f ( x) ? ? , 则下列函数的图象错误的是 ? ? ? x ,0 ? x ?1

(

)

题型三 函数的性质问题 [例 3 (1)、设 f(x)是定义在 R 上的 奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2, 若对任意的 x∈[-2- 2,2+ 2],不等式 f(x+t)≤2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是 ( A.[ 2,+∞) B.(-∞,- 2]
3

)

C.[4+3 2,+∞) D.(-∞,- 2]∪[4+3 2,+∞)

(2)、 已知函数 f ( x) ? x ? x , 对任意的 m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0 恒成立, 则 x 的取值范围为___ (3)、设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x ? [0, ] 时,f(x)=-x2,则
2

1 2

专题一 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数

重庆育才中学高 三 二轮(理数)复习专题 2

第2讲

函数的图象与性质

(高三数学理二轮)

f(3) ?f ? (

3 的值等于________. ) 2

变式训练 3 (1)、若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)等于____________ (2)、 已知函数 f(x)=x3+x, 对任意的 m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0 恒成立, 则 x 的取值范围为______ x (3)、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=e +a,若 f(x)在 R 上是单调函数,则实 数 a 的最小值是________. 题型四 基本初等函数的图象及性质 ? log 2 x, x ? 0, 例 4 (1)、若函数 f(x)= ? ?log 1 (? x), x ? 0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是________. ? ? 2 (2)、已知 a ? 5 变式训练 4
log2 3.4

, b ? 5log4 3.6 , c ? (0.2)log3 0.3 ,则 a、b、c 大小关系为________.
小题冲关

使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________.
2

1. 如果函数 f(x)=ax +2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是( 1 1 1 1 A.a>- B.a≥- C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 4 4

)

2. 设 f(x)为偶函数,对于任意的 x>0 的数,都有 f(2+x)=-2f(2-x),已知 f(-1)=4,那么 f(-3) 等于 ( ) A.2 B.-2 C .8 D.-8 )

3. 若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lg x)的解集是( 1 1 1? ? ? A.(0,10) B.? C.? D.? ?10,10? ?10,+∞? ?0,10?∪(10,+∞)

4. 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x);② 对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对 称.则下列结论中正确的是 ( ) A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7)

专题限时规范训练
一.基础题组
2 1.函数 f ( x) ? 3x ? lg(3x ? 1) 的定义域是(

1? x

)

1 A.(? , ??) 3

1 B.(? ,1) 3

1 1 C.(? , ) 3 3

1 D.(??, ? ) 3

2.已知函数 f ( x) ? ?

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

,则 f [ f ( 1 )] ? ______________ 16

3.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0] 上是增函数,设 a ? f (log 4 7), b ? f (log 1 3),
2

c ? f (2 2 ) ,则 a, b, c 的大小关系是___________
2 4.已知 a ? log 2 2 , b ? ( ) 2 , c ? log 1 1 ,则 a , b, c 的大小关系是_________ 3 3 2 3

? ,则 y ? f ( x) 的定义域为( 5.函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域为 [0?,1]
专题一 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数

)
3

重庆育才中学高 三 二轮(理数)复习专题 2

第2讲

函数的图象与性质

(高三数学理二轮)

?? A. [?1,1]

B. [ 1 ?,1] ? 2

? C. [0?,1]

? ?0] D. [?1,

?a x , x ? 1 ? 6.已知 f ( x) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为___________ a (4 ? ) x ? 2, x ? 1 ? ? 2
A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 7. 函数 y ? log 1 (x 2 ? 2x ? 8) 的单调递减区间是_______.
3

二.能力题组 8. 已知函数 f ? x ?=-x2+2ax+ 1-a 在 x ??0,1? 时有最大值 2,则 a 的值_________________。 9. 已知函数 f ( x) ? kx ? 2(k ? 0) 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于 A, B 两点,且 AB ? (1,2) , 函数 g ( x) ? x2 ? x ? 6 , 当 x 满足不等式 f ( x) ? g ( x) ? 4 , 时, 则函数 y ?

g ( x) ? 1 的值域_______ f ( x) ? 2

? ?a ? a ? b ? 10.定义运算 a ? b ? ? , b a ? b ? ? ? ?
则函数 f ? x ? ? 1 ? 2x 的图象是(
1 m



11、 已知函数 y ? log2 x 的定义域为 [ , n], (m, n 为正整数) , 值域为 [0,2] , 则满足条件的整数对 (m, n) 共有___________个。 12.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 ? 0, 2? 上是增函数,若方程

f ( x) ? m(m ? 0) ,在区间 ? ?8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 =_______
13.若 f ? x ? 是偶函数,且当 x ? ?0 , ? ? ? 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( x ? 1) ? 0 的解集是___________ 14.若函数 f ( x) ? x ? 3 x 对任意的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒成立,则 x ?
3



15. 已知函数 f ?x ? 在 ?0,??? 上是增函数,g ?x? ? ? f ? x ?, 若 g ?lg x? ? g ?1? , 则 x 的取值范围_________. 三.拔高题组 16.对于函数 f ? x ? 与 g ? x ? 和区间 D,如果存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1,则称 x 0 是函数 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 D 上的“友好点” .现给出两个函数: ① f ( x) ? x2 , g ( x) ? 2 x ? 2 ;② f ( x) ? x , g ( x) ? x ? 2 ;③ f ( x) ? e? x , g ( x ) ? ? 1 ;
x

④ f ( x ) ? ln x , g ( x) ? x ,则在区间 ? 0 , ? ?? 上的存在唯一“友好点”的是(
专题一 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数


4

重庆育才中学高 三 二轮(理数)复习专题 2

第2讲

函数的图象与性质

(高三数学理二轮)

A.①②

B.③④

C. ②③

D.①④

专题一 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数

5


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